多元分布代表點法在服役銹蝕梁可靠性分析中的應用

蔡俊華

(1.中國地質(zhì)大學(武漢)，湖北 武漢 430074；2.三明市交通建設集團有限公司)

在鋼筋混凝土(RC)構(gòu)件服役期間，由于氯離子侵蝕等外界環(huán)境的影響，鋼筋及混凝土的幾何特性、材料力學性能、鋼筋混凝土之間的黏結(jié)程度均會發(fā)生一定的改變，從而導致結(jié)構(gòu)承載力和可靠性下降，最終帶來較大的人員傷亡和財產(chǎn)損失。近年來，部分學者對銹蝕構(gòu)件承載力及可靠性進行了大量研究。張克波針對多片梁的正截面抗彎承載力進行對比試驗，結(jié)合已有研究成果，給出了極限狀態(tài)下銹蝕RC的應力應變關系，并給出了一種銹蝕RC梁抗彎承載力的計算分析方法；牛荻濤等在國內(nèi)外研究基礎上，提出了銹蝕RC梁抗彎承載力計算方法，給出了銹蝕梁的抗力衰減隨機模型；秦權(quán)在考慮退化結(jié)構(gòu)功能函數(shù)隨機過程和3種不同的活載過程基礎上，推導出一個時段內(nèi)的時變可靠度公式，并用算例驗證。目前大部分學者在計算服役結(jié)構(gòu)承載力或可靠度時均采用Monte-Carlo法，雖然此法得到的結(jié)果精度較高，但其計算復雜、計算成本高昂，不利于作為實際工程可靠性分析的常規(guī)方法。

在銹蝕梁承載力分析中，選擇適當?shù)姆治龇椒ㄓ嬎愠休d力均值及標準差函數(shù)直接影響著可靠性分析的準確性。目前越來越多的學者關注結(jié)構(gòu)可靠性的分析方法。王國萍基于橋梁結(jié)構(gòu)抗力分析，運用中心點法、JC法、映射變換法和實用分析法對結(jié)構(gòu)可靠指標進行計算，給出了計算迭代步驟，并對比分析了以上方法的優(yōu)劣；汪新槐等通過傳統(tǒng)的蒙特卡羅方法和GLP點集法對多維數(shù)值積分的計算進行對比分析，得出數(shù)論方法具有傳統(tǒng)方法不可比擬的高精度，并使用數(shù)論方法對結(jié)構(gòu)的可靠度分析進行計算；崔維成等利用改進的Rosenbluthe法對現(xiàn)有計算隨機變量函數(shù)均值與標準差進行了詳細的研究，并對結(jié)構(gòu)的可靠度進行了計算。但現(xiàn)有分析方法在精度、計算效率、計算成本等方面或多或少具有一定的缺陷，所以亟需對可靠性分析方法進行深入研究。

數(shù)論方法是一種強有力的統(tǒng)計應用工具，具有高精度、簡便、快速的優(yōu)點，且隨著相關知識的發(fā)展，其越來越多地應用在經(jīng)濟、機械、工程等領域。因此，在現(xiàn)有研究的基礎上，該文將數(shù)論中的多元分布代表點法與服役銹蝕梁承載力及可靠度分析模型相結(jié)合，提出了一種新的可靠度分析方法，并通過算例分析將上述方法與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)可靠性分析方法進行比較，驗證了該法的有效性。

1 多元分布代表點法

1.1 方法介紹

多元分布代表點法與Monte-Carlo分析方法類似，兩者最主要差別是前者是基于生成的代表點進行計算，而后者是基于隨機變量進行分析。由文獻[12]可知：假設G(x)=G(x1,x2,…,xn)是一定義在S維空間(Rs)上的、有界閉區(qū)間D的連續(xù)均勻分布函數(shù)，{Pn}為上述S維空間中某一擁有固定結(jié)構(gòu)的、個數(shù)為n的點序列，如果Pn關于G(x)的F-偏差滿足式(1)、(2)，則{Pn}可視為有界閉區(qū)間D上的均勻散布。且若n個點集P*滿足式(3)，則點集P*即為連續(xù)分布函數(shù)G(x)的代表點：

DG(n,pn)=o(n-1/2)，n→+∞

(1)

DG(n,pn)=supx∈Rs|Gn(x)-G(x)|

(2)

(3)

其中：Gn(x)為樣本x1,x2,…,xn的經(jīng)驗分布。

在數(shù)論方法中，代表點生成方法因不同的分布類型而有所差異。對于S維空間多元連續(xù)分布函數(shù)而言，該文采用NTSR算法(具體步驟見算例分析)生成所需的代表點，該法的關鍵在于如何有效、快捷地尋找數(shù)論網(wǎng)格。王元等在《數(shù)論方法在統(tǒng)計中的應用》中介紹了多種尋找數(shù)論網(wǎng)格的方法，該文選取計算較為簡便的Haber序列來尋找S維單位立方體上的數(shù)論網(wǎng)格，其主要計算公式如下：

(4)

式中：cm為s維單位立方體上求得的一個數(shù)論網(wǎng)格(NT-net)；m=1, 2,…,n；Zk(k=1, 2,…,s)為第k個質(zhì)數(shù)。

1.2 隨機變量函數(shù)特征值計算

對于任意計算方法而言，隨機變量的特征值是整個計算過程的基礎。該文采用NTSR算法得到的多元分布代表點來代替多元分布函數(shù)G(x)的s個變量，在求得隨機變量的特征值后，依據(jù)相關的計算模型對銹蝕梁承載力及可靠度展開分析。其中多元隨機變量函數(shù)的均值和標準差可由下式計算得到：

(5)

(6)

式中：tm為抗彎承載力R(t)的第m個代表點。

2 銹蝕梁的可靠度分析

2.1 承載力計算模型

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在服役過程中，受到氯離子侵蝕、混凝土碳化、劣化效應等各種因素的影響，導致鋼筋銹蝕后的截面面積、鋼筋屈服強度、混凝土和鋼筋之間的黏結(jié)效應等隨著時間的推移發(fā)生退化，從而導致結(jié)構(gòu)承載能力下降。該文以矩形截面梁為例(其他截面梁除抗力計算公式略有差異，其余均一致)，考慮銹蝕對鋼筋截面面積、鋼筋屈服強度及鋼筋與混凝土之間的黏結(jié)性能等多方面的影響，綜合文獻[14]的結(jié)論，得到服役RC梁的極限抗彎承載力R(t)計算公式：

(7)

式中：ME為模型不確定系數(shù)，其均值和方差分別為1和0.04；MEbond為銹蝕鋼筋與混凝土的協(xié)同工作系數(shù)，其取值見文獻[15]；q為計算服役梁抗力時材料類型的數(shù)量；Ri(t)為第i種材料銹蝕后的抗力時變函數(shù)，其中鋼筋銹蝕后的抗力可用t時刻的鋼筋剩余截面面積與屈服強度的乘積表示，計算方法見文獻[16]；h0、fcuk和b分別為截面的有效高度、混凝土抗壓強度和梁寬。

2.2 可靠度分析

在得到服役銹蝕梁抗彎承載力退化模型后，即可建立與之對應的彎曲強度極限狀態(tài)函數(shù)：

Z(t)=R(t)-S(t)=R(t)-SG-SQ(t)

(8)

式中：SG和SQ(t)分別為恒載和活載的作用效應。

在t時刻，當Z>0時，結(jié)構(gòu)抗力大于所承受的荷載效應，此時結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)；當Z<0時，結(jié)構(gòu)抗力小于所承受的荷載效應，對應結(jié)構(gòu)處于失效或破壞狀態(tài)；當Z=0時，結(jié)構(gòu)抗力與承受的荷載效應一致，結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)。

根據(jù)式(9)可以求得任意時段內(nèi)失效個數(shù)nf，則系統(tǒng)抗彎可靠度指標β可由式(10)計算得出。運用多元代表點法計算系統(tǒng)抗彎可靠度指標的流程圖見圖1。

Pr=1-Pf=1-nf/n

(9)

圖1 該文所提出方法的計算流程圖

β=-Φ-1(Pf)

(10)

式中：n為采樣數(shù)目；Φ-1( )為標準正態(tài)分布的反函數(shù)。

3 算例分析

3.1 工程概況

圖2 單片主梁橫截面示意圖(單位：mm)

表1 參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果

3.2 計算步驟

運用多元分布代表點法，結(jié)合由式(7)給出的抗彎承載力計算模型，即可求出任意時間點銹蝕梁剩余抗彎承載力?，F(xiàn)舉例計算t=100年時銹蝕梁的抗彎承載力，具體計算步驟如下(計算均用Matlab實現(xiàn))：

(1) 分別求出t=100年時MEbond和Ri(t)兩個參數(shù)的均值和方差，則式(7)中的6個隨機變量均值、標準差均為已知。

(2) 由式(7)可確定s=6，取樣本數(shù)量n=2 500，p1=1，p2=3，p3=5，p4=9，p5=11，p6=13，利用Haber序列，作為生成數(shù)論網(wǎng)格的方法，代入式(4)，分別求出以上所有的數(shù)論網(wǎng)格{cm,m=1, 2,…,n}。

(4) 把rm和ym的乘積作為式(7)抗彎承載力R(t)的代表點集{tm,m=1, 2,…,n}。

(5) 把求得的代表點集{tm,m=1, 2,…,n}分別代入式(5)、(6)，即可求得t=100年時，銹蝕梁抗彎承載力R(t)的均值和標準差。

3.3 抗彎承載力計算結(jié)果及敏感性分析

為了驗證多元分布代表點法的有效性，該文同時采用計算精度高、穩(wěn)定性好、但計算成本非常高的Monte Carlo法對銹蝕梁在設計使用期100年內(nèi)的抗彎承載力進行計算，并對兩種方法得到的計算結(jié)果進行比較，具體如圖3所示。

由圖3可知：無論采用哪種計算方法，由于服役初期結(jié)構(gòu)混凝土的強度會有一定的增加，構(gòu)件抗彎承載力均值都會略微增大。而從第16年開始，由于混凝土開裂及鋼筋開始銹蝕，結(jié)構(gòu)抗彎承載力的均值均逐漸下降，且下降速率呈現(xiàn)先快后慢的特點。同時整個服役期間，服役結(jié)構(gòu)抗彎承載力的標準差均逐漸加大。

對于抽樣次數(shù)為50 000的Monte Carlo法而言，該梁服役100年后抗彎承載力均值和標準差的計算結(jié)果分別為918.7 kN·m和78.5 kN·m，而基于樣本數(shù)為2 500的多元分布代表點法得到的對應結(jié)果分別比上述值高2.45%和低5.35%，其均值和標準差分別為941.2 kN·m和74.3 kN·m。此外，Matlab軟件程序性能測試功能顯示后者的計算完成時間僅為前者的1/6。綜上可知：多元分布代表點法在計算結(jié)構(gòu)承載力時具有較高的精度，其產(chǎn)生的代表點較Monte Carlo法產(chǎn)生的隨機數(shù)具有更小的離散性，且所要求的樣本點較少，計算速度更快，具有良好的實踐運用價值。

圖3 銹蝕梁抗彎承載力均值及標準差變化情況

由于不同地區(qū)的環(huán)境、不同材料的結(jié)構(gòu)性能及結(jié)構(gòu)尺寸不同，RC橋梁的抗彎承載力退化有較大差異。因此有必要對RC構(gòu)件抗彎承載力退化進行敏感性分析，為橋梁結(jié)構(gòu)設計優(yōu)化提供基礎。該文基于所提出的方法，分析不同混凝土保護層厚度及強度對服役銹蝕梁抗彎承載力均值的影響，具體結(jié)果如圖4、5所示。

圖4 保護層厚度和抗彎承載力均值

不同混凝土保護層厚度和強度對應的服役梁正截面抗彎承載力在服役年限內(nèi)有著較大差異。由圖4可知：隨著保護層厚度的增大，結(jié)構(gòu)抗彎承載力均值下降開始的時間逐漸延后，且最終降低幅度也大幅減小。這主要是因為混凝土保護層厚度的增加能提高混凝土對鋼筋的保護，延緩氯離子的侵蝕過程，較大幅度地降低結(jié)構(gòu)性能退化。由圖5可知：在該文研究的混凝土強度變化范圍內(nèi)，隨著混凝土強度的增加，結(jié)構(gòu)的初始抗彎承載力和銹蝕后的抗彎承載力均有一定的提高，但增加的幅度逐漸減小。綜上可知，在合理的范圍內(nèi)增加混凝土保護層厚度或強度均能有效提高服役銹蝕梁的抗彎承載力。因此，在RC橋梁的實際設計和施工過程中，應選取合適的混凝土保護層厚度和強度，保護結(jié)構(gòu)免于過早銹蝕，防止事故的發(fā)生。

圖5 混凝土強度和抗彎承載力均值

3.4 可靠度分析

在得到服役銹蝕RC梁的抗彎承載力后，即可通過式(8)～(10)進一步得到系統(tǒng)抗彎可靠度指標，其中恒載、活載、車輛荷載效應模型見文獻[22]。圖6為基于多元分布代表點法、Monte Carlo法及JC法3種不同方法得到的銹蝕RC梁在服役100年內(nèi)的抗彎可靠度時變圖。

圖6 不同方法可靠度指標β計算結(jié)果比較

由圖6可知：隨著服役時間的增加，3種方法計算得到的可靠度指標β均逐漸降低。若以多元分布代表點法得到的結(jié)果為參考，該橋在服役72年左右將達到規(guī)范規(guī)定的可靠度指標極限值(β=4.2)，所以在此之前應對該橋梁進行必要的維護加固處理，確保結(jié)構(gòu)安全、可靠。由圖6進一步分析可知：基于多元分布代表點法(樣本數(shù)為2 500)得到的可靠度計算結(jié)果比JC法對應結(jié)果更為接近基于Monte Carlo法(抽樣次數(shù)為50 000)得到的計算結(jié)果。同時，在Matlab計算過程中，3種方法的計算效率由高到低依次為：JC法、多元分布代表點法和Monte Carlo法。因此，該文提出的多元分布代表點法較JC法精度更高，較Monte Carlo法計算速度更快，得到的統(tǒng)計參數(shù)離散性更小，且能大幅降低所用樣本數(shù)量。因此該法可以用來進行服役銹蝕梁的可靠性分析。

4 結(jié)論

(1) 介紹了多元分布代表點法在服役銹蝕梁可靠性分析中的運用，并基于算例分析與傳統(tǒng)分析方法進行了比較，驗證了該法的有效性。

(2) 該文提出的多元分布代表點法較JC法精度更高，較Monte Carlo法計算速度更快，得到的統(tǒng)計參數(shù)離散性更小，且能大幅地降低所用樣本數(shù)量。因此該法可以較好地用來分析服役銹蝕梁可靠性。

(3) 對服役RC構(gòu)件的抗彎承載力進行了敏感性分析，發(fā)現(xiàn)在合理的范圍內(nèi)增加混凝土保護層厚度或強度均能有效提高服役銹蝕梁的抗彎承載力。