三種不同思路推導動生電動勢的表達式

劉 丙

(陜西省西安市鄠邑區(qū)第一中學 710300)

在電磁感應現(xiàn)象中，由于引起磁通量變化的原因不同，感應電動勢產生的機理也不同.磁場不動，導體運動切割磁感線而引起磁通量變化產生的電動勢我們稱之為動生電動勢.導體棒運動切割磁感線是電磁感應現(xiàn)象的一種特例，本文將分別由法拉第電磁感應定律、動生電動勢的產生機理和能量守恒與轉化三個角度推導動生電動勢的表達式并深入理解，力爭有效解決動生電動勢相關問題.

一、由法拉第電磁感應定律推導動生電動勢

如圖1所示，平行金屬導軌之間的距離為L，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面，導體棒以速度v向右勻速運動，在Δt時間內，由實線位置運動到虛線處.在這個過程中磁感應強度B是不變的，閉合回路面積的變化量是陰影部分的面積，即

ΔS=LvΔt

穿過閉合回路的磁通量的變化量是

ΔΦ=BΔS=BLvΔt

根據法拉第電磁感應定律

其中導體棒運動方向v與導體棒ab垂直，也與磁感應強度B垂直.

1.若導體棒運動方向v與導體棒ab本身不垂直，但與磁感應強度B垂直，如圖2所示.

在Δt時間內，導體棒ab由實線位置運動到虛線處.在這個過程中閉合回路面積的變化量是陰影部分的面積

ΔS=LvΔt

穿過閉合回路的磁通量的變化量是

ΔΦ=BΔS=BLvΔt

根據法拉第電磁感應定律

可見，若導體棒ab運動方向v與導體棒ab本身不垂直，此時L指的是導體棒在垂直于速度v方向上的投影的有效長度.

2.若導體棒ab運動方向v與導線本身垂直，但與磁感應強度B有一個夾角θ，則可將導體棒速度v沿平行于磁場方向和垂直于磁場向分解，如圖3所示.

速度v在垂直于磁場向分v1=vsinθ

速度v在平行于磁場向分v2=vcosθ

其中v2平行于磁場向，導體棒ab不切割磁感線，v2方向不產生感應電動勢；

v1方向切割磁感線產生的感應電動勢為

E=BLv1=BLvsinθ

可見，若導體棒運動方向與導線本身垂直，但與磁場方向有一個夾角θ，則可將速度v分解為沿磁場方向和垂直于磁場方向；亦可將磁感應強度B分解為沿速度方向和垂直于速度方向來處理相關問題.

3.對于導體棒運動切割磁感線運動感應電動勢E=BLvsinθ，如果v是某一時刻的瞬時速度，則E是該時刻的瞬時感應電動勢；如果v是某一段時間的平均速度，則E是該段時間內的平均感應電動勢.

二、由動生電動勢產生機理推導動生電動勢

導體在磁場中做切割磁感線運動產生動生電動勢的本質是由于導體中的自由電荷受到洛倫茲力而引起的.

如圖4所示，長度為L導體棒AC在勻強磁場中以速度v向右運動切割磁感線，其中導體棒AC與磁場方向和運動方向均垂直.由于金屬導體中有自由電子，所以導體棒中的自由電子隨導體棒一起以速度v向右運動.每個自由電子受到的洛倫茲力為f=evB，洛倫茲力f的方向沿導體棒向上.在洛倫茲力f的作用下，自由電子向上運動會積累到導體棒的A端，因而C端出現(xiàn)了凈剩的正電荷.AC兩端出現(xiàn)了沿導體棒向上的靜電場E電，此電場對自由電子的靜電力沿導體棒向下，如圖5所示.

隨著AC端電荷的積累，靜電場電場強度E電逐漸增大，當洛倫茲力f與靜電力F電平衡時，AC兩端便形成了一個穩(wěn)定的電勢差UAC.此時導體棒相當于一個電源，UAC是電源處于開路時，電源的端電壓，即UAC是此電源的電動勢.當洛倫茲力f與靜電力F電平衡時

故動生電動勢E=UAC=BLv

需要說明的是，這種情況下洛倫茲力仍然是不做功的.因為當導體棒向右運動，自由電子受沿導體棒向上的洛倫茲力f會沿導體棒以速度u向上運動.正是由于自由電子以速度u向上運動才會產生感應電流.由于自由電子以速度u向上運動，自由電子還會受到向左的洛倫茲力f′，如圖6所示.

在很短一段時間Δt內，向上的洛倫茲力f對自由電子做功為：

W1=f(uΔt)=evB(uΔt)

向左的洛倫茲力f′對自由電子做功為：

W2=-f′(vΔt)=-euB(vΔt)

洛倫茲做的總功W=W1+W2=0

由此可以看出，洛倫茲力仍然是不做功，洛倫茲力只是一個“搬運工”，起傳遞能量的作用.即外力克服f′所做的功，通過f轉化為感應電流的能量.

三、由能量守恒與轉化角度推導動生電動勢

如圖7所示，平行金屬導軌之間的距離為L，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面，導體棒ab以速度v向右勻速運動，不計其他電阻.

設由于導體棒向右勻速運動，閉合回路的感應電動勢為E，感應電流為I.

以導體棒為研究對象有，F(xiàn)外=F安

F安=BIL

外力F外做功的功率P=F外v=BILv

閉合電路中的電功率P電=EI

根據能量的轉化及守恒定律知P=P電即

E=BLv

由此可以看出，發(fā)生電磁感應時往往伴隨著其他物理現(xiàn)象的發(fā)生.當閉合回路磁通量發(fā)生變化時產生了感應電動勢，而回路中感應電流的大小可以由閉合回路的歐姆定律得到.通電導線在磁場中又要受到安培力，這樣就可以把電磁感應問題、電路問題和力學問題聯(lián)系起來.但總體來看從能量轉化與守恒角度推導動生電動勢更有利于提高學生對綜合問題的分析能力.