導數誠可貴 構造價更高

白 晨

(安徽省阜陽第一中學 236000)

一、問題給出

例1(2018年安徽省合肥市高考數學二模文科試卷·12)已知函數f(x)是定義在R上的增函數，f(x)+2>f′(x)，f(0)=1，則不等式ln[f(x)+2]-ln3>x的解集為( ).

A．(-∞，0) B．(0，+∞) C．(-∞，1) D．(1，+∞)

本題給出了一個抽象函數及其所滿足的若干條件，進而求解一個相應的不等式的解集．其實，不等式與等式是緊密相關的，要求解對應的不等式，往往可以與其對應的等式有關，這樣就把相應的不等式問題轉化為對應的方程以及相應的函數問題．而如何通過相應的函數的性質的挖掘，往往通過直接或間接判斷函數的單調性，從而得以轉化為對應的不等式問題．

二、通性通法

解法1(構造抽象函數法)

點評解法1通過構造抽象函數，具有一般性，也是解決此類問題的通性通法．而抽象函數的構造，關鍵是導數的四則運算和復合運算法則，使得分散的多個函數的導數關系轉化為集中的單個函數的導數關系，向著有利于判斷函數單調性的方向發(fā)展．在構造抽象函數中，有時可以直接構造，有時需要變形構造，而不管哪類的構造抽象函數，都需要結合問題的外形結構特征與求導法則的結構特征進行合理構造．

三、上升層次

解法2(構造特殊函數法)

取特殊函數f(x)=ex，此函數是定義在R上的增函數，且滿足f(x)+2>f′(x)，f(0)=1，則由不等式ln[f(x)+2]-ln3>x可得ln(ex+2)-ln3>x，變形得ln(ex+2)>x+ln3=ln(3ex)，即ex+2>3ex，從而可得ex<1，解得x<0.所以不等式ln[f(x)+2]-ln3>x的解集為(-∞，0)，故選擇答案A．

點評解法2通過構造特殊函數，具有局限性，但破解此類小題時更為簡單快捷，也是不錯的方法技巧．而特殊函數的構造，往往選擇常見的基本初等函數，對應的函數性質比較熟悉，只要結合題目條件“對號入座”選擇對應的特殊函數，再結合題目條件就可以快速轉化與處理．

四、拓廣成類

例2(2018年黑龍江省哈爾濱市道里區(qū)高考數學二模試卷·16)f(x)是定義在R上的函數，其導函數為f′(x)，若f′(x)>f(x)-1，f(1)=2018，則不等式f(x)>2017ex-1+1(其中e為自然對數的底數)的解集是____．

解法1(構造抽象函數法)

解法2(構造特殊函數法)

取特殊函數f(x)=2018ex-1，此函數滿足f′(x)>f(x)-1，f(1)=2018，則由不等式f(x)>2017ex-1+1可得2018ex-1>2017ex-1+1，變形得ex-1>1，從而可得x-1>0，解得x>1.所以不等式f(x)>2017ex-1+1的解集是(1，+∞).故填答案：(1，+∞)．

在解決有關導數問題時，面對一些與抽象函數、方程、不等式等有關的問題中，觀察已知條件結構、結論方向，把條件或結論與所掌握的導數知識之間構建橋梁，與題目特征相結合，合理構造函數，巧妙應用導數，快速正確地把相關問題加以處理，既是解決此類問題的重要方法，也很好培養(yǎng)與發(fā)展構建能力與思維．