兩個(gè)子周期間歇控制混沌系統(tǒng)的投影滯后同步

鄭 斌,馬米花,蔡建平

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建漳州363000）

Pecora 和Carroll[1]首次在電路上實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)兩個(gè)混沌系統(tǒng)的同步.由于這項(xiàng)開(kāi)創(chuàng)性的研究,過(guò)去20年里,學(xué)者們對(duì)混沌同步做了大量的研究[1-3].現(xiàn)有的許多混沌控制策略,例如線(xiàn)性反饋控制,自適應(yīng)控制,滑膜控制等已經(jīng)廣泛應(yīng)用于混沌同步.近年來(lái),不連續(xù)控制方法,例如脈沖控制,事件觸發(fā)控制和間歇控制,由于其低通信成本和抗噪聲的優(yōu)點(diǎn),引起了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注[3-5].由于間歇控制在實(shí)踐中易于實(shí)現(xiàn),因此它是一種處理同步問(wèn)題的有效方法.與連續(xù)控制模式相比,文獻(xiàn)[6-8]的結(jié)果表明,間歇控制更有效,成本更低,抗噪聲更好,對(duì)參數(shù)失配具有較好的魯棒性.

當(dāng)我們實(shí)現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)混沌系統(tǒng)同步時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到兩種時(shí)滯的情況,即系統(tǒng)內(nèi)的時(shí)間延遲和系統(tǒng)之間的傳輸延遲.時(shí)滯會(huì)影響同步性能,甚至可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此學(xué)者們對(duì)混沌系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)的滯后同步進(jìn)行大量的研究,其中文獻(xiàn)[2,5,9]是通過(guò)間歇控制來(lái)實(shí)現(xiàn).

另外,投影同步是同步中的一種,它是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量之間達(dá)到某種關(guān)系.其中,完全同步和反同步是特殊的投影同步[10].文獻(xiàn)[11]通過(guò)自適應(yīng)的間歇控制,給出了混沌系統(tǒng)混合投影同步的充分條件.但即使相同的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù),在實(shí)際應(yīng)用中也不可避免地存在參數(shù)失配,這導(dǎo)致難以甚至不可能實(shí)現(xiàn)完全同步.因此,關(guān)于準(zhǔn)同步或類(lèi)似的弱同步和實(shí)用同步的問(wèn)題也很有吸引力[12-13].

文獻(xiàn)[14-15]具有兩個(gè)子周期的間歇控制應(yīng)用于風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)控制和一些系統(tǒng)切換控制,兩個(gè)子周期的間歇控制是指一個(gè)完整的控制周期由兩個(gè)子周期組成.顯然,如果兩個(gè)子周期相同,則具有兩個(gè)子周期的間歇控制將會(huì)變?yōu)橥ǔ５膯沃芷诳刂?目前,關(guān)于具有兩個(gè)子周期的間歇控制用于同步時(shí)滯混沌系統(tǒng)的研究很少.因此,對(duì)這個(gè)問(wèn)題的討論具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

嘗試使用兩個(gè)子周期的間歇控制方法來(lái)實(shí)現(xiàn)具有參數(shù)失配的時(shí)滯混沌系統(tǒng)的投影滯后同步.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和代數(shù)矩陣不等式,得到了一些新的同步準(zhǔn)則.另外,討論參數(shù)和誤差范圍之間的關(guān)系,以及這些參數(shù)對(duì)同步的影響.將得到的理論結(jié)果應(yīng)用于具有時(shí)滯的蔡氏電路系統(tǒng),數(shù)值模擬表明所提出的控制策略是可行的.

1 模型描述和間歇控制方案

考慮如下的一類(lèi)混沌系統(tǒng)

稱(chēng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),其中x是狀態(tài)向量,φ(t )是初始值,A1,B1,C1和D1∈Rn×n是常數(shù)矩陣,τ表示的是時(shí)間延遲,f,g：Rn→Rn是非線(xiàn)性函數(shù)滿(mǎn)足以下假設(shè).

假設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)滿(mǎn)足f (0)= g(0),并且存在正定矩陣Lf,Lg∈Rn×n,對(duì)于任意的x,y ∈Rn,都有以下不等式成立：

響應(yīng)系統(tǒng)構(gòu)造為：

其中y 是狀態(tài)向量, A2, B2, C2和D2∈Rn×n是常數(shù)矩陣, ψ(t )是初始值. 由于參數(shù)失配, A1≠A2, B1≠B2,C1≠C2和D1≠D2.u(t )是具有兩個(gè)子時(shí)段的間歇控制,即

其中m = 0,1,…,n.K = diag(k1,k2,…,kn)表示的是控制增益,λ是投影因子,θ 是傳輸時(shí)滯,h1和h2是控制寬度,T = T1+ T2是控制周期,其中T1和T2可以分別代表兩個(gè)不同的子周期.

定義誤差變量e = y(t )- λx(t - θ ),誤差系統(tǒng)可以從公式(1)-(3)計(jì)算：

其中ΔA = A2- A1,ΔB = B2- B1,ΔC = C2- C1和ΔD = D2- D1表示參數(shù)失配.

定義[7]如果存在ε ＞0,T0＞0,傳輸延遲θ,時(shí)間延遲τ 和投影因子λ,對(duì)任意的t ≥T0,任意的初始的條件φ(t )∈Ω,ψ(t )∈Ω 和t ∈[-τ,0],有‖ ‖y(t )- λx(t - θ ) ≤ε 成立,則稱(chēng)同步框架實(shí)現(xiàn)有誤差界的投影滯后同步,其中Ω為系統(tǒng)軌跡的界.

引理1[15]對(duì)于任意給定具有適當(dāng)階數(shù)的實(shí)矩陣Σ1,Σ2,Σ3和標(biāo)量s ＞0,若0 ＜Σ3=那么有下列不等式成立：

引理2[16]假設(shè)P為n階正定矩陣,Q是對(duì)稱(chēng)矩陣,那么

其中x ∈Rn,λm(·)和λM(·)分別代表矩陣的最小和最大特征值.

參考文獻(xiàn)[6]的引理5，可以得到引理3.

引理3 如果存在非負(fù)函數(shù)y(t )在t ∈[t0- τ,+∞)上滿(mǎn)足以下的微分不等式

其中α,β,r 和c 都是正的常數(shù),且-ρ3+ ρ4＞0,ρ = ρ1- ρ2+ ρ3- ρ4＞0,令ρ1= r(h1- τ ),ρ2= c(T1- h1),ρ3= r(h2- τ ),ρ4= c(T - T1- h2),那么可以得到以下不等式

對(duì)于任意的t ≥0都成立,其中υ =(α + β)eρ2-ρ3+ρ4- βe-ρ3+ρ4+(α + β)eρ4- β.

2 同步判據(jù)和誤差界

證明選擇V (t )= e(t )Te(t ),根據(jù)時(shí)間的不同,分為t ∈(mT,mT + h1]?(mT + T1,mT + T1+ h2]和t ∈(mT + h1,mT + T1]?(mT + T1+ h2,(m + 1)T ]進(jìn)行討論.

當(dāng)t ∈(mT,mT + h1]?(mT + T1,mT + T1+ h2]時(shí),其中m是非負(fù)整數(shù),那么

因此,根據(jù)引理1和引理2，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可以得到

根據(jù)上面的計(jì)算可得到

通過(guò)以上的討論,可以得到

當(dāng)t ∈(mT + h1,mT + T1]?(mT + T1+ h2,(m + 1)T ]時(shí),同樣的,得到

綜上所述,

因此,有以下的不等式成立

其中r1是方程-r1= -s1+ ηer1τ的唯一解.

可以得到以下的不等式

又因?yàn)?/p>

因此，在間歇控制(3)下, 混沌系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)有誤差界限的投影滯后同步, 誤差界為證畢.

3 數(shù)值仿真

作為上述理論結(jié)果的應(yīng)用，選擇具有時(shí)滯的蔡氏電路系統(tǒng)為例進(jìn)行說(shuō)明.

a = 9.215 6,b = 15.994 6,c = -1.249 5,d = -0.757 35,τ = 1 和x(0)=[0.3,0.2,0.1].那么該系統(tǒng)是處于混沌的狀態(tài).

對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)可以寫(xiě)成

情形1 如果取控制周期T1= 1和T = 4,控制寬度h1= 0.9和h2= 2.7,其它的參數(shù)如下給出參數(shù)失配值l1= 0.001,傳輸時(shí)滯θ = 0.000 5,控制增益k = 56,投影因子λ = 0.9,初始的條件為(x1(0) ,x2(0),x3(0))=(1,0.8,0.9),(y1(0),y2(0),y2(0))=(0.5,0.6,0.2).利用這些參數(shù),經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算,可以得到預(yù)估的誤差界ε ≤0.16.如圖1 所示,可以看到通過(guò)數(shù)值計(jì)算的誤差界D1={e ∈Rn|‖ e ‖≤0.121 3} 會(huì)小于預(yù)估的誤差界.

圖1 誤差曲線(xiàn)隨時(shí)間的變化圖Fig.1 Variation of error curve with time

情形2 討論控制寬度h1和數(shù)值誤差界的關(guān)系.取控制寬度h1從0.6增加到1,每次增加0.01.其它的參數(shù)給出如下,控制寬度h2= 0.96,控制增益k = 56,控制周期T1= 1,T = 2,剩余的參數(shù)和情形1相同.如圖2所示,可知隨著控制寬度h1的增加,數(shù)值誤差界D也會(huì)增加.

圖2 控制寬度h1和數(shù)值誤差界D的關(guān)系圖Fig.2 The relation graph between control width h1 and numeric error bound D

4 結(jié)論

兩個(gè)子周期的間歇控制在控制區(qū)間內(nèi)有了更靈活的選擇,并實(shí)現(xiàn)了有參數(shù)失配的時(shí)滯混沌系統(tǒng)投影滯后同步.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線(xiàn)性矩陣不等式推導(dǎo)并證明了同步判據(jù).同時(shí),還討論了參數(shù)和誤差之間的關(guān)系,以及這些參數(shù)對(duì)同步的影響.最后通過(guò)時(shí)滯的蔡電路作為仿真的例子驗(yàn)證了上述的理論結(jié)果.