一道高考題引發(fā)的思考
——函數(shù)最值題解法探究

康 琳

(四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610061)

課前給學(xué)生布置了這道例題，研究不同的解法，請(qǐng)學(xué)生展示成果.而選這道例題的原因，從考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)能力方面，是因?yàn)橐鉀Q這道題，需要具有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力；從考查內(nèi)容方面來(lái)看，函數(shù)最值既是高中數(shù)學(xué)的重要基本知識(shí)，同時(shí)也是高考每年必考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.由于有時(shí)常與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)考察，知識(shí)點(diǎn)多、運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)，所以這類題在區(qū)分學(xué)生層次、選拔人才方面起到很好的作用，因此也深受廣大一線師生的關(guān)注.

例題(2013年全國(guó)卷一)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,則f(x)的最大值為____.

思考一先確定a,b的值，再求函數(shù)最值是所有學(xué)生選擇的思路，因?yàn)轭}目要求f(x) 的最值，自然想到確定函數(shù)解析式.

步驟一確定a,b的值.

解法1因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，所以f(x)=f(-x-4)①，或者f(-2+x)=f(-2-x).

評(píng)注通過(guò)將已知條件用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.通過(guò)得到的抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即關(guān)于a,b的方程組.

(1)代入原函數(shù)展開合并同類項(xiàng)后，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得出a,b的值.但此法運(yùn)算量很大，選擇的學(xué)生都中途放棄，和學(xué)生一起分析原因，提出代數(shù)運(yùn)算有時(shí)需要對(duì)算法進(jìn)行推理和選擇.

(2)定義域內(nèi)任意的x都滿足①式，故取兩個(gè)特殊值x=0,x=-2 得方程f(0)=f(0-4)和f(-3)=f(3-4)，直接計(jì)算可得a=8,b=15.此法與(1)相比運(yùn)算量大大減少，學(xué)生都能正確計(jì)算得出結(jié)果.

(3)因?yàn)橹本€x=-2是函數(shù)f(x)的圖象對(duì)稱軸，所以f′(-2)=0，又f(0)=f(0-4)，計(jì)算得a=8,b=15.此法需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

解法2 觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)x=±1 是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱得，x=-3,x=-5 是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，即x=-3,x=-5是二次方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得a=8,b=15.

評(píng)注學(xué)生將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言互相轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確地推理論證，再利用函數(shù)與方程的思想，可以得到多種較為簡(jiǎn)便的解法.教學(xué)時(shí)利用GeoGebra數(shù)學(xué)教學(xué)軟件動(dòng)畫生成函數(shù)f(x)的圖象，讓學(xué)生直觀感受數(shù)形結(jié)合給解題帶來(lái)的快捷.在課堂教學(xué)過(guò)程中適時(shí)增加新鮮感，能夠使學(xué)生在緊張的高三學(xué)習(xí)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美.

解法3 根據(jù)已知條件可以知道，將原函數(shù)f(x) 的圖象往右平移兩個(gè)單位后，關(guān)于x=0 對(duì)稱，即f(x-2)是偶函數(shù).

f(x-2)=-x4+(8-a)x3+(6a-b-23)x2+(-11a+4b+28)x-12+6a-3b，

由8-a=0，-11a+4b+28=0，得a=8,b=15.

評(píng)注通過(guò)邏輯推理和空間想象，將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，再由高次多項(xiàng)式的奇偶特點(diǎn)構(gòu)造方程組，以數(shù)形結(jié)合的基本思想提供了一種不同的思路.

解法4 對(duì)于偶函數(shù)g(x)=-x4+cx2+e，往左平移兩個(gè)單位得f(x)=g(x+2)=-(x+2)4+c(x+2)2+e，由x=±1 是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，得f(-1)=-1+c+e=0

f(1)=-81+9c+e=0，得c=10,e=-9.

評(píng)注逆向思考由高次多項(xiàng)式的奇偶特點(diǎn)構(gòu)造方程組.

步驟二求函數(shù)f(x) 的最大值

解法1由函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)，得f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=-4(x+2)(x2+4x-1).

評(píng)注通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)最值是學(xué)生熟悉的方法，思維難度小于運(yùn)算難度. 部分學(xué)生求導(dǎo)后求三次方程-4x3-24x2-28x+8=0(等價(jià)于x3+6x2+7x-2=0)的根時(shí)，不能正確分解因式，導(dǎo)致中途放棄或錯(cuò)解，這里提供三種分解方法：①待定系數(shù)法，觀察出x=-2 是方程x3+6x2+7x-2=0的一個(gè)根，再令x3+6x2+7x-2=(x+2)(x2+bx+c) ，利用同類項(xiàng)系數(shù)關(guān)系求出b=4,c=-1 ②多項(xiàng)式除法 ③三次方程求根公式(選修2-2P113閱讀與思考的代數(shù)基本定理)

解法2由【思路步驟一】的解法2得f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)，作出函數(shù)圖象，不妨設(shè)f(x)最大值在x1,x2取到，其中x1

評(píng)注函數(shù)最值在端點(diǎn)或極值點(diǎn)取得，利用虛設(shè)的零點(diǎn)整體代入運(yùn)算，降低運(yùn)算難度.這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方面具有重要的作用.

解法3由【思路步驟一】解法2得

f(x)=(1-x2)(x+3)(x+5)=(1-x)(x+1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)=-[(x+2)2-9][(x+2)2-1]，令(x+2)2=t,t≥0 ，則y=-(t-9)(t-1).當(dāng)t=5時(shí)，得y的最大值為16 .

評(píng)注局部換元后，從代數(shù)角度發(fā)現(xiàn)函數(shù)結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)潔，從幾何角度發(fā)現(xiàn)函數(shù)右移兩個(gè)單位后得到四次偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)求最值，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有時(shí)建立不同的數(shù)學(xué)模型會(huì)使運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單.數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生理解換元的意義.

評(píng)注由四項(xiàng)連乘的結(jié)構(gòu)聯(lián)系到海倫公式，這是符合函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的思想，從廣義來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)本身也是數(shù)學(xué)模型的一種，這也是學(xué)生知識(shí)的遷移能力的體現(xiàn).

解法5由【思路步驟一】的解法4有f(x-2)=-x4+10x2-9=-(x2-5)2+16，得f(x) 的最大值16.

評(píng)注平移變化后，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，研究對(duì)象轉(zhuǎn)移. 通過(guò)動(dòng)畫展示，引導(dǎo)學(xué)生直觀想象，發(fā)現(xiàn)平移后，零點(diǎn)也移動(dòng)，而最值不變.于是產(chǎn)生下面的解法.

思考二學(xué)生通過(guò)對(duì)以上解法、思路的理解，結(jié)合圖象直觀感受，不斷優(yōu)化分析最終發(fā)現(xiàn)將f(x) 的最值等價(jià)轉(zhuǎn)化為g(x) 的最值(零點(diǎn)平移、偶函數(shù)對(duì)稱性)，用不等式求最值， 學(xué)生的能力得到進(jìn)一步的提升.

評(píng)注引導(dǎo)學(xué)生直觀想象，函數(shù)圖象平移前后哪些特征該變，哪些特征不變，再利用均值不等式，化繁為簡(jiǎn)，巧妙求最值.

思考三高考函數(shù)壓軸題難度較大，從多角度分析難點(diǎn)問(wèn)題有利于提升學(xué)生的思維水平與思維層次，本節(jié)課以2013年全國(guó)卷一道填空題為例題，在課前布置給學(xué)生思考，并在各組之間展開學(xué)習(xí)競(jìng)賽，看哪一個(gè)小組找到的解法最多，以此來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究積極性.課上讓學(xué)生們分組展示小組成果，最后總結(jié)出解決函數(shù)最值壓軸題的一些解題策略.反思后發(fā)現(xiàn)近年高考數(shù)學(xué)命題將“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”作為一條基本的命題理念在實(shí)施，這道題就得到了充分的體現(xiàn).