基于分形理論的巖體原生節(jié)理分布特征研究
——以長河壩水電站為例

胡德茂,吳發(fā)名,李洪濤*,姚 強,紀杰杰

(1.四川大學水利水電學院，水力學與山區(qū)河流開發(fā)保護國家重點實驗室，成都 610065；2.中國三峽建設管理有限公司，成都 610000)

巖體內(nèi)部縱橫交錯著大量形態(tài)不同、產(chǎn)狀各異的以原生節(jié)理為主的結構面，這些結構面彼此相互切割，形成天然巖塊和破碎軟弱帶，降低了巖體的完整性和連續(xù)性，也影響著最終的爆破效果及塊度構成[1-3]。目前，中外研究巖體原生節(jié)理的分形特征以及特征參數(shù)概率分布的文獻較少。因此結合數(shù)學統(tǒng)計方法和分形理論，研究原生節(jié)理特征參數(shù)概率分布模型及分形特征，對工程質(zhì)量評價及爆破塊度預測等方面有重要意義。

Mandelbrot[4]在對不規(guī)則海岸線尺度特征進行描述時首次提出分形的概念；隨后，該理論很快應用到結構面分形特征的描述上，如結構面粗糙度[5]、裂隙模擬[6]、巖體質(zhì)量評價[7]等。張繼春等[8]、Poulto等[9]、Chelidze等[10]研究發(fā)現(xiàn)，結構面的跡長、間距、密度、隙寬和規(guī)模等空間分布參數(shù)，在無標度區(qū)間內(nèi)具有良好的統(tǒng)計自相似性，表明巖體結構面的空間幾何特征及其分布網(wǎng)絡具有分形特征。Zhan等[11]基于建立的單分形維數(shù)和多分形維數(shù)，提出采用分形指標來描述結構面產(chǎn)狀分布特征。黃國明等[12]、丁多文[13]、劉建國等[14]等結合工程案例，研究了節(jié)理分布網(wǎng)絡的分形特征，探討了分形維數(shù)D與結構面發(fā)育程度的關系；秦四清等[15]、盛建龍等[16]、劉艷章等[17]研究了巖體節(jié)理分形維數(shù)的大小與結構面質(zhì)量好壞之間的關系，提出了采用分形維數(shù)D作為定量指標對巖體的工程質(zhì)量進行等級劃分的觀點；李立辰等[18]考慮到傳統(tǒng)方法的不足，提出表征分形維數(shù)的概念，將表征分形維數(shù)與傳統(tǒng)有效性指標的分組效果進行比較。

前人研究結果表明，巖體結構面的空間分布網(wǎng)絡及其幾何特征參數(shù)均具有分形特征，中外學者已經(jīng)將分形理論成功應用于巖體的結構面產(chǎn)狀分布描述和工程質(zhì)量評價等領域?；诖?，依托長河壩水電站江咀料場、響水溝料場以及雙江口河口料場，開展現(xiàn)場節(jié)理調(diào)查統(tǒng)計，分析跡長和傾角的分布形式；基于盒維數(shù)計算方法得出結構面分布的分形維數(shù)D，討論分形維數(shù)D與節(jié)理巖體工程質(zhì)量的關系。研究結果可以為分形理論在巖土工程質(zhì)量評價以及后期節(jié)理巖體的爆破塊度預測等方面，提供重要的工程參考價值。

1 巖體結構面特征測量

1.1 工程概況

長河壩水電站位于四川省康定市，為大渡河干流水電梯級開發(fā)的第11級電站，壩高240 m。筑壩所需材料主要來源于上游的響水溝石料場和下游的江咀石料場。兩個石料場的巖石種類分別為堅硬的花崗巖和閃長巖，石料鉆孔效率低、爆破單耗高，直接開采和破碎生產(chǎn)較為困難。

1.2 現(xiàn)場節(jié)理特征調(diào)查

參照國際巖石力學學會推薦的巖體不連續(xù)面定量描述方法[19]，分別對長河壩江咀料場、響水溝料場結構面Ⅳ級原生節(jié)理的跡長和傾角等要素進行測量。根據(jù)測線法工作原理，通過垂直拍照對兩個石料場的爆破臺階面展開節(jié)理調(diào)查統(tǒng)計，調(diào)查區(qū)域及取樣面結構特征分別如圖1所示。

圖1 江咀和響水溝料場節(jié)理調(diào)查區(qū)域Fig.1 Joint investigation area in Jiangzui and Xiangshuigou quarry

從圖1可以看出，江咀料場比響水溝料場的節(jié)理發(fā)育程度高，裂隙多，因此巖體更為破碎。將采樣面照片導入CAD中，描繪該范圍內(nèi)的節(jié)理跡線分布網(wǎng)絡并進行編號，結果如圖2所示。江咀料場、響水溝料場的取樣面大小分別為15.0 m×10.0 m、12.0 m×9.0 m，統(tǒng)計節(jié)理的傾角和跡長等各項參數(shù)，統(tǒng)計結果如表1、表2所示。

圖2 江咀、響水溝料場取樣面節(jié)理分布網(wǎng)絡Fig.2 Joint distribution network of sampling surface in Jiangzui and Xiangshuigou quarry

表1 江咀料場取樣面節(jié)理統(tǒng)計成果

表2 響水溝料場取樣面節(jié)理統(tǒng)計成果

2 結構面參數(shù)的概率分布模型

研究結構面幾何參數(shù)的概率分布形式，是描述不確定性結構面隨機分布特征的主要內(nèi)容。目前國內(nèi)外已有的研究結果表明，巖體結構面的特征參數(shù)主要服從正態(tài)、對數(shù)正態(tài)、均勻以及負指數(shù)等四種概率分布形式[20]。

2.1 概率分布模型確定

對于某一組特定的樣本資料，應從已知的概率密度函數(shù)中選擇合理并且實用方便的概率分布形式。采用SPSS統(tǒng)計軟件，結合Q-Q圖原理，對長河壩江咀料場、響水溝料場取樣節(jié)理面的傾角和跡長的概率分布模型進行分析，計算結果如表3所示。

表3 長河壩水電站料場節(jié)理參數(shù)的概率分布模型統(tǒng)計

從表3中可以看出，江咀料場和響水溝料場取樣節(jié)理面的傾角、跡長分別服從正態(tài)和對數(shù)正態(tài)分布。這與汪小剛等[21]的研究結果一致，表明取樣面節(jié)理信息的調(diào)查結果具有一定的準確性與可靠性。

2.2 統(tǒng)計特征參數(shù)確定

對于概率分布模型而言，在確定了其概率分布函數(shù)F(x)的形式后，還要計算其相應的統(tǒng)計特征參數(shù)，如均值μx、標準差σx等。確定統(tǒng)計參數(shù)比較常用的方法有極大似然法和最小二乘法兩種。極大似然法具有比較明確的統(tǒng)計意義[22]，其目標是使得似然函數(shù)獲得極大值；而最小二乘法則是要使擬合的概率分布函數(shù)最為接近實際數(shù)據(jù)的分布直方圖[23]，工程上這兩種方法的計算結果可互相佐證。采用上述方法得到江咀料場和響水溝料場巖體結構面參數(shù)的分布直方圖分別如圖3、圖4所示。

圖3 江咀料場巖體結構面參數(shù)分布直方圖Fig.3 Histogram of rock mass structure surface parameter distribution in Jiangzui quarry

圖4 響水溝料場巖體結構面參數(shù)分布直方圖Fig.4 Histogram of rock mass structure surface parameter distribution in Xiangshuigou quarry

圖3、圖4是長河壩水電站江咀料場和響水溝料場傾角和跡長調(diào)查資料直方圖，按照最小二乘法擬合得到均值和標準差統(tǒng)計結果如表4所示。

表4 均值、標準差計算結果

3 結構面分布的分形特征

3.1 盒維數(shù)法簡介

目前巖體結構面分維數(shù)常采用的測定方法是碼尺法與盒維數(shù)法[17,19]，采用盒維數(shù)法對巖體結構進行分維數(shù)的測定，方法如下。

盒維數(shù)的計算是一個不斷取極限的過程，當小盒子的邊長r→0時所定義的分形維數(shù)。實際求分形維數(shù)的過程中，盒子的邊長只能取有限個。因此使用該方法求分形維數(shù)的一般步驟如下。①采用邊長為的盒子來覆蓋分形圖案，假設所需要的非空盒子數(shù)為N(r)；②縮小盒子的尺寸，重復步驟①，便可得到一系列r-N(r)的散點數(shù)據(jù)；③當r→0時，便可得到盒維數(shù)法所定義的分維數(shù)：

(1)

式中：D為分形維數(shù)；r為小盒子的邊長；N(r)為非空盒子數(shù)。

針對平面分形圖案，則可采用邊長為r的正方形網(wǎng)格來覆蓋，所需的非空網(wǎng)格數(shù)記為N(r)，通過改變r的大小，便可得到一系列r-N(r)，在lgr-lgN(r)所示的雙對數(shù)坐標上作出散點關系圖，用最小二乘法求出該散點圖的擬合直線，則直線斜率的絕對值即為分維數(shù)D。

3.2 節(jié)理分布的分形特征

江咀料場和響水溝料場原生節(jié)理的跡長服從對數(shù)正態(tài)分布，而對數(shù)正態(tài)分布屬于冪律分布，近似于分形結構[12]。根據(jù)盒維數(shù)法，對江咀料場以及響水溝料場節(jié)理分布網(wǎng)絡，采用一系列邊長為r的正方形網(wǎng)格，按照相似比δ=(1/2)n(n=1～5)去逐級劃分該節(jié)理分布網(wǎng)絡的每一條邊，得到在每個相似比下與節(jié)理跡線相交的各級正方形網(wǎng)格的數(shù)量N(r)，然后在雙對數(shù)坐標下作r-N(r)的散點圖，擬合結果如圖5所示。其中測度r1=0.312 5～5 m，r2=0.187 5～3 m。

圖5 取樣面節(jié)理分布網(wǎng)絡的N(r)-r雙對數(shù)曲線Fig.5 Double logarithmic curve of N(r)-r of sampling surface joint distribution network

從圖5可以看出，N(r)與r在雙對數(shù)坐標中表現(xiàn)出良好的線性關系，且線性相關系數(shù)分別高達0.967、0.970，表明在該測度范圍內(nèi)，江咀料場和響水溝料場原生節(jié)理的跡線分布符合分形特征，分形維數(shù)D分別為1.315、1.275。

綜合江咀料場和響水溝料場節(jié)理分布網(wǎng)絡的分形計算結果可知，巖體結構面分布的分形維數(shù)D與結構面的發(fā)育程度及巖體的工程質(zhì)量密切相關。即結構面越發(fā)育，分形維數(shù)D就越大，巖體的工程質(zhì)量也就越差。例如，江咀料場節(jié)理分布的分形維數(shù)D=1.315，大于響水溝料場節(jié)理分布的分形維數(shù)D=1.275，根據(jù)現(xiàn)場節(jié)理測量結果，江咀料場節(jié)理調(diào)查面的節(jié)理裂隙發(fā)育程度明顯高于響水溝料場，江咀料場巖體的破碎程度也相對更高，巖體的工程質(zhì)量也相對更差。因此，可以建立結構面分布的分形維數(shù)D與巖體質(zhì)量的工程等級之間的映射關系，從而實現(xiàn)對巖體性質(zhì)的定量評價。

3.3 斷層分布的分形特征

為了進一步驗證在不同調(diào)查尺度范圍內(nèi)巖體結構面分布的分形維數(shù)D與結構面的發(fā)育程度及巖體工程質(zhì)量之間的關系，進一步研究了雙江口水電站河口料場斷層系的分形特征。

圖6為大渡河雙江口水電站河口料場1 600 m×1 600 m(長×寬)區(qū)域范圍內(nèi)的斷層系分布圖。地質(zhì)勘探資料顯示，河口料場的斷層主要分布如下。其一為走向N12°～15°W，傾SW，傾角82°，近直立，水平厚約32 m；其二展布于HZK5至綽斯甲河HPD5洞口上游側(cè)溝槽一帶，順層發(fā)育，HZK5鉆孔揭示鉛直厚度約28 m。破碎帶主要分布于腳木足河側(cè)中下部，水平厚度12～24 m。按照盒維數(shù)的計算方法對該料場內(nèi)的斷層系展開分形計算，結果如圖7所示。

圖6 雙江口水電站河口料場斷層系平面分布Fig.6 Plane distribution map of fault system in estuary quarry of Shuangjiangkou hydropower station

在測度r=50～800 m，相似比δ=1/2～1/32條件下，N(r)-r在雙對數(shù)坐標系中仍然具有良好的線性關系，表明雙江口水電站河口料場斷層及斷層破碎帶的分布仍然具有自相似的分形特征，且分維數(shù)D=1.164，線性相關系數(shù)為0.997。將調(diào)查區(qū)域的結構面分布的分形特征結果整理，如表5所示。

根據(jù)表5的結果可知，斷層系的分形維數(shù)要比局部區(qū)域的節(jié)理分形維數(shù)小。例如，河口料場斷層系的分維數(shù)為1.164，小于響水溝料場調(diào)查區(qū)域的節(jié)理分維數(shù)1.275，也小于江咀料場的節(jié)理分維數(shù)1.315。表明隨著調(diào)查尺度范圍從局部節(jié)理擴大到斷層系，結構面分布的分形維數(shù)將減小，因為隨著調(diào)查尺度范圍的增大，更細小的節(jié)理不易被觀測。

表5 節(jié)理分布網(wǎng)絡盒維數(shù)計算結果Table 5 Calculation results of joint distribution network box dimension

4 結論

針對巖體原生節(jié)理結構面分布的隨機性和復雜性，以分形理論為基礎，研究節(jié)理特征參數(shù)的概率分布特征，運用盒維數(shù)法對長河壩江咀料場及響水溝料場待爆破區(qū)域巖體結構面分布的分形維數(shù)進行計算，同時對雙江口河口料場進行斷層分形特征研究，得出以下主要結論。

(1)通過長河壩江咀料場和響水溝料場原生節(jié)理統(tǒng)計結果，確定了各結構面參數(shù)的概率分布模型。研究結果表明，江咀料場和響水溝料場取樣節(jié)理面的傾角和跡長分別服從正態(tài)和對數(shù)正態(tài)分布。

(2)在同一調(diào)查尺度范圍下，節(jié)理裂隙越發(fā)育，其節(jié)理分維數(shù)越大。江咀料場節(jié)理分維數(shù)為1.315，響水溝料場節(jié)理分維數(shù)為1.275，由于江咀料場節(jié)理裂隙較發(fā)育，響水溝料場巖體較完整，故江咀料場節(jié)理分維數(shù)較響水溝料場大。

(3)增大調(diào)查尺度范圍，相應結構面分形維數(shù)反而減小。如，河口料場斷層系的分維數(shù)為1.164，小于響水溝料場調(diào)查區(qū)域的節(jié)理分維數(shù)1.275，也小于江咀料場的節(jié)理分維數(shù)1.315。隨著調(diào)查尺度范圍的增大，更細小的節(jié)理將不易被觀測，從而使得巖體的完整性更好。

(4)綜合來看，巖體的各種斷裂構造，包括大的斷層和小的節(jié)理，其分布形態(tài)在一定的測度范圍內(nèi)均表現(xiàn)出良好的分形特征，分形維數(shù)D可以作為一種巖體質(zhì)量評價的分級指標，在長河壩工程中表明其具有很強的實踐性，從而為分形理論在巖土工程質(zhì)量評價以及后期節(jié)理巖體的爆破塊度預測等方面，提供重要的工程參考價值。

(5)雖然分形理論應用于巖體結構面分布特征的描述還有許多問題需要進一步探討,但分形理論在這方面的應用仍然具有良好的前景,特別是隨著分形理論自身的發(fā)展,巖體原生節(jié)理結構面特征的研究必將產(chǎn)生一個大的飛躍。