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    一道高考題引發(fā)的思考
    ——函數(shù)最值題解法探究

    2020-06-06 11:18:32
    數(shù)理化解題研究 2020年16期
    關(guān)鍵詞:思路數(shù)學(xué)學(xué)生

    康 琳

    (四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610061)

    課前給學(xué)生布置了這道例題,研究不同的解法,請(qǐng)學(xué)生展示成果.而選這道例題的原因,從考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)能力方面,是因?yàn)橐鉀Q這道題,需要具有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力;從考查內(nèi)容方面來(lái)看,函數(shù)最值既是高中數(shù)學(xué)的重要基本知識(shí),同時(shí)也是高考每年必考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.由于有時(shí)常與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)考察,知識(shí)點(diǎn)多、運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng),所以這類(lèi)題在區(qū)分學(xué)生層次、選拔人才方面起到很好的作用,因此也深受廣大一線(xiàn)師生的關(guān)注.

    例題(2013年全國(guó)卷一)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-2對(duì)稱(chēng),則f(x)的最大值為_(kāi)___.

    思考一先確定a,b的值,再求函數(shù)最值是所有學(xué)生選擇的思路,因?yàn)轭}目要求f(x) 的最值,自然想到確定函數(shù)解析式.

    步驟一確定a,b的值.

    解法1因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-2對(duì)稱(chēng),所以f(x)=f(-x-4)①,或者f(-2+x)=f(-2-x).

    評(píng)注通過(guò)將已知條件用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.通過(guò)得到的抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式,即關(guān)于a,b的方程組.

    (1)代入原函數(shù)展開(kāi)合并同類(lèi)項(xiàng)后,根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等,得出a,b的值.但此法運(yùn)算量很大,選擇的學(xué)生都中途放棄,和學(xué)生一起分析原因,提出代數(shù)運(yùn)算有時(shí)需要對(duì)算法進(jìn)行推理和選擇.

    (2)定義域內(nèi)任意的x都滿(mǎn)足①式,故取兩個(gè)特殊值x=0,x=-2 得方程f(0)=f(0-4)和f(-3)=f(3-4),直接計(jì)算可得a=8,b=15.此法與(1)相比運(yùn)算量大大減少,學(xué)生都能正確計(jì)算得出結(jié)果.

    (3)因?yàn)橹本€(xiàn)x=-2是函數(shù)f(x)的圖象對(duì)稱(chēng)軸,所以f′(-2)=0,又f(0)=f(0-4),計(jì)算得a=8,b=15.此法需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

    解法2 觀(guān)察函數(shù)結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)x=±1 是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),由函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-2對(duì)稱(chēng)得,x=-3,x=-5 是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),即x=-3,x=-5是二次方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理可得a=8,b=15.

    評(píng)注學(xué)生將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言互相轉(zhuǎn)化,準(zhǔn)確地推理論證,再利用函數(shù)與方程的思想,可以得到多種較為簡(jiǎn)便的解法.教學(xué)時(shí)利用GeoGebra數(shù)學(xué)教學(xué)軟件動(dòng)畫(huà)生成函數(shù)f(x)的圖象,讓學(xué)生直觀(guān)感受數(shù)形結(jié)合給解題帶來(lái)的快捷.在課堂教學(xué)過(guò)程中適時(shí)增加新鮮感,能夠使學(xué)生在緊張的高三學(xué)習(xí)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美.

    解法3 根據(jù)已知條件可以知道,將原函數(shù)f(x) 的圖象往右平移兩個(gè)單位后,關(guān)于x=0 對(duì)稱(chēng),即f(x-2)是偶函數(shù).

    f(x-2)=-x4+(8-a)x3+(6a-b-23)x2+(-11a+4b+28)x-12+6a-3b,

    由8-a=0,-11a+4b+28=0,得a=8,b=15.

    評(píng)注通過(guò)邏輯推理和空間想象,將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,再由高次多項(xiàng)式的奇偶特點(diǎn)構(gòu)造方程組,以數(shù)形結(jié)合的基本思想提供了一種不同的思路.

    解法4 對(duì)于偶函數(shù)g(x)=-x4+cx2+e,往左平移兩個(gè)單位得f(x)=g(x+2)=-(x+2)4+c(x+2)2+e,由x=±1 是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),得f(-1)=-1+c+e=0

    f(1)=-81+9c+e=0,得c=10,e=-9.

    評(píng)注逆向思考由高次多項(xiàng)式的奇偶特點(diǎn)構(gòu)造方程組.

    步驟二求函數(shù)f(x) 的最大值

    解法1由函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+8x+15),得f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=-4(x+2)(x2+4x-1).

    評(píng)注通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)最值是學(xué)生熟悉的方法,思維難度小于運(yùn)算難度. 部分學(xué)生求導(dǎo)后求三次方程-4x3-24x2-28x+8=0(等價(jià)于x3+6x2+7x-2=0)的根時(shí),不能正確分解因式,導(dǎo)致中途放棄或錯(cuò)解,這里提供三種分解方法:①待定系數(shù)法,觀(guān)察出x=-2 是方程x3+6x2+7x-2=0的一個(gè)根,再令x3+6x2+7x-2=(x+2)(x2+bx+c) ,利用同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)關(guān)系求出b=4,c=-1 ②多項(xiàng)式除法 ③三次方程求根公式(選修2-2P113閱讀與思考的代數(shù)基本定理)

    解法2由【思路步驟一】的解法2得f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5),作出函數(shù)圖象,不妨設(shè)f(x)最大值在x1,x2取到,其中x1

    評(píng)注函數(shù)最值在端點(diǎn)或極值點(diǎn)取得,利用虛設(shè)的零點(diǎn)整體代入運(yùn)算,降低運(yùn)算難度.這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方面具有重要的作用.

    解法3由【思路步驟一】解法2得

    f(x)=(1-x2)(x+3)(x+5)=(1-x)(x+1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)=-[(x+2)2-9][(x+2)2-1],令(x+2)2=t,t≥0 ,則y=-(t-9)(t-1).當(dāng)t=5時(shí),得y的最大值為16 .

    評(píng)注局部換元后,從代數(shù)角度發(fā)現(xiàn)函數(shù)結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)潔,從幾何角度發(fā)現(xiàn)函數(shù)右移兩個(gè)單位后得到四次偶函數(shù),轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)求最值,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有時(shí)建立不同的數(shù)學(xué)模型會(huì)使運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單.數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生理解換元的意義.

    評(píng)注由四項(xiàng)連乘的結(jié)構(gòu)聯(lián)系到海倫公式,這是符合函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的思想,從廣義來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)知識(shí)本身也是數(shù)學(xué)模型的一種,這也是學(xué)生知識(shí)的遷移能力的體現(xiàn).

    解法5由【思路步驟一】的解法4有f(x-2)=-x4+10x2-9=-(x2-5)2+16,得f(x) 的最大值16.

    評(píng)注平移變化后,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化,研究對(duì)象轉(zhuǎn)移. 通過(guò)動(dòng)畫(huà)展示,引導(dǎo)學(xué)生直觀(guān)想象,發(fā)現(xiàn)平移后,零點(diǎn)也移動(dòng),而最值不變.于是產(chǎn)生下面的解法.

    思考二學(xué)生通過(guò)對(duì)以上解法、思路的理解,結(jié)合圖象直觀(guān)感受,不斷優(yōu)化分析最終發(fā)現(xiàn)將f(x) 的最值等價(jià)轉(zhuǎn)化為g(x) 的最值(零點(diǎn)平移、偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)性),用不等式求最值, 學(xué)生的能力得到進(jìn)一步的提升.

    評(píng)注引導(dǎo)學(xué)生直觀(guān)想象,函數(shù)圖象平移前后哪些特征該變,哪些特征不變,再利用均值不等式,化繁為簡(jiǎn),巧妙求最值.

    思考三高考函數(shù)壓軸題難度較大,從多角度分析難點(diǎn)問(wèn)題有利于提升學(xué)生的思維水平與思維層次,本節(jié)課以2013年全國(guó)卷一道填空題為例題,在課前布置給學(xué)生思考,并在各組之間展開(kāi)學(xué)習(xí)競(jìng)賽,看哪一個(gè)小組找到的解法最多,以此來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究積極性.課上讓學(xué)生們分組展示小組成果,最后總結(jié)出解決函數(shù)最值壓軸題的一些解題策略.反思后發(fā)現(xiàn)近年高考數(shù)學(xué)命題將“多考點(diǎn)想,少考點(diǎn)算”作為一條基本的命題理念在實(shí)施,這道題就得到了充分的體現(xiàn).

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