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    例談立體幾何中證明位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系

    2020-06-06 11:09:56杜紅全
    數(shù)理化解題研究 2020年16期

    杜紅全

    (甘肅省康縣教育局教研室 746500)

    把空間圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題,然后用平面幾何的知識(shí)去解決,這是立體幾何的永恒的主題.立體幾何中有兩個(gè)特殊的位置關(guān)系,即線線、線面、面面的平行與垂直,平行與垂直也是高考的熱點(diǎn).在判斷或證明位置關(guān)系時(shí)關(guān)鍵要理解線線、線面、面面的平行與垂直的內(nèi)在聯(lián)系,平行與垂直的判定和性質(zhì)無(wú)一不蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化思想,下面讓我們走進(jìn)空間中的平行與垂直關(guān)系一起去感受一下吧.

    一、平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

    空間中線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化為:

    因此,在證明平行有關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)抓住“轉(zhuǎn)化”這種思想方法來(lái)達(dá)到論證的目的.

    例1如圖1,平面四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D均在平行四邊形A′B′C′D′所確定一個(gè)平面α外,且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.

    求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

    分析充分利用A′B′C′D′的平行關(guān)系及AA′、BB′、CC′、DD′間的平行關(guān)系,證明出AD∥BC與AB∥CD即可.

    證明因?yàn)樗倪呅蜛′B′C′D′是平行四邊形,所以A′D′∥B′C′.又因A′D′?平面BB′C′C,B′C′?平面BB′C′C,所以A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.又因?yàn)锳′D′?平面AA′D′D,AA′?平面AA′D′D,A′D′∩AA′=A′,所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面AA′D′D=AD,平面ABCD∩平面BB′C′C=BC,所以AD∥BC.同理可證AB∥CD.所以四邊形ABCD是平行四邊形.

    點(diǎn)評(píng)本題證明過(guò)程體現(xiàn)的是線線平行、線面平行、面面平行之間的互相轉(zhuǎn)化,即由A′D′∥B′C′得到A′D′∥平面BB′C′C,實(shí)現(xiàn)了由線線平行向線面平行的轉(zhuǎn)化,應(yīng)用了線面平行的判定定理;由A′D′∥平面BB′C′C與AA′∥平面BB′C′C得到平面AA′D′D∥平面BB′C′C,實(shí)現(xiàn)了由線面平行向面面平行的轉(zhuǎn)化,應(yīng)用了面面平行的判定定理;由平面AA′D′D∥平面BB′C′C得到AD∥BC,實(shí)現(xiàn)了由面面平行向線線平行的轉(zhuǎn)化,應(yīng)用了面面平行的性質(zhì)定理.

    二、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

    空間中線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化為:

    因此,在證明垂直有關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)抓住“轉(zhuǎn)化”這種思想方法,每一種垂直的判定都是從某一垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一垂直,最終到達(dá)目的.

    例2 已知,如圖2,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E為垂足.

    (1)求證:PA⊥BC;

    (2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí),求證:△ABC是直角三角形.

    分析(1)需證PA⊥平面ABC,即證PA與平面ABC內(nèi)的兩條相交直線垂直,可由面面垂直來(lái)構(gòu)造直線;(2)只需證AB⊥AC,即證AB⊥平面PAC.

    證明 (1)如圖2,在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D,作DF⊥AC于點(diǎn)F,作DG⊥AB于點(diǎn)G.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,所以DF⊥平面PAC.又因?yàn)镻A?平面PAC,所以DF⊥PA.同理可證DG⊥PA.又因?yàn)镈G∩DF=D,DG?平面ABC,DF?平面ABC,所以PA⊥平面ABC.又因?yàn)锽C?平面ABC,所以PA⊥BC.

    (2)如圖2,連接BE并延長(zhǎng)交PC于點(diǎn)H.因?yàn)镋為△PBC的垂心,所以PC⊥BH.又因?yàn)锳E⊥平面PBC,PC?平面PBC,所以PC⊥AE.又因?yàn)锽H∩AE=E,BH?平面ABE,AE?平面ABE,所以PC⊥平面ABE.又因?yàn)锳B?平面ABE,所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC,又因?yàn)锳B?平面ABC,所以PA⊥AB.又因?yàn)镻A∩PC=P,PA?平面PAC,PC?平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又因?yàn)锳C?平面PAC,所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.

    點(diǎn)評(píng)本題是一道線線、線面、面面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用,體現(xiàn)了垂直轉(zhuǎn)化,求解本題的關(guān)鍵是用好垂直關(guān)系.

    三、平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

    空間中線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化為:

    因此,在證明平行與垂直有關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)抓住“轉(zhuǎn)化”這種思想方法,最終達(dá)到解題的目的. (1)由線線平行得到線面垂直的判定方法:如果兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面;(2)由線面垂直得到線線平行的判定方法:垂直于同一平面的兩條直線平行;(3)由線面垂直得到面面平行的判定方法:垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行;(4)由面面平行得到線面垂直的判定方法:如果兩個(gè)平行平面中一個(gè)直于一條直線,那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線.而線線與面面平行在前面已舉例說(shuō)明,在此不在贅述.

    例3如圖3,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF為異面直線A1D與AC的公垂線,求證:EF∥BD1.

    分析利用垂直于同一平面的兩條直線平行,只需證EF⊥平面A1C1D與BD1⊥平面A1C1D即可.

    證明如圖3,連接A1C1,則四邊形A1ACC1是平行四邊形,所以AC∥A1C1.又因?yàn)镋F⊥AC,所以EF⊥A1C1.又因?yàn)镋F⊥A1D,A1D∩A1C1=A1,所以EF⊥平面A1C1D.

    連接B1D1.因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1. 因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形,所以B1D1⊥A1C1.又因?yàn)锽1D1∩BB1=B1,所以A1C1⊥平面BB1D1D.又因?yàn)锽D1?平面BB1D1D,所以A1C1⊥BD1.同理可證BD1⊥DC1.又因?yàn)锳1C1∩DC1=C1,所以BD1⊥平面A1C1D.所以EF∥BD1.

    點(diǎn)評(píng)本題是由線面垂直?線線平行,證明本題的關(guān)鍵是EF⊥平面A1C1D與BD1⊥平面A1C1D.由于EF為異面直線A1D與AC的公垂線,這一條件構(gòu)造線面垂直十分有用.

    例4 如圖4,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是C1C,B1C1,C1D1的中點(diǎn),求證:平面PMN∥平面A1BD.

    分析利用垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行,只需A1C⊥平面PMN,A1C⊥平面A1BD即可.

    證明如圖4,連接AC1,AC.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體,所以四邊形ABCD是正方形.又因?yàn)锳C和BD是正方形ABCD的對(duì)角線,所以AC⊥BD.又因?yàn)镃C1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以CC1⊥BD.又因?yàn)锳C?平面ACC1,CC1?平面ACC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.又因?yàn)锳C1?平面ACC1,所以AC1⊥BD.同理可證AC1⊥A1B,又因?yàn)锽D?平面A1BD,A1B?平面A1BD,BD∩A1B=B,所以AC1⊥平面A1BD.同理可證AC1⊥平面PMN,所以平面PMN∥平面A1BD.

    點(diǎn)評(píng)本題是由線面垂直?面面平行;此題還可以利用平面與平面平行的判定定理來(lái)證明,關(guān)鍵是MN∥平面A1BD與PN∥平面A1BD.即用線線平行?線面平行?面面平行.

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