區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的距離度量

龔匡豐,周小方

(1.閩南師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,福建漳州363000;2.閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院,福建漳州363000)

20 世紀(jì)90 年代,Zadeh[1]提出粒計(jì)算概念，該理論在圖像處理、屬性約簡(jiǎn)、數(shù)據(jù)挖掘、決策分析等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用[2-6].粒計(jì)算的兩個(gè)基本問(wèn)題是?；约盎诹；挠?jì)算，復(fù)雜問(wèn)題經(jīng)過(guò)粒劃分后可轉(zhuǎn)化為若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題[7].

粗糙集理論是研究不確定性的一種重要工具，也是粒計(jì)算的主要模型之一[8-9].目前，該理論在知識(shí)發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域取得了長(zhǎng)足的發(fā)展.在粗糙集環(huán)境下，數(shù)據(jù)集可以根據(jù)給定的等價(jià)關(guān)系劃分成不同的類(lèi)，也稱(chēng)作粒計(jì)算中的粒結(jié)構(gòu)，等價(jià)類(lèi)是具有相同屬性值的集合，一個(gè)等價(jià)類(lèi)可以稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)信息粒[10].信息粒度越小，意味著其分辨能力越強(qiáng)[11].

至今，中外許多學(xué)者在粒計(jì)算領(lǐng)域做了大量工作.Lin[12]對(duì)粒結(jié)構(gòu)等相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了論述.文獻(xiàn)[13]提出了粗糙上、下近似距離的概念，并研究了它們與粗糙近似集之間的關(guān)系.Tan 等[14]定義了基于直覺(jué)模糊關(guān)系的模糊信息粒度，并刻畫(huà)了直覺(jué)模糊粗糙集上下近似的層次結(jié)構(gòu)，提出了顯著性測(cè)度以此來(lái)評(píng)價(jià)直覺(jué)模糊關(guān)系的逼近質(zhì)量和分類(lèi)能力.Qian等[15-16]提出了模糊信息粒的公理化方法，并且對(duì)模糊信息粒度的相關(guān)性質(zhì)做了研究，之后又提出了模糊粒結(jié)構(gòu)距離，并用此來(lái)度量模糊粒結(jié)構(gòu)的差異.為了能更好地刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中“非此非彼”的現(xiàn)象，Atanassov[17]推廣了Zadeh的模糊集，提出了直覺(jué)模糊集，對(duì)隸屬度、非隸屬度、猶豫度等方面進(jìn)行全面考慮，該理論在處理不確定性等問(wèn)題上顯得更加靈活實(shí)用.由于在某些情況下，直覺(jué)模糊集中的隸屬度等量用區(qū)間數(shù)來(lái)表達(dá)會(huì)更加具有現(xiàn)實(shí)意義，Atanassov 和Gargov[18]拓展了直覺(jué)模糊集，提出了區(qū)間直覺(jué)模糊集，進(jìn)一步豐富了處理不確定問(wèn)題的理論基礎(chǔ).

文獻(xiàn)[19]在區(qū)間直覺(jué)模糊環(huán)境中對(duì)直覺(jué)模糊信息粒和直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)進(jìn)行了推廣和討論，提出了區(qū)間直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)的一種度量方法：區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒度.然而，它在測(cè)量粒結(jié)構(gòu)的不確定性方面存在一定的局限性.基于此，在Qian 等[16]的基礎(chǔ)上，推廣了模糊粒結(jié)構(gòu)距離的概念，給出了區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的度量方法.首先，定義了區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的概念；其次，研究了一些相關(guān)的性質(zhì)定理；最后，通過(guò)例子來(lái)驗(yàn)證該定義的有效性.

1 基本概念

定義1[19]設(shè)IVIF(U )為U上所有區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的集合是兩個(gè)區(qū)間

直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)，粒結(jié)構(gòu)算子?,?定義為：

在描述區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的粗細(xì)中，偏序關(guān)系起著重要的作用.下面回顧區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的偏序關(guān)系.

定義2[19]設(shè)

2 關(guān)于區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒度的局限性分析

定義3[19]設(shè)則的區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒度為

在度量區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)不確定性方面，區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒度發(fā)揮著重要作用.對(duì)于一個(gè)粒結(jié)構(gòu)而言，可以用信息粒度來(lái)衡量其區(qū)分能力，一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)粒結(jié)構(gòu)的信息粒度越小，它的區(qū)分能力就越強(qiáng)[11].

由定義3可知：

容易看出例1 中的兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)是不一樣，但從上面的計(jì)算結(jié)果得到的區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒度是一樣的，這意味著區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒度并不能區(qū)分這兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu).本文對(duì)此度量方法做了改進(jìn)，給出下面的區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的概念.

3 區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離

首先，介紹一些相關(guān)概念.

定義4給出的區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離用于同一論域中兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的差異性的度量.

下面，給出一些基于區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的定理.

定理1 設(shè)IVIF(U )是論域U 上所有區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的集合與是IVIF(U)的兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模粒結(jié)構(gòu). 若則取得最小值為0；若且則取得最大值為1.顯然下面驗(yàn)證區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的有效性.

例2 續(xù)例1利用定義4，計(jì)算得

由例1 可知用區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒度來(lái)度量這兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)結(jié)果是相等的，但是由例2區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離可說(shuō)明這兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)并不相同.因此，在刻畫(huà)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)上區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離顯得更加合理和有效.

由定義2可知區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒的包含關(guān)系在區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)關(guān)系中起基礎(chǔ)作用.現(xiàn)在通過(guò)偏序關(guān)系來(lái)分析區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的相關(guān)性質(zhì).

通過(guò)上面的分析和討論，引入推論1-2.

推論1 設(shè)IVIF(U )是論域U 上所有的區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的集合是兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)，若則有

推論2 設(shè)IVIF(U )是論域U 上所有的區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的集合是兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)，若則有

證明 推論1-2可由定義2和定義4證得.

利用區(qū)間直覺(jué)模糊集的取小取大運(yùn)算和差異度量公式，引入引理2.

基于引理2，引入定理3.

定理3 設(shè)U為論域，IVIF(U )是U中所有的區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)的集合，則(IVIF(U ),D )是一個(gè)距離空間.

3）為了證明三角不等式，給定如下3 個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)不失一般性，需要證明

式（8）由引理2易得.同理，式（9）-（10）也成立：

綜上，(IVIF(U ),D )是一個(gè)距離空間.

由定理3 的證明，可知所提出的區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的概念是合理的.在特征選擇中對(duì)于啟發(fā)式函數(shù)的構(gòu)造以及兩個(gè)變量之間的關(guān)聯(lián)分析等過(guò)程中，區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離可以發(fā)揮其潛在作用.如果給定的兩個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)不一樣，就可通過(guò)區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離來(lái)區(qū)分彼此.因此，將區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的思想用于解決決策分析、分類(lèi)等問(wèn)題也是一個(gè)值得探究的課題.

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先分析了區(qū)間直覺(jué)模糊信息粒度的局限性，在此基礎(chǔ)上推廣了模糊粒結(jié)構(gòu)距離，提出了區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的概念，并證明了相關(guān)的定理和性質(zhì).然后用例子驗(yàn)證了所提出的觀點(diǎn)的可行性，最后就區(qū)間直覺(jué)模糊粒結(jié)構(gòu)距離的一些潛在應(yīng)用做了探討.