化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

王宏利

(福建省光澤第一中學(xué) 354100)

高中數(shù)學(xué)試題類(lèi)型復(fù)雜多變，運(yùn)用直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法等進(jìn)行化歸，可降低數(shù)學(xué)試題難度，大大提高解題正確率，因此，授課中應(yīng)注重這些化歸方法及其應(yīng)用講解，提高學(xué)生化歸思想應(yīng)用意識(shí)，使其掌握這一解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要技巧.

一、直接轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用

直接轉(zhuǎn)化法是一種將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本公式、基本定理順利求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.為使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用這一化歸方法，一方面，授課中為學(xué)生深入講解基本公式，基本定理，使其既要牢固記憶，又要清楚其來(lái)源，積累豐富的基礎(chǔ)知識(shí).另一方面，結(jié)合具體題目，講解直接轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)應(yīng)用過(guò)程，掌握應(yīng)用技巧.

二、換元法的應(yīng)用

換元法指通過(guò)引入新的變量將分式化為整式、將高次化為低次，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的一種方法.換元法在方程、不等式、函數(shù)等試題中應(yīng)用廣泛.為使學(xué)生掌握該化歸方法，一方面，講解換元常用方法，包括均值換元、三角換元、局部換元等，細(xì)致剖析各種換元形式以及應(yīng)注意的問(wèn)題.另一方面，優(yōu)選經(jīng)典題目，為學(xué)生講解換元法的應(yīng)用，掌握換元技巧，提高解題正確率.

例2已知x、y∈R，滿(mǎn)足x2+2xy+4y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為：____.

該題目題干較為簡(jiǎn)單，但如不會(huì)進(jìn)行化歸很難解答.認(rèn)真觀察題干特點(diǎn)，可采用三角換元法進(jìn)行解答.

三、數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合法是通過(guò)建立“形”與“數(shù)”之間的相互聯(lián)系，進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種回歸方法.數(shù)形結(jié)合法可簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率.為使學(xué)生靈活應(yīng)用該種方法，一方面，講解“形”與“數(shù)”轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)途徑.如“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化可采用向量法、構(gòu)建坐標(biāo)系等方法.“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化則主要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)利用函數(shù)以及平面、立體幾何知識(shí)繪制對(duì)應(yīng)圖形.另一方面，圍繞具體例題，講解數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合法解題的簡(jiǎn)便之處，認(rèn)真學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解題.

圖1

四、構(gòu)造法的應(yīng)用

構(gòu)造法指結(jié)合已學(xué)知識(shí)以及經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)造一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，將問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題.構(gòu)造法對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，為使其靈活應(yīng)用，教學(xué)中，一方面，注重講解常用構(gòu)造法，包括構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)、構(gòu)造向量等，加深學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的理解，掌握構(gòu)造法精髓.另一方面，結(jié)合具體習(xí)題，鼓勵(lì)學(xué)生采用構(gòu)造法求解，并給予學(xué)生相關(guān)指導(dǎo)，樹(shù)立應(yīng)用構(gòu)造法解題的自信，提高學(xué)生構(gòu)造法應(yīng)用技巧及應(yīng)用能力.

例4已知等比數(shù)列{an}中a1=2，a8=4，函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，f′(0)=( ).

A.26B.29C.212D.215

該題目技巧性較強(qiáng)，很多學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手，因此，授課中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察已知條件，提示其使用構(gòu)造法進(jìn)行求解.事實(shí)上，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)f(x)=xg(x)而后運(yùn)用整體代換與數(shù)列性質(zhì)不難求解.

令g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，則f(x)=xg(x)，兩邊求導(dǎo)得到：f′(x)=g(x)+xg′(x)，∴f′(0)=g(0)=a1·a2·…·a8.

又∵{an}為等比數(shù)列，a1=2，a8=4，∴由等比數(shù)列性質(zhì)可得，f′(0)=g(0)=a1·a2·…·a8=(2×4)4=212.正確選項(xiàng)為C.

化歸思想是解答高中數(shù)學(xué)試題的重要思想，涉及的化歸方法較多，其中直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法較為常用.授課中既要注重化歸思想以及常用方法的講解，使學(xué)生儲(chǔ)備豐富的理論知識(shí)，又要結(jié)合具體例題，講解化歸方法的應(yīng)用，使其掌握化歸方法應(yīng)用技巧，提高高中數(shù)學(xué)解題能力，為數(shù)學(xué)成績(jī)的提高奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).