一種基于隨機(jī)序列的正交離散頻率編碼信號*

賈基東 李淑秋 李 宇

(1 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 北京 100190)

(2 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

(3 中國科學(xué)院先進(jìn)水下信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

0 引言

探潛技術(shù)與潛艇隱身技術(shù)是水下目標(biāo)探測中的矛與盾，為了提高探測能力，聲吶的發(fā)展經(jīng)歷了從單水聽器到多元陣列、從窄帶處理到寬帶處理的過程。隨著多基地聲吶、水下傳感器網(wǎng)絡(luò)、多輸入多輸出(Multi input multi output，MIMO)聲吶等新型聲吶的出現(xiàn)，聲吶技術(shù)開始向分布式、空間分集的方向發(fā)展[1-3]。匹配濾波技術(shù)是主動聲吶接收端常采用的一種算法，為避免分布式系統(tǒng)中各發(fā)射信號在接收端彼此形成干擾，實(shí)現(xiàn)空間分集要求發(fā)射正交信號。

在通信中，設(shè)計(jì)正交信號的方法有時(shí)間分集、頻率分集、波形分集。在水下探測中，時(shí)間分集意味著低探測效率，頻率分集意為著低帶寬利用率，因此波形分集是一個(gè)最好的選擇。實(shí)現(xiàn)波形分集的一種常用方法是頻率調(diào)制，離散頻率編碼信號因?yàn)槠淠：瘮?shù)的一些特性而引起了人們的廣泛關(guān)注[4-6]。

離散頻率編碼信號彼此間的正交性好壞與頻率編碼序列密切相關(guān)。目前關(guān)于構(gòu)造頻率編碼序列的方法研究主要分為兩類：一類是基于有限域和本原元理論的方法[7-12]，另一類是基于混沌序列的方法[13-17]。文獻(xiàn)[7]中作者定義了一種漢明相關(guān)函數(shù)來描述序列間的正交性，并給出了基于有限域和本原元理論設(shè)計(jì)頻率編碼序列的漢明相關(guān)理論下界。本文在仿真分析部分也將采用漢明相關(guān)函數(shù)來比較本文算法與對比算法的優(yōu)劣。文獻(xiàn)[8]中作者基于代數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種素?cái)?shù)碼長序列的生成方法，并推導(dǎo)了信號的模糊函數(shù)。在文獻(xiàn)[12]中作者將基于有限域理論設(shè)計(jì)的編碼序列長度推廣為素?cái)?shù)的倍數(shù)。盡管如此，基于有限域理論的編碼序列長度只能是某些值仍是這類方法的一大缺點(diǎn)，嚴(yán)重限制了其在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值。相比之下，能生成任意長度序列的基于混沌序列的設(shè)計(jì)方法則更為實(shí)用。文獻(xiàn)[14]中作者將Logistic 混沌序列映射為跳頻序列，并分析了序列的漢明相關(guān)性。在文獻(xiàn)[16]中，作者分析討論了基于幾種混沌序列設(shè)計(jì)的離散頻率編碼信號在模糊函數(shù)、正交性上的優(yōu)劣，得出Bernoulli 混沌序列在離散頻率編碼信號設(shè)計(jì)中性能較好的結(jié)論。文獻(xiàn)[17]中作者將線性調(diào)頻信號應(yīng)用到基于Lorenz 混沌的頻率編碼信號內(nèi)部構(gòu)造中，改善了信號的自相關(guān)性能。基于混沌序列能夠設(shè)計(jì)任意長度、任意數(shù)量的編碼序列集，但混沌序列表現(xiàn)出的隨機(jī)性并不夠強(qiáng)。

設(shè)計(jì)正交離散頻率編碼序列的關(guān)鍵是使碼元的隨機(jī)性足夠好，因此本文將生成偽隨機(jī)數(shù)的線性同余法應(yīng)用于頻率編碼序列的構(gòu)造，設(shè)計(jì)了一種基于隨機(jī)序列的正交離散頻率編碼信號，并與文獻(xiàn)[16—17]中的方法進(jìn)行比較，得出了一些有用的結(jié)論。

1 離散頻率編碼信號

假設(shè)信號的一個(gè)編碼序列為Q={q0，q1，···，qN-1}，Q為序列Q0={1，2，···，N}的一個(gè)排列，Q0對應(yīng)的信號頻率序列為F0={f0，f1，···，fN-1}，與Q相對應(yīng)的信號頻率序列為F={f0，f1，···，fN-1}，則碼元到頻率的映射關(guān)系為

其中，f0為信號的載頻，Δf=fi+1-fi為編碼的步進(jìn)頻率，如圖1所示。

圖1 頻率序列到編碼序列的映射關(guān)系Fig.1 The relationship of the frequency sequence and the coding sequence

離散頻率編碼信號的數(shù)學(xué)模型可以描述為

其中，T表示信號總時(shí)長，N表示編碼序列長度，Ts=T/N表示子脈沖時(shí)長，pn(t)表示單個(gè)碼元對應(yīng)的子脈沖，表示為

其中，fn表示與碼元mn相對應(yīng)的子脈沖頻率。

2 正交頻率編碼集

2.1 Lorenz混沌序列

Lorenz 混沌是一種連續(xù)時(shí)間混沌系統(tǒng)，由美國著名的氣象學(xué)家Lorenz 提出，可描述為如式(4)的方程組[17]：

當(dāng)式(4)中3 個(gè)參數(shù)σ、r、b滿足如式(5)時(shí)，Lorenz系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌解。

采用四階龍格庫塔法求解Lorenz方程組，設(shè)定采樣率為2000 Hz，可得到3 個(gè)狀態(tài)變量x(t)、y(t)、z(t)的采樣序列。圖2是一個(gè)Lorenz 系統(tǒng)的三維演示圖，其狀態(tài)軌跡反復(fù)折疊形成一個(gè)類似蝴蝶的圖形，在3 個(gè)維度上均有界，吸引子上也沒有交叉點(diǎn)，表現(xiàn)出整體混沌局部穩(wěn)定的特點(diǎn)。圖3是Lorenz系統(tǒng)3個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)間序列，3個(gè)序列均表現(xiàn)出非周期性和對初值的敏感性，當(dāng)初值出現(xiàn)很小的變化時(shí)所得到的時(shí)間序列就出現(xiàn)很大的變化。變量x(t)的采樣序列在信號處理特性上優(yōu)于y(t)和z(t)，因此在構(gòu)造正交編碼時(shí)通常采用x(t)的采樣序列。

圖2 Lorenz 混沌運(yùn)動軌跡Fig.2 The movement of the Lorenz chaos

圖3 Lorenz 混沌3 個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)間序列Fig.3 The time sequence of three states in the Lorenz chaos

2.2 Bernoulli混沌序列

Bernoulli 混沌是一種離散時(shí)間混沌系統(tǒng)，可描述為如式(6)的更新方程[16]：

其中，a、b為混沌映射參數(shù)，a=0.5，b=2-ε，ε為一接近于0 的極小正值。xk∈[-0.5，0.5)為過程變量，b值越接近2，混沌序列值在混沌吸引域[-0.5，0.5)的遍歷性越好，一組Bernoulli混沌序列如圖4所示。

圖4 Bernoulli 混沌序列Fig.4 The time sequence of the Bernoulli chaos

2.3 隨機(jī)序列

線性同余法是一種簡單常用的均勻隨機(jī)數(shù)生成器，其遞推式表述為

圖5 線性同余隨機(jī)序列Fig.5 The random sequence of the linear congruential generator

其中，參數(shù)a、b、C分別稱為乘子、增量和模。關(guān)于參數(shù)的選取已有許多的研究，一個(gè)十分著名的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器是[18]

這種參數(shù)選取方法的主要考慮是便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)和受平方根準(zhǔn)則的影響，該參數(shù)取值下的一組線性同余隨機(jī)序列如圖5所示。

2.4 正交頻率編碼集的構(gòu)造

假設(shè)由混沌系統(tǒng)或隨機(jī)過程產(chǎn)生的混沌序列或隨機(jī)序列為{x0，x1，···，xi，···}，從中截取M段長度為N點(diǎn)的序列，表示為

其中，M表示信號集中的信號總數(shù)，N表示單個(gè)信號的編碼長度。

對于混沌信號，由于初值的影響和臨近序列間的相關(guān)性較強(qiáng)，通常在截取時(shí)會采用拋棄混沌序列前面的一段和間隔截取兩種手段來提高信號間的正交性。對于隨機(jī)序列，由于各個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)上都獨(dú)立同分布，因此不存在這些問題。

對于第m段序列Xm，不妨按從小到大的順序?qū)ζ溥M(jìn)行排列，得到排序后的新序列為

新序列中各元素在原序列中的位置索引構(gòu)成的序列為

則序列Qm即為第m個(gè)信號的頻率編碼。

從截取后的混沌序列或隨機(jī)序列到最終信號的頻率序列間的映射關(guān)系可表示為

3 性能分析

信號的模糊函數(shù)描述了信號的時(shí)頻域聯(lián)合特性，模糊度圖則反映了目標(biāo)距離、速度的測量精度，下面分別對此進(jìn)行分析。

3.1 模糊函數(shù)

信號s(t)的時(shí)延多普勒模糊函數(shù)定義為[8，19]

其中，τ表示時(shí)延，v表示多普勒頻移，*表示共軛運(yùn)算，E表示信號s(t)的總能量，如式(14)所示：

將式(2)、式(3)帶入式(14)，得到

將式(2)、式(15)代入式(13)，得到

定義子脈沖的互模糊函數(shù)：

代入式(3)，得到

其中，α=fn-fm-v。

令m=n，則得到子脈沖的自模糊函數(shù)：

注意式(18)、式(19)均為|τ|≤Ts的情況，當(dāng)|τ|＞Ts時(shí)，

重新考慮式(16)，則可以將其表述為

3.2 時(shí)延、頻移測量精度

將信號的模糊函數(shù)下降到最大值0.707 倍(-3 dB)處的截面圖定義為模糊橢圓或信號的模糊度圖，反映了目標(biāo)距離、速度的測量精度。

令τ= 0，有φnm(0，v)= 0，因此信號的模糊函數(shù)可以表示為

考慮到如式(23)的變換：

代入式(19)，得到

兩邊取模，有

從式(25)可以看出，離散頻率編碼信號模糊函數(shù)在τ= 0 的平面表現(xiàn)為sinc 函數(shù)形式，信號的頻移測量精度只與信號總時(shí)長T=NTs有關(guān)。|χ(0，v)|的第一個(gè)零點(diǎn)位置為±1/T，定義以模糊度圖與頻移軸兩個(gè)交點(diǎn)間頻移差的一半為頻移測量精度，則信號的多普勒頻移測量精度為

即信號的多普勒測量精度與信號時(shí)長成反比。

令v=0，由式(1)可得

將式(27)代入到式(18)，得到

當(dāng)τ →0時(shí)，其中sinc項(xiàng)

因此，當(dāng)τ →0時(shí)

則信號的模糊函數(shù)可以近似表示為

代入式(19)，得到

兩邊取模，有

從式(33)可知，離散頻率編碼信號模糊函數(shù)的時(shí)延測量精度與信號的總帶寬B=NΔf有關(guān)。|χ(τ，0)|第一個(gè)零點(diǎn)的位置為±Ts/N，定義以模糊度圖與時(shí)延軸兩個(gè)交點(diǎn)間時(shí)延差的一半為時(shí)延測量精度，則信號的時(shí)延測量精度為

當(dāng)TsΔf ≈1時(shí)，則

即信號的時(shí)延測量精度與信號帶寬成反比。

由式(26)和式(35)可知，離散頻率編碼信號的頻移測量精度和時(shí)延測量精度只與信號的時(shí)長和帶寬有關(guān)，而與具體的編碼序列無關(guān)。因此，對于正交離散頻率編碼信號集的設(shè)計(jì)，應(yīng)該主要關(guān)注信號間的正交性設(shè)計(jì)，通過設(shè)計(jì)正交的頻率編碼序列，來提高信號間的正交性能。

3.3 正交性分析

假定由兩個(gè)長度都為N的不同序列Qx，Qy編碼得到的兩個(gè)信號分別為sx(t)、sy(t)，則兩個(gè)信號的互模糊函數(shù)定義為

其中，Ex、Ey分別為信號sx(t)、sy(t)的能量大小。將式(2)、(3)代入式(36)，得到

其中，

由3.1 節(jié)、3.2 節(jié)的分析可知，當(dāng)nxmy時(shí)，φnxmy(τ，v)對χxy(τ，v)的貢獻(xiàn)很小，χxy(τ，v)中的峰值都主要來自于nx=my時(shí)φnxmy(τ，v)貢獻(xiàn)的能量，即當(dāng)編碼序列Qx，Qy中的相同碼元在時(shí)域重疊時(shí)會使互模糊函數(shù)產(chǎn)生峰值，重疊的相同碼元越多，峰值越高。因此，對于自模糊函數(shù)來說，只要編碼序列是滿碼序列(每個(gè)碼元都在序列中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次)，自模糊函數(shù)就能表現(xiàn)為近似理想的“圖釘型”函數(shù)。對于互模糊函數(shù)來說，則要設(shè)計(jì)盡可能不會出現(xiàn)碼元重疊的序列，來使不同離散頻率編碼信號間有足夠好的正交性。

對于隨機(jī)序列，由于在任意不同時(shí)刻都互不相關(guān)，因此在任一時(shí)延下兩個(gè)不同序列相同碼元重疊的概率都很小，即

因此，信號sx(t)、sy(t)的互模糊函數(shù)

即信號sx(t)、sy(t)彼此間正交。

4 仿真分析與討論

按照上述第3節(jié)所描述的離散頻率編碼序列的生成方法，分別基于Lorenz 混沌序列、Bernoulli 混沌序列和隨機(jī)序列設(shè)計(jì)離散頻率編碼序列。碼長25、編碼數(shù)為2 時(shí)3 種方法各自生成的編碼序列如表1所示。設(shè)定采樣率為10 kHz，信號時(shí)長為1 s，帶寬為1 kHz，信號載頻為500 Hz，相應(yīng)離散頻率編碼信號的自模糊函數(shù)和互模糊函數(shù)如圖6所示。從中可以看出，3 種方法設(shè)計(jì)的離散頻率編碼信號均具有“圖釘狀”的理想自模糊函數(shù)，且互模糊函數(shù)峰值都較小，而基于隨機(jī)序列編碼的信號相比另外兩種方法設(shè)計(jì)的信號互模糊函數(shù)峰值更小。

截取圖6中3 種設(shè)計(jì)方法得到信號的自模糊函數(shù)的v= 0 平面和τ= 0 平面，分別得到3 種設(shè)計(jì)方法的時(shí)延相關(guān)函數(shù)和多普勒相關(guān)函數(shù)，如圖7所示。從中可以看出，3 種信號時(shí)延相關(guān)函數(shù)和多普勒相關(guān)函數(shù)的主瓣基本重合，即3 種方法設(shè)計(jì)的信號具有相同的時(shí)延測量精度和多普勒測量精度，這是因?yàn)楸M管3 種設(shè)計(jì)方法得到的信號編碼序列不同，但所采用的信號時(shí)長和信號帶寬均相同。這與3.2 節(jié)對于離散頻率編碼信號的時(shí)延測量精度和多普勒測量精度的理論分析結(jié)果一致，即信號的時(shí)延測量精度與信號帶寬成反比，信號的多普勒測量精度與信號時(shí)長成反比。3 種設(shè)計(jì)方法采用了相同的信號時(shí)長和信號帶寬，因此具有相同的時(shí)延測量精度和多普勒測量精度，表現(xiàn)在時(shí)延相關(guān)函數(shù)上和多普勒相關(guān)函數(shù)上即各自的主瓣基本重合。

表1 3 種方法生成的編碼序列Table1 Coding sequences of three methods

為了比較本文方法和文獻(xiàn)[16—17]方法設(shè)計(jì)的離散頻率編碼信號在信號集正交性上的性能，首先定義如下的序列集歸一化最大漢明相關(guān)函數(shù)：

圖6 3 種方法設(shè)計(jì)信號的模糊函數(shù)Fig.6 Ambiguity functions of signals designed by three methods

其中，qin為頻率編碼序列Qi的第n個(gè)碼元，為頻率編碼序列Qj的第n+k個(gè)碼元，N表示編碼序列長度，M表示序列集中的序列個(gè)數(shù)，0 ≤i，j≤M -1。函數(shù)表示為

類似的，定義如下的信號集歸一化最大時(shí)延相關(guān)函數(shù)：

其中，函數(shù)Rij(τ)為信號si(t)和信號sj(t)的歸一化時(shí)延互相關(guān)函數(shù)，si(t)表示序列Qi編碼的信號，sj(t)表示序列Qj編碼的信號，M表示信號集中的信號個(gè)數(shù)，0 ≤i，j≤M -1。

設(shè)定編碼序列長度為50，信號采樣率為10 kHz，信號時(shí)長為1 s，帶寬為1 kHz，信號載頻為500 Hz，生成的序列個(gè)數(shù)或信號個(gè)數(shù)M從2 變化到50，進(jìn)行100 次蒙特卡洛仿真取平均，式(40)、式(42)定義的序列集歸一化最大漢明相關(guān)函數(shù)和信號集歸一化最大相關(guān)函數(shù)的變化曲線如圖8所示。對比3種方法的變化曲線可以看出，基于隨機(jī)序列生成的序列集和信號集的最大相關(guān)函數(shù)值更小，基于Bernoulli 混沌的方法次之，基于Lorenz 混沌序列的方法生成的信號彼此間相關(guān)性較強(qiáng)。另外，最大的相關(guān)函數(shù)值隨著信號集中信號數(shù)量的增加而逐漸變大，這與理論定性分析的結(jié)果一致。對比序列集歸一化最大漢明相關(guān)函數(shù)和信號集歸一化最大相關(guān)函數(shù)的變化曲線圖還可以看出，兩種曲線的變化規(guī)律一致，即序列集的正交性決定了信號集的正交性，這與3.3 節(jié)的正交性分析結(jié)果也是一致的。

圖7 3 種方法設(shè)計(jì)信號的時(shí)延相關(guān)函數(shù)和多普勒相關(guān)函數(shù)對比圖Fig.7 The comparison of three methods on delay correlation and Doppler correlation of signals

圖8 序列漢明相關(guān)函數(shù)最大值與信號時(shí)延相關(guān)函數(shù)最大值隨信號個(gè)數(shù)變化Fig.8 The changing of the maximum of Hamming correlation and the maximum of delay correlation

5 結(jié)論

與混沌序列相比，線性同余隨機(jī)序列具有更強(qiáng)的隨機(jī)性。本文基于線性同余隨機(jī)序列設(shè)計(jì)離散頻率編碼信號，并與文獻(xiàn)[16—17]提出的基于Lorenz混沌序列和基于Bernoulli 混沌序列設(shè)計(jì)離散頻率編碼信號的方法進(jìn)行了比較。從理論上推導(dǎo)了離散頻率編碼信號的模糊函數(shù)，并分析得出離散頻率編碼信號的時(shí)延測量精度取決于信號帶寬，多普勒測量精度取決于信號時(shí)長。對基于隨機(jī)序列編碼的離散頻率編碼信號的正交性從理論上進(jìn)行了定性分析，得出不同信號彼此間的正交性主要取決于信號編碼序列的碼元重疊數(shù)量，基于隨機(jī)序列編碼的離散頻率編碼信號能取得較好的正交性，并通過仿真實(shí)驗(yàn)對這一結(jié)論進(jìn)行了對比驗(yàn)證。