基于移動(dòng)最小二乘法的微型光譜儀標(biāo)定方法

陳 朋，韓洋洋，嚴(yán)憲澤，昝 昊

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

微型光譜儀在現(xiàn)代工程應(yīng)用中，對(duì)成分的檢測(cè)發(fā)揮著越來越重要的作用。由于每種物質(zhì)成分都有其獨(dú)特的光譜特征，通過微型光譜儀分析檢測(cè)物質(zhì)可以快速準(zhǔn)確地得到正確的結(jié)果，相比于其他檢測(cè)方法，其具有重量輕、體積小、探測(cè)速度快等優(yōu)點(diǎn)[1]，其對(duì)物質(zhì)的非破壞性更具有獨(dú)特的優(yōu)越性。

微型光譜儀在設(shè)計(jì)制造后，標(biāo)定是一個(gè)重要的步驟。微型光譜儀的標(biāo)定是確定光電傳感器像元與光譜波長的對(duì)應(yīng)關(guān)系。目前光譜儀標(biāo)定主要有兩種方法：光學(xué)方程計(jì)算法和波長標(biāo)定實(shí)驗(yàn)法。光學(xué)方程計(jì)算法是用光柵公式直接計(jì)算出波長的具體位置，這種方法通常受儀器工藝、安裝位置等因素影響，誤差較大。波長標(biāo)定實(shí)驗(yàn)法是采用特征光譜在光電傳感器對(duì)應(yīng)的像元上找到相應(yīng)的位置[2]，并采用最小二乘法[3]擬合等方法實(shí)現(xiàn)波長的標(biāo)定。根據(jù)擬合得到的數(shù)學(xué)模型，可以將所有像元對(duì)應(yīng)的波長值計(jì)算出來[4-5]。

為了精確和有效地標(biāo)定光譜儀，波長標(biāo)定通常使用標(biāo)準(zhǔn)光源，用擬合或插值方法進(jìn)行標(biāo)定。目前國內(nèi)外對(duì)光譜儀標(biāo)定方法研究主要有對(duì)標(biāo)定裝置的研究和標(biāo)定算法的研究[6]。在對(duì)標(biāo)定裝置研究上，吳越[7]等人在分析實(shí)驗(yàn)室常用波長定標(biāo)方法的基礎(chǔ)上，搭建了一種基于CO2激光器+積分球的波長定標(biāo)裝置，采用該定標(biāo)裝置進(jìn)行波長標(biāo)定，然后用多項(xiàng)式算法擬合獲得了較高的標(biāo)定精度。毛靖華[8]等人選取超靜氙燈作為標(biāo)定光源，構(gòu)建了基于中階梯衍射光柵的波長標(biāo)定裝置，對(duì)儀器進(jìn)行了波長標(biāo)定。Yu Z[9]等人采用波導(dǎo)梳狀濾波器對(duì)分光計(jì)進(jìn)行波長校準(zhǔn)，解決了基線校準(zhǔn)不好、特征峰分布不均勻的問題，有效地改善了多項(xiàng)式擬合精度低的缺點(diǎn)。以上通過對(duì)標(biāo)定裝置的改進(jìn)都在不同程度上增加了標(biāo)定裝置自身誤差對(duì)標(biāo)定結(jié)果的影響。同時(shí)標(biāo)定裝置操作復(fù)雜，難以商業(yè)化。

在標(biāo)定方法研究上，Cho J[10]等人利用一個(gè)帶有兩個(gè)三角項(xiàng)的波長校準(zhǔn)模型，將水平像元與低壓汞燈五條線的已知波長進(jìn)行最小二乘擬合。Zhang F[11]等人在光柵衍射方程的基礎(chǔ)上，結(jié)合分析光柵、正弦桿和掃描機(jī)構(gòu)螺桿之間的機(jī)械傳動(dòng)關(guān)系，建立了波長誤差和機(jī)械誤差的數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于正弦棒長度調(diào)整和誤差補(bǔ)償?shù)牟ㄩL精確標(biāo)定方法。Kim[12-13]等人只需要一個(gè)精確的波長就可以指定整個(gè)波長范圍。在標(biāo)定方法研究上，大多基于最小二乘法擬合方式[14]，擬合之后的光譜信號(hào)由于受到噪聲等因素的影響，波長和感光元件的像元之間并不是嚴(yán)格的多項(xiàng)式關(guān)系，誤差的標(biāo)準(zhǔn)差較大。

綜上所述，本文針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)光源的特征光譜和傳統(tǒng)擬合方法的缺點(diǎn)，首次提出基于MLS的微型光譜儀標(biāo)定方法，解決了最小二乘法誤差標(biāo)準(zhǔn)差較大的問題。該方法使用C#作為編程語言，在WPF平臺(tái)(Windows Presentation Foundation)上實(shí)現(xiàn)該方法。首先使用汞氬燈和氖燈作為標(biāo)定光源，然后針對(duì)原始特征光譜圖中存在的高頻噪聲使用小波去噪法[15-16]去除，之后使用峰值圖像定位算法找到特征光譜峰所對(duì)應(yīng)的像元位置，最后篩選一部分標(biāo)定點(diǎn)，使用移動(dòng)最小二乘法標(biāo)定。

1 標(biāo)定方法總體介紹

本文提出的基于移動(dòng)最小二乘法的微型光譜儀標(biāo)定方法如圖1所示。

圖1 標(biāo)定方法設(shè)計(jì)圖

該方法由小波去噪、尋找特征峰、篩選有效標(biāo)定點(diǎn)和標(biāo)定關(guān)系擬合四部分組成。

第一部分：由于原始光譜圖中存在大量的高斯白噪聲，使用小波去噪使信號(hào)的噪聲得到抑制并且反映原始信號(hào)的特征尖峰得到很好地保留；第二部分：選取合適的特征峰起始位置決定了標(biāo)定的精度，使用比較法，定位每個(gè)特征峰像元所在的位置；第三部分：篩選一部分均勻覆蓋的特征峰所對(duì)應(yīng)的像元位置參與標(biāo)定；第四部分：選取指數(shù)型權(quán)函數(shù)和線性基函數(shù)，使用移動(dòng)最小二乘法算出標(biāo)定關(guān)系。

2 小波去噪去除高頻噪聲

微型光譜儀采集的信號(hào)包含各種噪聲和干擾，微型光譜儀標(biāo)定前需要進(jìn)行平滑處理提高光譜數(shù)據(jù)的信噪比，同時(shí)還需要保留光譜特征。

首先對(duì)接收到的光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行平均去噪，然后再進(jìn)行小波去噪。平均去噪認(rèn)為相鄰幀同一像元位置之間存在相關(guān)性，通過平均去噪，使光譜曲線預(yù)處理為較平滑。

小波理論是在傅里葉理論基礎(chǔ)上發(fā)展而來，其主要原理基于短時(shí)傅里葉變換。小波去噪的實(shí)質(zhì)是將含有噪聲的信號(hào)從時(shí)域到小波空間的最優(yōu)映射。小波去噪包括小波變換、閾值處理、小波重構(gòu)三個(gè)步驟[17]。

小波變換首先要選擇一個(gè)合適的小波基，小波基有很多種，小波基應(yīng)該選擇與待去除的噪聲信號(hào)波形相似的小波函數(shù)。根據(jù)光譜儀高頻噪聲的特點(diǎn)，本文選取db3小波作為小波變換的小波基，db3小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)如圖2所示，對(duì)原始光譜信號(hào)進(jìn)行3層小波分解。

圖2 db3小波尺度和小波函數(shù)

微型光譜儀感光元件獲得的信號(hào)為離散數(shù)字信號(hào)，用濾波器執(zhí)行離散小波變換如圖3所示。圖中a0(k)為原始離散信號(hào)，k為離散數(shù)據(jù)的序號(hào)，離散信號(hào)的總長度為n；離散小波變換相當(dāng)于將原信號(hào)a0(長度為n)與濾波器函數(shù)H和L(長度為f)做卷積，然后進(jìn)行降采樣，舍棄一半的卷積結(jié)果，得到信號(hào)的近似值a1(k)和信號(hào)的近似值d1(k)，之后對(duì)a1(k)繼續(xù)分解。

圖3 濾波器實(shí)現(xiàn)3層離散小波分解

閾值處理的作用是根據(jù)小波變換后各尺度的小波系數(shù)大小，去除噪聲的小波系數(shù)并保留有效信號(hào)的小波系數(shù)。本文選用軟閾值法，軟閾值函數(shù)定義為式(1)：

(1)

其中:ω為小波分解后的小波系數(shù)，T為設(shè)置的閾值。

3 特征光譜定位算法

汞氬燈等標(biāo)準(zhǔn)光源的光譜圖峰值相對(duì)尖銳，存在重疊峰的情況[18]。本文針對(duì)此類光譜圖和實(shí)驗(yàn)所用具有512點(diǎn)感光像元的微型光譜儀特點(diǎn)，基于比較法設(shè)計(jì)的光譜峰圖像定位算法主要有兩步：1)尋找每個(gè)峰的起始點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)和終止點(diǎn)，并進(jìn)行標(biāo)注；2)根據(jù)所作的標(biāo)注判斷特征峰的類型。

標(biāo)注階段：如圖4所示，橫軸為線陣感光元件的像元序號(hào)，縱軸為光強(qiáng)，從原點(diǎn)開始搜尋，當(dāng)出現(xiàn)I(i)

圖4 光譜特征峰起始點(diǎn)和終止點(diǎn)標(biāo)注示意圖

圖5 光譜特征峰轉(zhuǎn)折點(diǎn)標(biāo)注示意圖

對(duì)濾波之后的標(biāo)準(zhǔn)光源光譜圖標(biāo)注之后再進(jìn)行峰值類型判斷，如圖6所示。

圖6 判斷光譜特征峰類型示意圖

I_up與I_down之間出現(xiàn)一個(gè)獨(dú)立峰；當(dāng)出現(xiàn)I_turn時(shí)則認(rèn)為出現(xiàn)一個(gè)重疊峰，搜尋峰的極大值時(shí)，按照I_up與I_turn、I_turn與I_down的規(guī)律看作是兩個(gè)獨(dú)立峰。本文使用的光譜儀感光元件的像元較少，獲得的特征峰相對(duì)尖銳，對(duì)于特征峰所對(duì)應(yīng)的像元只需要按照尋找極大值的方式即可找到，對(duì)于感光元件像元較多的光譜儀，還需要使用高斯擬合法、對(duì)稱零面積卷積法等方法進(jìn)一步處理[19]，本文不再進(jìn)一步分析。

4 MLS標(biāo)定關(guān)系建立

設(shè)函數(shù)f(x)在求解域Ω內(nèi)的近似為fh(x)，f(x)在計(jì)算點(diǎn)x的鄰域Ωx內(nèi)局部近似為：

(2)

基函數(shù)常用單項(xiàng)式，本文選取一維空間中單項(xiàng)式線性基函數(shù)，線性基如下：

pT(x)=[1,x],m=2

(3)

求解域Ω用n個(gè)節(jié)點(diǎn)離散，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)xI的權(quán)函數(shù)定義為：

wI=w(x-xI),I=1,2,…

(4)

近似函數(shù)fh(x)在節(jié)點(diǎn)處的誤差的加權(quán)平方和為：

(5)

其中:n是用于插值的場(chǎng)點(diǎn)數(shù)。

式(5)兩邊對(duì)a(x)求導(dǎo)得：

(6)

a(x)=A-1(x)B(x)y

(7)

其中:

(8)

B(x)=[w1(x)p(x1),w2(x)p(x2),…,wnp(xn)]

(9)

y=[y1,y2,…,yn]T

(10)

為了求解系數(shù)a(x)，把式(7)代入式(2)得到移動(dòng)最小二乘擬合函數(shù)：

f(x)=pT(x)A-1(x)B(x)y

(11)

MLS標(biāo)定的關(guān)鍵步驟是選取合適的權(quán)函數(shù)，權(quán)函數(shù)的選取應(yīng)該滿足非負(fù)性、緊支性、單調(diào)遞減性和平滑性。常用的權(quán)函數(shù)類型有高斯函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、樣條型函數(shù)和徑向基函數(shù)等。根據(jù)微型光譜標(biāo)定曲線線性特性，本文選取指數(shù)型函數(shù)作為基函數(shù)，形式如下：

wI=e-((x-xI)/α)2

(12)

其中:參數(shù)α越大，wI越平滑，本文經(jīng)過多次試驗(yàn)，選取α=60，此時(shí)微型光譜儀擬合效果最好。

移動(dòng)最小二乘法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用較低階的基，選取適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)獲得具有較高連續(xù)性和相容性的函數(shù)。

5 實(shí)驗(yàn)分析

5.1 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文選用美國Pyxis公司研發(fā)的SQ-3000型可見波段的微型光譜儀作為標(biāo)定精度測(cè)試對(duì)象。此光譜儀可檢測(cè)的波段波長范圍為380～800 nm，光譜儀的波長分辨率為1.5 nm，該型號(hào)微型光譜儀使用切爾尼-特納光學(xué)結(jié)構(gòu)，光電傳感器為濱松S8378-512Q線性CMOS，各像元有其確定的編號(hào)，從1開始到512結(jié)束。由式(11)得到像元和波長的關(guān)系函數(shù)為：

λ(i)=pT(i)A-1(i)B(i)y

(13)

其中:i為像元序號(hào)，λ(i)為像元i所對(duì)應(yīng)的波長。

波長標(biāo)定需要通過測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的發(fā)射譜來完成，常用的波長標(biāo)定光源為：氘燈發(fā)射譜、汞氬燈發(fā)射譜、氖燈發(fā)射譜等光源。隨著微型光譜儀的發(fā)展，使用單一光源很難獲得均勻分布的特征譜線，本文同時(shí)使用汞氬燈和氖燈對(duì)微型光譜儀標(biāo)定，可以獲得均勻分布的特征譜線，具有成本低、操作簡單、精度高的優(yōu)點(diǎn)，非常適合對(duì)200～1700 nm波段的微型光譜儀進(jìn)行波長標(biāo)定。標(biāo)定裝置的連接如圖7所示。

圖7 標(biāo)定裝置連接圖

實(shí)驗(yàn)的流程如下：首先，完成微型光譜儀與汞氬燈標(biāo)定光源的連接，微型光譜儀與計(jì)算機(jī)的連接；然后打開上位機(jī)軟件，通過上位機(jī)軟件調(diào)節(jié)積分時(shí)間采集合適的光譜圖像并將其呈現(xiàn)到計(jì)算機(jī)上，記錄此時(shí)的光譜圖像；斷開微型光譜儀與汞氬燈的連接，將微型光譜儀與氖燈進(jìn)行連接，調(diào)節(jié)合適的積分時(shí)間，記錄此時(shí)的光譜圖像；通過上位機(jī)軟件，將兩次保存的光譜圖像進(jìn)行小波去噪、尋峰。

5.2 標(biāo)定集特征點(diǎn)選取

光譜儀標(biāo)定集(參與標(biāo)定的譜線特征點(diǎn))選取的原則：譜線覆蓋在光譜儀工作波長范圍內(nèi)，譜線的數(shù)目越多越好，譜線的間隔要大于光譜儀分辨率并且越均勻越好[5]。汞氬燈和氖燈的合成特征譜線在可見波段微型光譜儀去噪和尋峰后分布情況如圖8所示，深色線為Hg-Ar燈的光譜圖，淺色線為Ne燈的光譜圖。根據(jù)特征譜線分布情況實(shí)驗(yàn)共選取11個(gè)特征點(diǎn)作為標(biāo)定點(diǎn)，如表1所示。

圖8 去噪后特征光譜分布圖

表1 標(biāo)定集特征譜線的波長和像元序號(hào)對(duì)應(yīng)關(guān)系

特征譜波長/nm像元序號(hào)譜線來源404.65626Hg-Ar435.8862Hg-Ar546.074192Hg-Ar585.249239Ne614.306275Ne640.225307Ne667.828341Ne703.241385Ne724.512412Ne760.956459Hg-Ar794.818503Hg-Ar

5.3 標(biāo)定結(jié)果及對(duì)比分析

標(biāo)定結(jié)果檢驗(yàn)方法：選取另一組未參與標(biāo)定的特征點(diǎn)，測(cè)出相應(yīng)的像元位置，將像元位置代入到擬合方程中，算出標(biāo)定波長，特征譜線的真值與標(biāo)定波長預(yù)測(cè)值之差即為標(biāo)定誤差。

本實(shí)驗(yàn)從汞氬燈和氖燈的合成特征光譜圖中均勻地選取5個(gè)未參與標(biāo)定的特征譜線作為測(cè)試集，測(cè)出相應(yīng)的像元位置，將像元位置代入到擬合之后的方程中，算出標(biāo)定波長，測(cè)試集的波長分別為626.649 nm、671.704 nm、692.947 nm、727.294 nm、763.511 nm。

為了驗(yàn)證標(biāo)定精度，將測(cè)試集和標(biāo)定集的像元位置均代入到標(biāo)定關(guān)系函數(shù)中進(jìn)行誤差測(cè)試，標(biāo)定誤差如表2所示。

表2 MLS標(biāo)定結(jié)果

通過對(duì)表2分析可知：采用基于移動(dòng)最小二乘法的擬合絕對(duì)誤差在0.401 nm內(nèi)，滿足標(biāo)定所用微型光譜儀1.5 nm的分辨率要求。

進(jìn)一步計(jì)算：MLS方法的擬合優(yōu)度R2=0.999 3，擬合優(yōu)度接近1，說明模型的擬合度較好。

為了驗(yàn)證使用MLS標(biāo)定方法的優(yōu)越性，分別使用最小二乘法三次多項(xiàng)式擬合(LS3)、最小二乘法四次多項(xiàng)式擬合(LS4)、三次樣條插值法(CS)用相同的標(biāo)定集進(jìn)行標(biāo)定對(duì)比。

標(biāo)定之后，測(cè)試集和標(biāo)定集的誤差標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比如表3所示，其中CS擬合中標(biāo)定集一定在擬合曲線上，故沒有評(píng)價(jià)意義。通過對(duì)四種標(biāo)定方法誤差標(biāo)準(zhǔn)差比較可知，MLS標(biāo)定的測(cè)試集誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.192 nm，標(biāo)定集誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.136 nm，高于其他三種擬合方式，說明MLS法標(biāo)定結(jié)果更加穩(wěn)定。

表3 多種標(biāo)定方法誤差標(biāo)準(zhǔn)差比較結(jié)果

6 結(jié)論

針對(duì)微型光譜儀缺少一種統(tǒng)一、可靠的標(biāo)定方法的問題，本文提出了一種基于移動(dòng)最小二乘法的微型光譜儀標(biāo)定方法，相比傳統(tǒng)的最小二乘法多項(xiàng)式擬合方式，移動(dòng)最小二乘法可以靈活地選取不同階的基函數(shù)改變擬合精度，選取不同的權(quán)函數(shù)改變擬合的光滑度。首先，微型光譜儀標(biāo)定中，本文提出同時(shí)使用汞氬燈和氖燈標(biāo)定可見波段微型光譜儀，獲得均勻覆蓋的特征譜線。然后，經(jīng)過小波去噪之后，高頻噪聲信號(hào)得到明顯地去除，使用峰值尋峰法可以準(zhǔn)確地找到所有的特征峰所對(duì)應(yīng)的像元位置。最后，選取一組特征譜線作為標(biāo)定集，使用移動(dòng)最小二乘法對(duì)微型光譜儀做標(biāo)定；選取一組未參與標(biāo)定的譜線作為測(cè)試集，進(jìn)行誤差分析。由實(shí)驗(yàn)可以得出：基于移動(dòng)最小二乘法擬合標(biāo)定后，標(biāo)定集的誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.136 nm，測(cè)試集的誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.192 nm，擬合優(yōu)度為0.999 3。本文提出的標(biāo)定方法和傳統(tǒng)的最小二乘法三次擬合標(biāo)定方法比較得到：標(biāo)定集誤差標(biāo)準(zhǔn)差減小了0.026 nm，測(cè)試集誤差標(biāo)定差減小了0.047 nm，標(biāo)定結(jié)果具有較高的穩(wěn)定性，在實(shí)際工程應(yīng)用中具有重要的指導(dǎo)意義。