分類例說(shuō)，突破一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的“重圍”

文張?zhí)锾?/p>

專題復(fù)習(xí)：函數(shù)

領(lǐng) 銜 人：何君青

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省初中數(shù)學(xué)反思型教學(xué)課題組

一、同一個(gè)坐標(biāo)系里只有一個(gè)分段一次函數(shù)

這類問(wèn)題一般有三問(wèn)：第一問(wèn)識(shí)別圖像，例如解釋折點(diǎn)處的基本信息等；第二問(wèn)用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式；第三問(wèn)用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。同學(xué)們需觀察一次函數(shù)圖像，細(xì)致分析題意，能將一次函數(shù)的知識(shí)與建立方程模型相結(jié)合。

例1 圖1 中的折線ABC表示某汽車的耗油量y（單位：L/km）與速度x（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系（30≤x≤120）。已知線段BC表示的函數(shù)關(guān)系中，該汽車的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km。

（1）當(dāng)速度為50km/h、100km/h 時(shí)，該汽車的耗油量分別為 L/km、 L/km。

（2）求線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

（3）速度是多少時(shí)，該汽車的耗油量最低？最低是多少？

【分析】此題以耗油量問(wèn)題為背景，以一次函數(shù)的圖像為載體，分析某汽車的耗油量y與速度x之間的函數(shù)關(guān)系，考查識(shí)圖、用圖的能力。題中自變量不同取值范圍所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式不同，其函數(shù)圖像是一個(gè)折線。解決分段函數(shù)問(wèn)題，要與自變量所在取值范圍對(duì)應(yīng)，大家要會(huì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，且用好“折點(diǎn)處”的坐標(biāo)。

解：（1）0.13，0.14。

（2）設(shè)線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b。

因?yàn)閥=kx+b的圖像過(guò)點(diǎn)（30，0.15）與（60，0.12），所以

解方程組，得

所以線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-0.001x+0.18。

（3）根據(jù)題意，得線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=0.12+0.002（x-90）=0.002x-0.06。

由圖像可知，B是折線ABC的最低點(diǎn)。

【點(diǎn)評(píng)】此類題型通過(guò)函數(shù)圖像及一定的文字說(shuō)明作為載體來(lái)傳遞解題信息，為問(wèn)題提供條件。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是善于從圖像的位置、特殊點(diǎn)及發(fā)展變化趨勢(shì)等相關(guān)信息中受到啟發(fā)，并獲取有用的信息，獲得解決問(wèn)題的途徑，進(jìn)行推理計(jì)算，最終解決問(wèn)題。此類問(wèn)題的切入口往往是對(duì)折點(diǎn)的解讀，所以要重視折點(diǎn)及折點(diǎn)前后的狀態(tài)。

二、同一個(gè)坐標(biāo)系里有兩個(gè)一次函數(shù)

在同一個(gè)坐標(biāo)系中，同一自變量有兩個(gè)不同的因變量，表示不同的一次函數(shù)，這對(duì)解題造成干擾，更考查大家對(duì)圖像的理解以及綜合分析解決問(wèn)題能力。下面以一個(gè)行程問(wèn)題為背景，與同學(xué)們交流。

例2 甲、乙兩地相距400 千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地。如圖2，線段OA表示貨車離甲地的路程y（km）與所用時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系；折線BCD表示轎車離甲地的路程y（km）與所用時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像解答下列問(wèn)題：

（1）求線段CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

（2）求E點(diǎn)的坐標(biāo)，并解釋E點(diǎn)的實(shí)際意義。

（3）若已知轎車比貨車晚出發(fā)20 分鐘，且到達(dá)乙地后在原地等待貨車，則當(dāng)x為多少小時(shí)，貨車和轎車相距30km？

【分析】本題考查了一次函數(shù)在行程問(wèn)題中的應(yīng)用。（1）求線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是常規(guī)考法，方法有兩種，一種是根據(jù)實(shí)際意義直接列出，另一種是讀取圖中數(shù)據(jù)，借助待定系數(shù)法求出表達(dá)式；（2）求E點(diǎn)的坐標(biāo)仍有兩種方法，一種是聯(lián)立線段OA、CD的表達(dá)式求解，另一種是列一元一次方程求解追及時(shí)間（即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)），再代入線段CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)；（3）由“貨車和轎車相距30km”可求得多解。

解：（1）線段CD所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=120x-140（2≤x≤4.5）。

（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（3.5，280），點(diǎn)E的實(shí)際意義是當(dāng)貨車行駛3.5 小時(shí)，轎車追上貨車，這時(shí)它們離甲地距離為280千米。

【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的一般方法是解讀折點(diǎn)、分段圖像的實(shí)際意義，結(jié)合實(shí)際行程問(wèn)題，運(yùn)用分類思想，正確地找出某個(gè)狀態(tài)下的速度、時(shí)間、路程，然后轉(zhuǎn)化成代數(shù)模型來(lái)解決。