分割區(qū)間來解題 也是一種好方法

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

題1(2010年高考福建卷理科第15題)已知定義域為(0,+)的函數(shù)f(x)滿足：(1)對任意x∈(0,+)，恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)當(dāng)x∈(1,2]時，f(x)=2-x.給出如下結(jié)論：

①對任意m∈Z，有f(2m)=0；

②函數(shù)f(x)的值域為[0,+)；

③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9；

④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得(a,b)?(2k,2k+1)”.

其中所有正確結(jié)論的序號是.(答案：①②④)

解可把區(qū)間(0,+)分割成：(0,+)

即f(x)=2k+1-x(x∈(2k,2k+1](k∈Z)).

這就是函數(shù)f(x)在(0,+)上的解析式(是分段函數(shù)的形式).

下面由此解析式來判斷所給選項哪些是正確的.

在解析式中選x=2k+1(k=m-1,m∈Z)，立得選項①正確.

在解析式中選k=n(n∈Z)后可令x=2n+1，得f(2n+1)=2n-1.若f(2n+1)=9，得n=log210，這與n∈Z矛盾！所以選項③錯誤.

由求得的解析式知，選項④正確.

題1的變式1已知定義域為(0,+)的函數(shù)f(x)滿足：(1)對任意x∈(0,+)，恒有f(ax)=af(x)(a>1,a是常數(shù))成立；(2)當(dāng)x∈(1,a]時，f(x)=φ(x)(當(dāng)x∈(1,a]時，φ(x)是已知的函數(shù)).請求出函數(shù)f(x)的解析式.

解可把區(qū)間(0,+)分割成：(0,+)

這就是此時函數(shù)f(x)在(0,+)上的解析式(是分段函數(shù)的形式).

題1的變式2已知定義域為(0,+)的函數(shù)f(x)滿足：(1)對任意x∈(0,+)，恒有f(bx)=bf(x)(0

(2)猜測數(shù)列{an}是否有極限？如果有，寫出極限的值(不必證明)；

此題顯然是以高等數(shù)學(xué)中的調(diào)和級數(shù)為背景的，出題者為了降低這道壓軸題的難度而給出了題目開頭的那個已知不等式.下面來證明這個不等式：

全體正整數(shù)集N*可分割成

N*=[20,21)Z∪[21,22)Z∪…∪[2k,2k+1)Z∪…

這里[2k,2k+1)Z(k∈N)表示區(qū)間[2k,2k+1)中的整數(shù)組成的集合.

分割區(qū)間來解題，也是一種好方法！

題3(2019年高考全國卷Ⅱ理科第12題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)=x(x-1).若對任意x∈(-,m]，都有則m的取值范圍是( ).

(2)當(dāng)x∈(n,n+1](n∈N*,n≥2)時，x-n∈(0,1]，所以f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2nf(x-n)=2n(x-n)(x-n-1),f(x)∈[-2n-2,0].

證明分割區(qū)間(6,+)=(6,7]∪(7,8]∪…∪(n,n+1]∪….

題5 證明不等式：2x>x(x∈R).

證法1 分割區(qū)間R=(-,0)∪[0,1)∪[1,2)∪[21,22)∪[22,23)∪…∪[2n,2n+1)∪….

當(dāng)x∈(-,0)時，2x>0>x.

當(dāng)x∈[0,1)時，2x≥20=1>x.

當(dāng)x∈[1,2)時，2x≥21=2>x.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

進(jìn)而可得：函數(shù)f(x)在(-,x0],[x0,+)上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，所以因為由2e>4>e，可得eln2>1,ln(eln2)>0),因而f(x)>0,2x>x(x∈R).