“整體與部分關(guān)系原理”在解函數(shù)綜合題中的應(yīng)用

李永革

(安徽省巢湖市第一中學(xué) 238000)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)該從“知識的積累”上升到“處理問題的一般方法”，挖掘背后蘊(yùn)含的豐富思想，形成看問題的基本觀點(diǎn).布魯納在《教育過程》的“結(jié)構(gòu)的重要性”中希望學(xué)生的學(xué)習(xí)從“特殊”遷移上升到“原理和態(tài)度”的遷移，即學(xué)習(xí)一個一般觀念.觀念決定視野，視野決定格局，格局決定境界.觀念是思想的升華，決定了看問題的深度和層次.因此，數(shù)學(xué)解題不能僅僅限于“解”和“題”，需要高觀點(diǎn)的指導(dǎo).

函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，從“形”來看，函數(shù)圖象上的點(diǎn)是部分，整個圖象是整體；從“數(shù)”來看，定義域是整體，屬于定義域的任意一個實(shí)數(shù)或區(qū)間是部分；從“表達(dá)式”來看，解析式是整體，其中的局部單元是部分，運(yùn)用“整體與部分關(guān)系原理”指導(dǎo)函數(shù)問題解決，會產(chǎn)生意想不到的效果.

一、原理的內(nèi)容

1.內(nèi)涵

整體是構(gòu)成事物諸要素的有機(jī)統(tǒng)一，部分是整體中的某個或某些要素.

2.整體與部分辯證關(guān)系原理的方法論意義

(1)整體的地位作用其方法論意義

整體具于主導(dǎo)地位，統(tǒng)帥著部分，擁有部分所不具備的功能.我們應(yīng)當(dāng)樹立全局觀念，立足于全局，統(tǒng)籌整體，選擇最佳方案，實(shí)現(xiàn)整體的最優(yōu)目標(biāo).從而達(dá)到整體功能大于部分功能的理想效果.

(2)部分的地位作用及其方法論意義

整體是由部分構(gòu)成的，關(guān)鍵部分功能及其變化甚至對整體起決定性作用.我們必須重視部分的作用，搞好局部，用局部的發(fā)展來推動整體的發(fā)展.

二、原理的應(yīng)用

1.找到關(guān)鍵點(diǎn)，在關(guān)鍵點(diǎn)上求突破

解題時，如果能抓住整個問題或整個過程的關(guān)鍵部分或關(guān)鍵過程，往往對整個問題的解決起到?jīng)Q定性作用.

例1(2015全國Ⅱ理)如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動，∠BOP=x，將動點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則f(x)的圖象大致為( ).

例2(2014全國Ⅰ文)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍為( ).

當(dāng)a>0時，注意到f(0)=1>0，作出圖象知當(dāng)f(x)有唯一零點(diǎn)時，零點(diǎn)為負(fù).

點(diǎn)評抓住f(0)=1，這是局部性質(zhì)，但它對整個圖象的零點(diǎn)分布起關(guān)鍵作用.

例3(2017全國Ⅲ理)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

解析(1)f(x)恒大于等于0，f(x)=0的地方是關(guān)鍵點(diǎn)，注意到f(1)=0，所以x=1是最小值點(diǎn)，且是區(qū)間內(nèi)點(diǎn)，所以x=1是極小值點(diǎn)，從而由f′(1)=0得答案.

例4(2015全國Ⅱ理)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx．

(1)證明：f(x)在(-，0)單調(diào)遞減，在(0，+)單調(diào)遞增；

(2)若對于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍．

點(diǎn)評因?yàn)閳D象是U字形.求最大值只要抓住端點(diǎn)-1，1和極值點(diǎn)0這三個關(guān)鍵點(diǎn)即可.

2.找到關(guān)鍵部分，理解關(guān)鍵部分對整體的影響

例5(2019全國Ⅰ理)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln (1+x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(2)f(x)有且僅有2個零點(diǎn).

點(diǎn)評因?yàn)閟inx是有界函數(shù)，當(dāng)x很大時f(x)的函數(shù)值由ln(1+x)控制，所以ln(1+x)是關(guān)鍵部分，sinx可忽略不計(jì).當(dāng)x∈(2,+)時，ln(1+x)>1,函數(shù)f(x)>0，無零點(diǎn).于是只要證明當(dāng)x∈(-1，2)時函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)即可.

3.抓整體結(jié)構(gòu)，依據(jù)結(jié)構(gòu)特征選擇解題方案

例6 求下列函數(shù)的最值：

(5)y=log3x+logx3-1.

解析本題在選擇求值域的方法時必須從解析式整體結(jié)構(gòu)出發(fā).比如第(1)小題解析式是分式結(jié)構(gòu)，且分子、分母都是關(guān)于自變量的一次式，于是無需關(guān)注各部分的細(xì)節(jié)，就可以選擇“分離常數(shù)法”.而第(4)小題整體結(jié)構(gòu)與第(1)有所不同，分子、分母是關(guān)于自變量的二次式，則應(yīng)選擇“判別式法”.第(2)小題整體結(jié)構(gòu)特征是一次式和二次根式，故選擇“根式換元法”，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.第(3)、(5)小題則分別選擇“三角換元法”、“基本不等式法”.

4.對整體進(jìn)行合理分拆和變換

對整體進(jìn)行合理的分拆，分解為若干基本的單元，由各單元的性質(zhì)得到整體的性質(zhì)或通過對基本單元的處理，得到新的整體，使新的整體具備某種性質(zhì)，為解題服務(wù).

解析∵y=ln (1+|x|)為偶函數(shù)，且在[0，+)單增；為偶函數(shù)，且在[0，+)單增；所以為偶函數(shù)，且在0，+)單增.f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|)?|x|>|2x-1|?x2>(2x-1)2，所以x的取值范圍是

點(diǎn)評將函數(shù)f(x)分成兩部分，根據(jù)兩部分的共同性質(zhì)得到整體的性質(zhì)，再用所得的性質(zhì)解決問題.

例8(2019河南信陽)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)g(x)=f(x-5)+x，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差不為0，若g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45，則a1+a2+…+a9=( ).

A.45 B. 15 C. 10 D.0

解析涉及函數(shù)值和自變量的和或積，?？紤]函數(shù)對稱性.函數(shù)y=f(x)為定義域R上的奇函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)中心對稱，那么y=f(x-5)的圖象關(guān)于點(diǎn)(5，0)中心對稱，函數(shù)y=x-5的圖象也關(guān)于點(diǎn)(5，0)中心對稱.設(shè)p(x)=f(x-5)+(x-5)=g(x)-5，則p(x)圖象也關(guān)于點(diǎn)(5，0)對稱.因?yàn)間(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45，所以p(a1)+p(a2)+…+p(a9)=0.結(jié)合圖象可知a5=5.所以a1+a2+…+a9=5a5=45.

點(diǎn)評本題對函數(shù)g(x)后半部分x進(jìn)行了處理，構(gòu)造出新函數(shù)p(x)，使p(x)具有關(guān)于點(diǎn)(5，0)對稱的性質(zhì).

5.利用整體性質(zhì)和部分性質(zhì)的統(tǒng)一

例9(2015全國Ⅰ文)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關(guān)于直線y=-x對稱，且f(-2)+f(-4)=1，則a=( ).

A．-1 B .1 C .2 D.4

解析設(shè)(x，y)是函數(shù)y=f(x) 的圖象上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線y=-x對稱點(diǎn)為(-y，-x)，由已知知(-y，-x)在函數(shù)y=2x+a的圖象上，∴-x=2-y+a，解得y=-log2(-x)+a，即f(x)=-log2(-x)+a.∴f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1，解得a=2，選C.

點(diǎn)評圖象具有對稱性，則圖象上的點(diǎn)也具有相應(yīng)的對稱性，這是本題解題的依據(jù).

例10(2018全國Ⅱ文)已知f(x)是定義域?yàn)?-，+)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解析由題意可知函數(shù)f(x)的周期為4，結(jié)合f(1-x)=f(1+x)，得f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0，一個周期函數(shù)值之和為0.所以，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.

點(diǎn)評周期函數(shù)，它的所有性質(zhì)都蘊(yùn)含在一個周期內(nèi).只需研究一個周期，就可以弄清楚它在整個定義域內(nèi)的性質(zhì).

點(diǎn)評整體具有的性質(zhì)部分也具備，先通過部分性質(zhì)的處理，獲得某些限制條件，縮小問題的研究范圍，使問題的研究得到簡化.

6.注意整體性質(zhì)是部分性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合

A.25 B.50 C.75 D.100

以上結(jié)合實(shí)例探討了“整體與部分關(guān)系原理”在解答函數(shù)綜合題中的運(yùn)用.事實(shí)上在數(shù)學(xué)課程中，能夠用“整體與部分關(guān)系原理”來思考的問題還很多，比如：統(tǒng)計(jì)學(xué)中的用樣本估計(jì)總體，平幾中的圖形分解，立幾中的截面選取，代數(shù)中利用函數(shù)觀點(diǎn)研究方程、不等式、數(shù)列等等.只要我們善于利用上述原理思考，都會有助于思維的突破.