改進的無單元Galerkin方法在瀝青路面動態(tài)響應中的應用

彭妙娟, 付楊

(上海大學 土木工程系，上海市 200444)

無網(wǎng)格方法是近年來快速發(fā)展的數(shù)值方法，由于該類方法的計算基于節(jié)點而非網(wǎng)格，因而在對大變形、斷裂、爆炸等問題進行研究時具有一定優(yōu)勢，現(xiàn)在已成為計算力學領域的研究熱點。

無網(wǎng)格方法主要有無單元Galerkin方法、無網(wǎng)格局部法、徑向基函數(shù)法、自然單元法，其中無單元Galerkin( Element-Free Galerkin，EFG)方法是使用最普遍的無網(wǎng)格方法之一，EFG方法采用移動最小二乘法建立逼近函數(shù)，但計算量相比有限元較大。程玉民等基于移動最小二乘法，提出了改進的移動最小二乘法，并以此為基礎，建立了改進的無單元Galerkin(Improved Element-Free Galerkin，IEFG)方法，并將其應用到勢問題、瞬態(tài)熱傳導、波動方程、彈性力學和彈性動力學、斷裂力學、黏彈性力學，由于改進的移動最小二乘法形成的方程組易于求解且不會形成病態(tài)方程組，因而 IEFG 方法比EFG 方法具有更高的計算精度和計算效率。

姚莉莉等基于變分原理，將溫度荷載與車輛荷載進行耦合，并利用無網(wǎng)格方法計算分析了路面結構的溫度場和應力場；李榮鑫等利用EFG方法模擬了瀝青路面的力學行為，對瀝青路面的車轍進行了分析；彭妙娟，席偉成等利用IEFG方法，通過設置不同的節(jié)點數(shù)量和影響域比例參數(shù)，對機場復合道面的位移和應力進行了分析；鄒詩瑩等將斷裂力學和IEFG方法結合，分析了機場復合道面的反射裂縫。

目前，國內(nèi)外在求解瀝青路面動力響應時，使用有限元方法較多，而將無網(wǎng)格方法應用到路面動力響應的相關研究還較少。因此使用改進的無單元Galerkin方法對瀝青路面動態(tài)響應的研究非常必要。

該文建立三維瀝青混凝土路面分析模型，基于三維彈性動力學問題的IEFG方法對瀝青路面結構的動力響應進行計算，并對路面結構不同深度的動力響應及位移進行分析。

1 改進的移動最小二乘法

在改進的移動最小二乘法中，逼近函數(shù)uh(x)的形式為：

(1)

式中：m為基函數(shù)個數(shù)；p(x)=[p1(x),p2(x),…,pm(x)]為基函數(shù)；ai(x)為相應的系數(shù)。

在點x鄰域內(nèi)的局部逼近函數(shù)為：

(2)

定義泛函：

(3)

式中：xI為點緊支域內(nèi)的節(jié)點；w(x-xi)為權函數(shù);n為影響域覆蓋點x的節(jié)點數(shù)。

將式(3)用矩陣形式表示：

J=(Pa-u)TW(x)(Pa-u)

(4)

uT=(u1,u2,…,un)

(5)

(6)

W(x)=

(7)

為使誤差最小，對J求一階導數(shù)，從而得到系數(shù)向量：

A(x)a(x)=B(x)u

(8)

其中：

A(x)=PTW(x)P

(9)

B(x)=PTW(x)

(10)

利用Schmidt正交化方法將基函數(shù)正交化，例如對基函數(shù)：

(11)

正交化后的正交基函數(shù)為：

(12)

為加權的正交基函數(shù)組：

(pi,pj)=0，(i≠j)

(13)

由式(8)～(13)可得：

a(x)=A*(x)B(x)u

(14)

其中：

(15)

將式(14)代入式(1)，可得：

(16)

(17)

2 三維彈性動力學的改進的無單元Galerkin方法

三維線彈性動力學的控制方程為：

(18)

(19)

σ=[σ11,σ22,σ33,σ12,σ13,σ23]T

(20)

b=[b1(t),b2(t),b3(t)]T

(21)

u=[u1(t),u2(t),u3(t)]T

(22)

(23)

(24)

邊界條件為：

(25)

(26)

初始條件為：

u(x,t0)=u0(x)，(x∈Ω)

(27)

(28)

式中：u0為點x的初始位移；v0為點x的初始速度向量。

采用罰函數(shù)法施加位移邊界條件，可得彈性動力學的Galerkin積分弱形式：

(29)

式中：α為罰因子。

由彈性問題的幾何方程和本構方程，代入改進的移動最小二乘法的逼近函數(shù)式(1)，可得：

(30)

其中：

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

若x1、x2或x3方向有位移約束，對應的S1、S2或S3為1，否則為0。

(41)

(42)

阻尼矩陣采用瑞利阻尼：C=αM+βM，其中α、β為阻尼系數(shù)。

3 三維動力學IEFG方法在瀝青路面動態(tài)響應中的應用

該文利用Matlab編制了無網(wǎng)格法程序，建立了4層結構的路面分析模型，基于三維彈性動力學IEFG方法對移動荷載作用下的路面動態(tài)響應進行了計算，具體計算流程為：

(1) 確定路面幾何尺寸，輸入路面材料參數(shù)。

(2) 在求解域內(nèi)確定坐標系，設置節(jié)點坐標，對應編號建立節(jié)點信息。

(3) 形成用于數(shù)值積分的背景積分網(wǎng)格，并建立Γu和Γt的邊界積分網(wǎng)格信息。

(4) 根據(jù)背景網(wǎng)格和邊界生成Gauss積分點并計算對應Gauss點積分信息。

(5) 形成剛度矩陣K，質量矩陣M，阻尼矩陣C，全局罰函數(shù)矩陣Ka及列向量Fα。

(8) 進入時間步循環(huán)，計算時間t+Δt的節(jié)點荷載向量Ft+Δt。

(9) 求解并輸出路面各層計算點的位移、速度、應變和應力。

(10) 返回步驟(6)，計算Δt內(nèi)車輪移動距離，確定新的荷載位置。

3.1 路面結構和參數(shù)

該文采用中國典型的半剛性瀝青路面結構，路面結構及其各層材料參數(shù)見表1。

表1 瀝青路面結構和參數(shù)

3.2 計算模型

瀝青路面計算模型尺寸為：路面寬度方向3.75 m，長度方向8.68 m，厚度方向3.78 m。 圖1為路面模型節(jié)點分布，總節(jié)點數(shù)為2 304個；共1 736個積分子域，各個子域均采用3×3階Gauss積分，取影響域比例參數(shù)dmax=2，罰因子為1×1010。為提高計算精度，采用局部細化的方式劃分網(wǎng)格，在荷載作用區(qū)附近細化。

圖1 路面模型節(jié)點分布

3.3 勻速移動荷載的模擬

圖2為移動荷載加載過程，其中，黑色部分為等效荷載，箭頭為荷載移動方向。將荷載的運動路徑簡化為水平表面上的兩條矩形條帶，荷載大小取0.7 MPa，作用面積簡化為兩個0.186 m×0.28 m的矩形，輪隙帶取0.128 m，設計車速V=100 km/h，通過調(diào)節(jié)荷載的作用時間來模擬不同的車速，為減小邊界條件對結果的影響，移動荷載加載過程如圖2所示。

圖2 移動荷載加載過程(單位：m)

4 三維瀝青路面動態(tài)響應計算結果與分析

選取路面結構中心線上的各點作為計算點，利用彈性動力學IEFG方法進行計算，得到計算點在移動荷載作用下的豎向位移，并將其與有限元軟件Abaqus的計算結果進行對比，瀝青路面面層頂部計算點在移動荷載下的豎向位移比較見圖3。

圖3 面層頂部豎向位移比較

從圖3可知：IEFG彈性動力學方法的計算結果與有限元Abaqus計算結果吻合，說明了IEFG動力學方法在分析瀝青路面動態(tài)響應方面的有效性。

4.1 瀝青路面結構層豎向位移分析

圖4為瀝青路面垂直方向各層計算點位置的豎向位移時程曲線。

圖4 各層豎向位移時程曲線

從圖4可以看出：當荷載向計算點方向移動時，計算點的豎向位移快速增大，荷載在駛離計算點時，計算點位置各個深度的豎向位移迅速減少。在路面結構各層計算點的時程曲線中，豎向最大位移發(fā)生在瀝青面層，為0.097 5 mm，基層底部、底基層底部的豎向位移分別占瀝青面層位移的95.7%和93.2%；土基層頂部、中部分別占瀝青面層位移的93.2%和26.9%。由以上分析可知：隨著深度的增大，豎向位移值不斷減小，豎向位移主要發(fā)生在土基中部以上。

4.2 瀝青路面結構層應力響應分析

圖5為路面結構計算點在移動荷載作用下的豎向應力、橫向應力和水平應力時程曲線。圖6為最大剪應力時程曲線。

由圖5可以看出：

圖5 瀝青路面結構層應力響應時程曲線

(1) 在各計算點位的豎向應力時程曲線中，路表面承受最大壓應力，大小為0.38 MPa；面層底部應力為0.17 MPa；在底基層底部計算點位置，壓應力值為0.08 MPa；隨著深度增加，土基中的應力值逐漸趨近于零。由以上分析可知：隨著深度的增大，豎向應力減小，路面表面層承受了較大的壓應力，易產(chǎn)生破壞。

(2) 路面結構的橫向應力時程曲線和水平應力時程曲線的變化趨勢基本一致，其中拉應力和壓應力都有，并隨深度增加呈交替變化。 兩個方向的最大壓應力均出現(xiàn)在路表面，大小分別為0.27、0.30 MPa；隨著深度的增加，兩個方向的壓應力均在面層快速減小，并在基層中由壓應力轉化為拉應力，兩個方向最大拉應力均發(fā)生在基層和底基層的接觸面，其值分別為0.19、0.23 MPa，從基層底部到土基中部，隨深度的增加，兩個方向的拉應力均逐漸減小，且在底基層的中上部，拉應力減小幅度最大，土基頂面拉應力值均為0.05 MPa。 通過以上分析可得：在勻速荷載作用下，路面結構受力最為不利的位置分別為瀝青面層表面和基層底部。

圖6 最大剪應力時程曲線

圖6為在移動荷載作用下最大剪應力時程曲線。

由圖6可以看出：在移動荷載作用下，瀝青面層剪應力最大，為0.076 MPa，從面層底部到基層底部，剪應力逐漸增大，底基層和土基中的剪應力較小。由以上分析可知：路表面產(chǎn)生的剪應力最大，所以路表面層易產(chǎn)生剪切破壞。

5 不同速度下路面結構中最不利應力分析

通過以上對移動荷載作用下路面結構的應力分析可知：最不利受力位置分別為瀝青面層表面和基層底部，而由于汽車在公路上行駛時，不同路段的行駛速度可能不同，因此該文分析在不同行駛速度下，瀝青面層壓應力和基層底部拉應力的變化規(guī)律。

圖7為不同車速下的瀝青面層最大豎向應力，圖8為不同車速下的底基層底部最大橫向拉應力，圖9為不同車速下的底基層底部最大水平拉應力，圖10為不同車速下的瀝青面層最大豎向位移。

圖7 不同車速下的瀝青面層最大豎向應力

圖8 不同車速下的底基層底部最大橫向拉應力

圖9 不同車速下的底基層底部最大水平拉應力

圖10 不同車速下的瀝青面層最大豎向位移

由圖7～10可以看出：路面結構的最不利應力和路表豎向位移均隨車速的增大而逐漸減小，且最不利應力的減小速度，隨速度的增大而加快，而最大豎向位移的減小速度，隨速度的增大而減小。從以上分析可知：車速對瀝青路面的應力和位移均有影響，且對應力的影響較位移的影響大。由此可見，低速行駛對路面的損害較大。

6 結論

運用改進的無單元Galerkin方法，建立了三維瀝青路面彈性動力學計算模型。對路面結構在勻速移動荷載作用下的動力響應進行了分析，得出以下結論：

(1) 將彈性動力學改進的無單元Galerkin方法應用于三維瀝青路面的動態(tài)響應分析，并和有限元的結果進行了對比，計算結果吻合，說明了IEFG方法在三維瀝青路面動力響應分析中的有效性。

(2) 路面結構在移動荷載作用下的動態(tài)響應中，最大位移發(fā)生在瀝青面層表面，隨著深度的增大，豎向位移值不斷減小，計算結果表明：豎向位移主要發(fā)生在土基中部以上，所以提高該結構層壓實度能有效降低豎向位移。

(3) 瀝青面層表面承受著豎直方向的最大壓應力，面層和基層中的壓應力隨深度增加快速減??；基層底部的橫向和水平方向的拉應力最大，由此可見基層與底基層結合處，最容易發(fā)生破壞。

(4) 瀝青面層表面產(chǎn)生的剪應力最大，因此增大瀝青面層材料的抗剪強度，可防止瀝青面層表面發(fā)生剪切破壞。

(5) 路面結構的最不利應力，以及路表的最大豎向位移，均隨車速的增大而逐漸減小，說明低速行駛對路面的損害較大，行車速度的提高可以減小動態(tài)響應的峰值，減輕路面的破壞。

(6) 目前無網(wǎng)格方法在實際工程中應用較少，將改進的無單元Galerkin方法應用到三維瀝青路面的彈性動力學的分析中，說明無網(wǎng)格方法在工程中的應用前景廣闊。