高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法探究

楊立睿

(甘肅省天水市武山縣武山第一高級中學(xué) 741300)

一、高中函數(shù)多元化解題思路的積極作用

通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有一些高中生在面對函數(shù)試題的時(shí)候還在嘗試使用初中階段的解題技巧，試圖通過分析兩個變量之間的關(guān)系來推導(dǎo)答案，嚴(yán)重影響了解題的效率以及準(zhǔn)確性.而想要解決這一問題，就要讓高中生們掌握多元化的函數(shù)解題技巧.在平時(shí)的教學(xué)工作中，教師一方面要不斷強(qiáng)調(diào)函數(shù)基礎(chǔ)知識的重要性，夯實(shí)高中生們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).另一方面在講解經(jīng)典例題的時(shí)候需要從不同的角度對同一道題進(jìn)行仔細(xì)的剖析，讓高中生們了解到每種函數(shù)解題思路的特征以及切入點(diǎn)，提高學(xué)生們的解題效率.

二、處理函數(shù)問題多元化的具體方式

1.發(fā)散性解題方式

由于函數(shù)試題具有比較強(qiáng)的抽象性，試題中的一些信息并不是直接展現(xiàn)的，而是隱藏在題干之下.高中生們?nèi)绻麅H僅從題干的字面去獲取已知信息，那么很容易遺漏掉關(guān)鍵的信息點(diǎn)，從而無法進(jìn)行題目的處理.因此要利用發(fā)散性的思維方式來對待題目，通過對于已知信息的發(fā)散性想象來找到與之相關(guān)的信息，并將其作為已知條件來使用.已知條件越多，題目的難度也就越低，高中生們處理問題的時(shí)候也就會顯得更加得心應(yīng)手.

例1函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，如果f[f(x)]=5x-3，求f(x).

解題思路這道題的題干短小精悍，高中生們在閱讀完這道題的時(shí)候會發(fā)現(xiàn)在已知條件中缺少了一個重要信息點(diǎn)——解析式系數(shù).在缺少解析式系數(shù)的情況下，想要處理這道問題將會變得非常困難.而運(yùn)用發(fā)散性思維模式，學(xué)生們可以馬上聯(lián)想到解析式缺少系數(shù)的時(shí)候經(jīng)常用到的一種處理試題的辦法，即待定系數(shù)法.待定系數(shù)法是解決函數(shù)問題的一個非常重要的方式，將其運(yùn)用到這道題目中能夠讓已知條件變得更加完整，讓解題思路逐漸明朗起來.

具體的計(jì)算方式如下：

設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).

f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b

=a2x+ab+b.

a2=5，ab+b=-3,

2.創(chuàng)新性解題方式

高中階段的函數(shù)試題具有題型多變的特點(diǎn)，即便是相同的知識點(diǎn)，在不同的題目中其表述的方式也會存在很大的不同.這種豐富的變化性為高中生的解題設(shè)置了一定的障礙，想要讀懂題目，高中生們就要不斷提高自己的思維水平，用創(chuàng)新的思維模式來看待問題，從多個角度觀察題干，并找到最為合適的解題思路，在保證準(zhǔn)確率的前提下盡可能縮短計(jì)算時(shí)間.

例2已知不等式2x-1>m(x2-1)，對滿足|m|≤2的所有實(shí)數(shù)的取值都成立，求x的取值范圍.

解題思路通過對題干的觀察我們發(fā)現(xiàn)，由于該不等式由兩個組成部分，如果看作同一個整體來進(jìn)行運(yùn)算，那么計(jì)算的過程相對會比較復(fù)雜，針對這一問題可以采用創(chuàng)新思維模式，考慮將原不等式拆分成兩個單獨(dú)的部分進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算，通過這種拆分讓題目變得更加簡單.

構(gòu)造變量的函數(shù)2x-1>m(x2-1)，即(x2-1)m-(2x-1)<0，那么f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，|m|≤2，也就是-2≤m≤2.

∵x2-1>0，

在x2-1<0的時(shí)候，f(-2)<0，因此-2x2-2x+3<0，經(jīng)過計(jì)算可得2x2+2x-3>0.

當(dāng)x2-1=0的時(shí)候，f(m)=1-2x<0，x=1.

3.一題多解思維模式

高中階段的函數(shù)問題具有很高的抽象性，而且計(jì)算量非常大.高中生在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候首先要鞏固函數(shù)基礎(chǔ)知識，從處理簡單的試題開始，熟悉各種函數(shù)解題技巧，在打牢了基礎(chǔ)之后在進(jìn)行難題的處理.而想要鞏固好基礎(chǔ)，在平時(shí)訓(xùn)練的過程中就要養(yǎng)成一題多解的好習(xí)慣，一道函數(shù)題的處理不能以計(jì)算出答案為最終目的，要對題目進(jìn)行深入解析，并且嘗試用不同的方法處理同一道試題，比較各種解題方式的效率.

例3f(x)=ax+(2a-1)/x，在[1,2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解題思路這是一道比較基礎(chǔ)的求取值范圍的函數(shù)計(jì)算題，可以運(yùn)用多種方式進(jìn)行計(jì)算.根據(jù)題目中的已知條件，我們可以采用導(dǎo)函數(shù)法、定義法以及分類討論法等方式來進(jìn)行處理.不同的解題方式雖然得到的結(jié)論相同，但是運(yùn)用的知識點(diǎn)以及題目的切入點(diǎn)存在很大的不同，在解題的時(shí)候要體會各種方式之間的差別.

解法1通過閱讀題干我們得知f(x)在[1,2]上是增函數(shù)，那么就可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.

解由已知條件可得?x∈[1,2]，

∵f(x)=a-(2a-1)/x2≥0恒成立,

∴-1/2≤a<0.

實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1/2,1].

解法2由于函數(shù)在[1,2]區(qū)間上單調(diào)遞增，因此可以考慮使用定義法來對題目進(jìn)行快速處理.

解?x1，x2∈[1,2]，且x1≠x2，那么可得1

f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[a+(1-2a)/x1x2].

根據(jù)題意可得f(x2)>f(x1)，且x2-x1>0，a+(1-2a)/x1x2>0恒成立.

當(dāng)a>0的時(shí)候，x1x2>(2a-1)/a，可得0

當(dāng)a<0的時(shí)候，x1x2<(2a-1)/a，可得-1/2≤a<0.

當(dāng)a=0的時(shí)候，滿足已知條件，a=0.

綜合這三種情況，就可以得出a的取值范圍[-1/2,1].

三、運(yùn)用多元化解題思路的注意事項(xiàng)

在多元化解題思路的指導(dǎo)下，針對函數(shù)問題可以選擇發(fā)散性方法、創(chuàng)新性方法以及一題多解等思想來進(jìn)行處理.這些方式一方面可以將隱藏在題干中的關(guān)鍵信息挖掘出來，讓題干變得更加完整，另一方面也可以將復(fù)雜的函數(shù)式拆分并轉(zhuǎn)化成相對簡單的函數(shù)，運(yùn)用“化整為零”的解題思路來提高解題的速度以及準(zhǔn)確率.想要保證多元化解題方式的效用，在運(yùn)用的過程中就要注意以下三個方面的問題.首先是函數(shù)式中帶有絕對值的問題，在拆分絕對值的時(shí)候要考慮到所有的因素，防止出現(xiàn)遺漏，影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確率.其次是函數(shù)式的指數(shù)問題，特別是在運(yùn)用待定系數(shù)法的時(shí)候，要根據(jù)指數(shù)的不同來設(shè)計(jì)不同的解析式.最后，要注重基礎(chǔ)知識的培養(yǎng)，多元化解題方式的精髓在于將復(fù)雜的函數(shù)式拆分成若干了簡單的函數(shù)式，如果學(xué)生們沒有扎實(shí)的基本功，在計(jì)算簡單函數(shù)值的時(shí)候會浪費(fèi)大量的時(shí)間，降低解題效率.

針對高中生處理函數(shù)問題效率低下的問題，教師們在平時(shí)進(jìn)行教學(xué)工作的時(shí)候就要培養(yǎng)高中生們多元化思考的能力，在掌握了大量不同解題思路的基礎(chǔ)上，通過對題干的精準(zhǔn)分析快速尋找到破題點(diǎn)，并且選擇最為高效的解題方式，為提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)打下良好的基礎(chǔ).