三種不同思路推導(dǎo)動生電動勢的表達(dá)式

劉 丙

(陜西省西安市鄠邑區(qū)第一中學(xué) 710300)

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，由于引起磁通量變化的原因不同，感應(yīng)電動勢產(chǎn)生的機(jī)理也不同.磁場不動，導(dǎo)體運(yùn)動切割磁感線而引起磁通量變化產(chǎn)生的電動勢我們稱之為動生電動勢.導(dǎo)體棒運(yùn)動切割磁感線是電磁感應(yīng)現(xiàn)象的一種特例，本文將分別由法拉第電磁感應(yīng)定律、動生電動勢的產(chǎn)生機(jī)理和能量守恒與轉(zhuǎn)化三個角度推導(dǎo)動生電動勢的表達(dá)式并深入理解，力爭有效解決動生電動勢相關(guān)問題.

一、由法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)動生電動勢

如圖1所示，平行金屬導(dǎo)軌之間的距離為L，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面，導(dǎo)體棒以速度v向右勻速運(yùn)動，在Δt時間內(nèi)，由實線位置運(yùn)動到虛線處.在這個過程中磁感應(yīng)強(qiáng)度B是不變的，閉合回路面積的變化量是陰影部分的面積，即

ΔS=LvΔt

穿過閉合回路的磁通量的變化量是

ΔΦ=BΔS=BLvΔt

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律

其中導(dǎo)體棒運(yùn)動方向v與導(dǎo)體棒ab垂直，也與磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直.

1.若導(dǎo)體棒運(yùn)動方向v與導(dǎo)體棒ab本身不垂直，但與磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直，如圖2所示.

在Δt時間內(nèi)，導(dǎo)體棒ab由實線位置運(yùn)動到虛線處.在這個過程中閉合回路面積的變化量是陰影部分的面積

ΔS=LvΔt

穿過閉合回路的磁通量的變化量是

ΔΦ=BΔS=BLvΔt

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律

可見，若導(dǎo)體棒ab運(yùn)動方向v與導(dǎo)體棒ab本身不垂直，此時L指的是導(dǎo)體棒在垂直于速度v方向上的投影的有效長度.

2.若導(dǎo)體棒ab運(yùn)動方向v與導(dǎo)線本身垂直，但與磁感應(yīng)強(qiáng)度B有一個夾角θ，則可將導(dǎo)體棒速度v沿平行于磁場方向和垂直于磁場向分解，如圖3所示.

速度v在垂直于磁場向分v1=vsinθ

速度v在平行于磁場向分v2=vcosθ

其中v2平行于磁場向，導(dǎo)體棒ab不切割磁感線，v2方向不產(chǎn)生感應(yīng)電動勢；

v1方向切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

E=BLv1=BLvsinθ

可見，若導(dǎo)體棒運(yùn)動方向與導(dǎo)線本身垂直，但與磁場方向有一個夾角θ，則可將速度v分解為沿磁場方向和垂直于磁場方向；亦可將磁感應(yīng)強(qiáng)度B分解為沿速度方向和垂直于速度方向來處理相關(guān)問題.

3.對于導(dǎo)體棒運(yùn)動切割磁感線運(yùn)動感應(yīng)電動勢E=BLvsinθ，如果v是某一時刻的瞬時速度，則E是該時刻的瞬時感應(yīng)電動勢；如果v是某一段時間的平均速度，則E是該段時間內(nèi)的平均感應(yīng)電動勢.

二、由動生電動勢產(chǎn)生機(jī)理推導(dǎo)動生電動勢

導(dǎo)體在磁場中做切割磁感線運(yùn)動產(chǎn)生動生電動勢的本質(zhì)是由于導(dǎo)體中的自由電荷受到洛倫茲力而引起的.

如圖4所示，長度為L導(dǎo)體棒AC在勻強(qiáng)磁場中以速度v向右運(yùn)動切割磁感線，其中導(dǎo)體棒AC與磁場方向和運(yùn)動方向均垂直.由于金屬導(dǎo)體中有自由電子，所以導(dǎo)體棒中的自由電子隨導(dǎo)體棒一起以速度v向右運(yùn)動.每個自由電子受到的洛倫茲力為f=evB，洛倫茲力f的方向沿導(dǎo)體棒向上.在洛倫茲力f的作用下，自由電子向上運(yùn)動會積累到導(dǎo)體棒的A端，因而C端出現(xiàn)了凈剩的正電荷.AC兩端出現(xiàn)了沿導(dǎo)體棒向上的靜電場E電，此電場對自由電子的靜電力沿導(dǎo)體棒向下，如圖5所示.

隨著AC端電荷的積累，靜電場電場強(qiáng)度E電逐漸增大，當(dāng)洛倫茲力f與靜電力F電平衡時，AC兩端便形成了一個穩(wěn)定的電勢差UAC.此時導(dǎo)體棒相當(dāng)于一個電源，UAC是電源處于開路時，電源的端電壓，即UAC是此電源的電動勢.當(dāng)洛倫茲力f與靜電力F電平衡時

故動生電動勢E=UAC=BLv

需要說明的是，這種情況下洛倫茲力仍然是不做功的.因為當(dāng)導(dǎo)體棒向右運(yùn)動，自由電子受沿導(dǎo)體棒向上的洛倫茲力f會沿導(dǎo)體棒以速度u向上運(yùn)動.正是由于自由電子以速度u向上運(yùn)動才會產(chǎn)生感應(yīng)電流.由于自由電子以速度u向上運(yùn)動，自由電子還會受到向左的洛倫茲力f′，如圖6所示.

在很短一段時間Δt內(nèi)，向上的洛倫茲力f對自由電子做功為：

W1=f(uΔt)=evB(uΔt)

向左的洛倫茲力f′對自由電子做功為：

W2=-f′(vΔt)=-euB(vΔt)

洛倫茲做的總功W=W1+W2=0

由此可以看出，洛倫茲力仍然是不做功，洛倫茲力只是一個“搬運(yùn)工”，起傳遞能量的作用.即外力克服f′所做的功，通過f轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電流的能量.

三、由能量守恒與轉(zhuǎn)化角度推導(dǎo)動生電動勢

如圖7所示，平行金屬導(dǎo)軌之間的距離為L，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面，導(dǎo)體棒ab以速度v向右勻速運(yùn)動，不計其他電阻.

設(shè)由于導(dǎo)體棒向右勻速運(yùn)動，閉合回路的感應(yīng)電動勢為E，感應(yīng)電流為I.

以導(dǎo)體棒為研究對象有，F(xiàn)外=F安

F安=BIL

外力F外做功的功率P=F外v=BILv

閉合電路中的電功率P電=EI

根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化及守恒定律知P=P電即

E=BLv

由此可以看出，發(fā)生電磁感應(yīng)時往往伴隨著其他物理現(xiàn)象的發(fā)生.當(dāng)閉合回路磁通量發(fā)生變化時產(chǎn)生了感應(yīng)電動勢，而回路中感應(yīng)電流的大小可以由閉合回路的歐姆定律得到.通電導(dǎo)線在磁場中又要受到安培力，這樣就可以把電磁感應(yīng)問題、電路問題和力學(xué)問題聯(lián)系起來.但總體來看從能量轉(zhuǎn)化與守恒角度推導(dǎo)動生電動勢更有利于提高學(xué)生對綜合問題的分析能力.