無界域上三維Schr?dinger方程有效的譜Galerkin方法

李 晉，安 靜

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

0 引言

薛定諤方程產(chǎn)生于微觀粒子的核運動，是奧地利物理學(xué)家薛定諤提出來的量子力學(xué)中的一個基本方程。它廣泛地應(yīng)用于原子物理、核物理和計算量子化學(xué)(參見文獻(xiàn)[1-4])，在微觀粒子問題中的求解結(jié)果與實際吻合很好。因此，有效地求解薛定諤型方程特征值問題有十分重要的意義。由于只有使用三維模型才能解釋一些量子效應(yīng)，因此，三維薛定諤方程的解引起了很多學(xué)者的關(guān)注(參見文獻(xiàn)[5-10])。Joon-Ho Lee提出了一種基于Gauss-Lobatto-Legendre多項式的三維譜元法來求解納米器件仿真問題中的薛定諤方程(參見文獻(xiàn)[11])。陳華杰等[4]提出并分析了一種張量積上的薛定諤方程的雙尺度高階有限元離散化方案，利用該方案，可以將細(xì)網(wǎng)格上的特征值問題化為粗網(wǎng)格和部分細(xì)網(wǎng)格上的特征值問題。然而，如果需要高精度的數(shù)值解，即使采用雙尺度高階有限元離散方案，也需要花費大量的計算時間和內(nèi)存容量。

因此，本文提出了無界域上三維薛定諤方程特征值問題的一種基于降維格式的有效的譜Galerkin方法。該方法首先利用球坐標(biāo)變換和球諧函數(shù)展開，將三維薛定諤方程特征值問題化為一系列等價的一維特征值問題，從而克服了有效勢中的奇性問題。其次引入了帶權(quán)的Sobolev空間，建立了相應(yīng)的弱形式和離散格式。然后，利用Laguerre函數(shù)構(gòu)造了逼近空間，將離散格式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線性特征系統(tǒng)。最后，給出了數(shù)值算例，數(shù)值結(jié)果表明我們的算法是穩(wěn)定的和高精度的。

1 預(yù)備知識

在本文研究中，將頻繁用到Laguerre函數(shù)的基本性質(zhì)和相應(yīng)的求積公式。因此，本節(jié)將介紹Laguerre函數(shù)的定義，性質(zhì)及相應(yīng)的Laguerre-Gauss-Radau求積公式(參見文獻(xiàn)[12])。

1.1 Laguerre 函數(shù)

廣義的Laguerre函數(shù)定義為：

及下面的正交關(guān)系和導(dǎo)數(shù)關(guān)系：

x?xLn(x)=nLn(x)-nLn-1(x)

1.2 數(shù)值積分

則有

其中P2N表示次數(shù)不超過2N的多項式空間。

2 降維格式

作為一個模型，本文考慮如下的Schr?dinger方程特征值問題：

(1)

利用球坐標(biāo)變換：

x1=rsinθcosφ，x2=rsinθcosφ，

x3=rcosθ

我們可將(1)化為下面的等價形式：

(r,θ,φ)∈[0,∞)×[0,π]×[0,2π]

(2)

(3)

其中u(r,θ,φ)=ψ(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)。設(shè)S為單位球面，并且記ΔS為S上的Laplace-Beltrami算子，即：

(4)

令

(5)

則由(4)、(5)式，(2)-(3)可化為下面等價的一維特征值問題：

(6)

(7)

3 弱形式和離散格式

在這一節(jié)，我們將推導(dǎo)問題(6)-(7)的弱形式和相應(yīng)的離散格式。首先，引入帶權(quán)的Sobolev空間：

其相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)分別為：

當(dāng)l=0時，定義

相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)為：

當(dāng)l≥1時，定義

相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)為：

(8)

其中

al(ulN,vN)=λlNbl(ulN,vN)，?vN∈XN(I)

(9)

4 算法的有效實現(xiàn)

為了有效求解離散格式(9)，我們?nèi)”平臻g為：

(10)

設(shè)

令

(11)

將(11)式代入(9)式，讓vN取遍逼近空間XN(I)中的所有基函數(shù),可得到如下的線性特征系統(tǒng)：

其中

A=(aij)，B=(bij)，C=(cij)

定理1 對于基函數(shù)(10)，矩陣A，C,D是對稱帶狀矩陣，矩陣B是單位矩陣，即：

當(dāng)|i-j|=1， |i-j|≥3時，aij=0；

當(dāng)|i-j|≥2時，cij=0；

當(dāng)|i-j|≥3時，dij=0。

證明為了簡單起見，我們僅證明矩陣C的稀疏性，其它矩陣的稀疏性能夠類似地推導(dǎo)。

=(1+i+j)δij-iδi-1,j-jδi,j-1

因此，當(dāng)|i-j|≥2時，cij=0。

從定理1我們能夠看出矩陣A，B，C,D都是稀疏的。

5 數(shù)值結(jié)果

為了表明算法的有效性，我們在MATLAB2016a的環(huán)境下進行一系列的數(shù)值測試。對于不同的l和N，我們分別在表1、表2和表3中列出了前3個特征值的數(shù)值結(jié)果。從表1可知，當(dāng)N≥20時，第一個特征值λ1達(dá)到至少12位有效數(shù)字，第二個和第三個特征值λ2、λ3達(dá)到至少15位有效數(shù)字。另外，從表2可知，當(dāng)N≥30時，前3個特征值λ1、λ2、λ3達(dá)到至少15位有效數(shù)字。從表3可知，當(dāng)N≥30時，前2個特征值λ1、λ2達(dá)到至少15位有效數(shù)字，第三個特征值λ3達(dá)到至少9位有效數(shù)字。即我們的算法只需要花費少量的自由度便可獲得很高的計算精度，從而節(jié)省了大量的計算時間和內(nèi)存容量。作為比較，我們在表4中列出了方程(1)由有限元方法計算的數(shù)值結(jié)果[參考文獻(xiàn)4]，從表4我們可以觀察到，當(dāng)自由度達(dá)到48×12×12時，它的誤差僅為0.001 827，從而表明我們的算法具有一定的有效性。

表1 l=0時Schr?dinger方程特征值問題前3個特征值的數(shù)值結(jié)果Tab.1 The numerical results of first three eigenvalues with l=0 for the eigenvalue problems of Schr?dinger equations

表2 l=1時Schr?dinger方程特征值問題前3個特征值的數(shù)值結(jié)果Tab.2 The numerical results of first three eigenvalues with l=1 for the eigenvalue problems of Schr?dinger equations

表3 l=2時Schr?dinger方程特征值問題前3個特征值的數(shù)值結(jié)果Tab.3 The numerical results of first three eigenvalues with l=2 for the eigenvalue problems of Schr?dinger equations

表4 三角有限元方法第一個特征值的誤差估計Tab.4 Estimates for the first eigenvalues by tricubic elements