解壓軸題：見微知著 大膽設(shè)想

許銀伙 楊蒼洲

(1.福建省泉州外國語學校 362000;2.福建省泉州第五中學 362000)

作為高考函數(shù)壓軸題，通常都是情境較新穎、難度較大的數(shù)學問題，因此問題的解答，除了必須綜合運用各種數(shù)學思想、方法和知識外，還需要細心觀察，見微知著，調(diào)動自身的解題經(jīng)驗，大膽設(shè)想，創(chuàng)新解法，才有可能突破問題的解答瓶頸，提升自己的解題能力.

(1) 試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)證明：f(x)≥g(x).

觀察到：h(1)=0，h′(1)=0，思考：h(1)應該是函數(shù)h(x)的最小值，預測當x∈(1,+)時，h′(x)≥0；當x∈(0,1)時，h′(x)≤0.下證明之：

綜上得：h(x)≥0對x>0恒成立，即f(x)≥g(x)恒成立.

反思與評注問題(2)的解決主要靠觀察與猜想，見微知著.

1.令h(x)=f(x)-g(x)，觀察到：h(1)=0，h′(1)=0，思考：h(1)應該是函數(shù)h(x)的最小值.

3．當x∈(0,1)時和當x∈(1,+)時，在h′(x)中分別把ex-1用1代入放縮和用消去ex-1是本題解答的最大“亮點”.

例題2(2016年東北三省四市聯(lián)合體試題理科)已知函數(shù)f(x)=e1-xcosx.

2.針對含多個超越函數(shù)的不等式的證明，通常有兩種方法：(1)通過放縮減少超越函數(shù)式的個數(shù)，如例1.(2)引入切線，轉(zhuǎn)化成兩個不等式加以證明.

反思與評注1.本題的解決有兩個難點：

例題4 (2018全國卷(Ⅲ)理科21)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明:當-10時，f(x)>0.

(2) 若x=0是f(x)的極大值點,求a.

分析與解(1)略.