利用稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸去除地震噪聲及拾取初至

劉國(guó)昌 蔡加銘 閆海洋 李潔麗 陳小宏

(①中國(guó)石油大學(xué)(北京)地球物理學(xué)院，北京 102249； ②東方地球物理公司研究院，河北涿州 072751； ③東方地球物理公司海洋物探處，天津 300450)

0 引言

多項(xiàng)式擬合回歸被廣泛用于地震數(shù)據(jù)隨機(jī)噪聲衰減、多次波壓制、品質(zhì)因子估計(jì)及初至拾取靜校正等方面[1-7]。早在1988年俞壽朋等[8]利用信號(hào)橫向相干性，提出了多項(xiàng)式擬合加強(qiáng)有效信號(hào)的方法，并在疊后地震資料處理中獲得較好應(yīng)用效果。田小平等[9]提出利用多項(xiàng)式擬合模板法消除地震信號(hào)的低頻干擾，分析了模板性質(zhì)并給出了模板與低頻隨機(jī)干擾最高頻率之間的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)證明了方法的有效性。Johansen等[10]利用正交多項(xiàng)式提取AVO特征，很好地保護(hù)了剖面特征。李鯤鵬等[11]提出了小波變換過(guò)零點(diǎn)匹配和基于奇異值分解總體最小二乘(SVD-TLS)算法的多項(xiàng)式擬合去噪方法，提高了地震資料分辨率和信噪比。夏洪瑞等[12]提出了二次多項(xiàng)式擬合與中值約束的矢量分解方法，解決了常規(guī)正交多項(xiàng)式擬合過(guò)程中出現(xiàn)的斷點(diǎn)模糊問(wèn)題。Lu等[1]利用滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合壓制局部線性噪聲，并用于衰減隨機(jī)噪聲以保護(hù)邊緣信息[13]。多項(xiàng)式擬合不僅用于疊后去噪，也可應(yīng)用于疊前CMP去噪。薛亞茹等[14]利用多項(xiàng)式變換壓制動(dòng)校正后CMP道集的隨機(jī)噪聲，既提高了信號(hào)和噪聲的分離效果，又有效地保護(hù)了地震信號(hào)的AVO信息。結(jié)合時(shí)頻變換的多項(xiàng)式擬合也被用于地震數(shù)據(jù)處理。李向云等[15]提出了改進(jìn)的正交多項(xiàng)式變換，利用奇異值分解確定有效信號(hào)正交多項(xiàng)式系數(shù)譜的階數(shù)，結(jié)合小波變換減弱了有效信號(hào)和噪聲在低階的混疊，改善了隨機(jī)噪聲壓制效果。陸文凱[16]沿多次波旅行時(shí)軌跡，利用L1范數(shù)多項(xiàng)式擬合技術(shù)估計(jì)多次波，有效地消除了一次波和隨機(jī)噪聲對(duì)預(yù)測(cè)多次波的影響。在初至拾取靜校正方面，王輝等[17]針對(duì)常規(guī)靜校正方法的不足，提出利用多項(xiàng)式擬合單炮記錄初至?xí)r間進(jìn)行地表靜校正，取得了較好效果。

Fomel[18-19]利用整形正則化技術(shù)研究非平穩(wěn)回歸，針對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)給出了時(shí)變非平穩(wěn)回歸系數(shù)估計(jì)方法。非平穩(wěn)回歸已被用于多次波自適應(yīng)相減[19]、隨機(jī)噪聲壓制[20]和時(shí)頻分析[21-22]等領(lǐng)域，應(yīng)用效果較好。在非平穩(wěn)回歸基礎(chǔ)上，Liu等[23]提出了基于非平穩(wěn)多項(xiàng)式擬合的地震隨機(jī)噪聲壓制方法，通過(guò)自適應(yīng)估計(jì)非平穩(wěn)信號(hào)的相干分量，在壓制噪聲的同時(shí)更好地保護(hù)了有效信號(hào)。

非平穩(wěn)多項(xiàng)式擬合是L2范數(shù)下的優(yōu)化問(wèn)題，盡管考慮了信號(hào)的時(shí)變特征，但是仍然假設(shè)殘差呈隨機(jī)分布，當(dāng)?shù)卣饠?shù)據(jù)中存在較強(qiáng)非隨機(jī)噪聲時(shí)，常規(guī)的基于L2范數(shù)的非平穩(wěn)多項(xiàng)式擬合不再適用。因此，本文針對(duì)復(fù)雜稀疏分布?xì)埐顔?wèn)題，在反問(wèn)題正則化理論框架下，結(jié)合非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸和L1范數(shù)約束，研究了稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸理論與方法。首先，回顧了非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸的基本原理；然后提出了L1范數(shù)約束的估計(jì)時(shí)變光滑多項(xiàng)式回歸系數(shù)和稀疏分布回歸殘差的方法，給出了算法基本流程和參數(shù)分析；最后，應(yīng)用稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸衰減噪聲及拾取初至，獲得了較好效果。

1 方法原理

1.1 非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸

假設(shè)信號(hào)d(p)可以通過(guò)M階多項(xiàng)式近似，有

(1)

式中：pi為多項(xiàng)式自變量；bi為多項(xiàng)式系數(shù)；n為擬合誤差。如果n為隨機(jī)噪聲，通過(guò)擬合誤差能量最小的方法得到bi，即其為L(zhǎng)2范數(shù)約束的最小二乘優(yōu)化問(wèn)題

(2)

式中‖·‖2表示L2范數(shù)。在L2范數(shù)約束下可以將多項(xiàng)式擬合問(wèn)題改進(jìn)為非平穩(wěn)形式，非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸假設(shè)多項(xiàng)式系數(shù)是時(shí)變的，則式(2)變?yōu)?/p>

(3)

可以看出，由于待估計(jì)的bi變?yōu)閎i(p)后未知數(shù)個(gè)數(shù)變多，因此式(3)為欠定反問(wèn)題，需要對(duì)其強(qiáng)加約束限制才能求解。在反問(wèn)題研究領(lǐng)域，存在多種正則化形式實(shí)現(xiàn)反問(wèn)題約束求解。若考慮經(jīng)典的Tikhonov正則化，則式(3)在正則化約束條件下的最小平方優(yōu)化問(wèn)題為

(4)

式中：σ為正則化參數(shù)；Γ為Tikhonov正則化算子。為了方便起見(jiàn)，采用矩陣或算子的形式描述式(4)，即式(4)變?yōu)槁?lián)立最小平方問(wèn)題

(5)

式中d、P和b分別為式(4)中的d、p和b對(duì)應(yīng)的矩陣形式。式(5)為線性優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)共軛梯度法求解。本文選取整形正則化作為正則化方式，其類似于反問(wèn)題預(yù)條件方法，在計(jì)算效率和參數(shù)選取方面具有一定優(yōu)勢(shì)[19]。

1.2 稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸

在常規(guī)非平穩(wěn)多項(xiàng)式擬合中，假設(shè)噪聲呈隨機(jī)分布，采用L2范數(shù)約束能夠得到較好的結(jié)果。在噪聲復(fù)雜情況下，如存在強(qiáng)野值噪聲、涌浪噪聲等非隨機(jī)分布的噪聲，L2范數(shù)約束不再適合。在存在非隨機(jī)噪聲情況下，式(5)修正為

min∶‖d-Pb‖1

(6a)

min∶‖Γb‖2

(6b)

式中‖·‖1表示L1范數(shù)，表明擬合噪聲誤差是稀疏的。為更好地求解式(6)，在式(6a)中將殘差稀疏噪聲作為變量，即

min∶‖d-Pb-n‖2

(7a)

min∶‖Γb‖2

(7b)

min∶‖n‖1

(7c)

式中n為稀疏分布非隨機(jī)噪聲。式(7a)表示經(jīng)多項(xiàng)式擬合后稀疏分布噪聲的誤差在最小平方意義下最??； 式(7b)表示對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)的約束項(xiàng)，是對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)的假設(shè)； 式(7c)表示噪聲的L1范數(shù)最小，表明噪聲滿足稀疏約束。在不同的情況下，式(7)可以具有不同的含義：

(1)只考慮式(7a)和式(7b)，可以估計(jì)L2范數(shù)約束的非平穩(wěn)多項(xiàng)式系數(shù)，此時(shí)假設(shè)噪聲n滿足L2范數(shù)下最小。則式(7a)和式(7b)退化為式(5)，在理論上具有最小平方解，即

(8)

=[I+S(PTP-I)]-1SPTd

(9)

式中：S為整形算子，一般取三角平滑或者高斯平滑算子；I為單位矩陣。需要注意的是，式(9)是式(7a)和式(7b)的正則化約束理論解，采用共軛梯度類算法求解。為了簡(jiǎn)便，將式(9)記為

(10)

式中G代表綜合線性算子， 包含整形正則化的形式。

(2)綜合考慮式(7a)～式(7c)，可以估計(jì)L1范數(shù)約束的非平穩(wěn)多項(xiàng)式擬合。此時(shí)式(7)變?yōu)?/p>

min∶‖d-Gb-n‖2

(11a)

min∶‖n‖1

(11b)

算子G包含在L2范數(shù)約束下對(duì)b的平滑約束。式中未知量為b和n， 為了求解非線性優(yōu)化問(wèn)題，將式(11a)寫為

(12)

此時(shí)未知量變?yōu)?nb)T。假設(shè)噪聲n服從稀疏分布、b沿著時(shí)間方向是平滑的，則式(12)簡(jiǎn)化為

d-Fx≈0

(13)

式中：F=(IG)；x=(nb)T。采用Daubechies迭代[24]求解式(13)，即

xk+1=Tλk[FTd+(I-FTF)xk]

(14)

式中Tλk為噪聲n的閾值算子，k為迭代次數(shù)。

將式(14)展開(kāi)，得

(15)

由于Tλk僅僅對(duì)噪聲n進(jìn)行閾值約束，而不對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)b約束，則式(15)變?yōu)?/p>

(16)

式(16)為最終的L1范數(shù)約束的非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸迭代公式。由于采用共軛梯度類算法求解L2范數(shù)整形正則化約束的非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸公式(式(9))，因此在式(16)中可以直接用線性共軛梯度迭代幾次后的結(jié)果代替GT，即

bk+1=GTd-GTnk=GT(d-nk)≈G-1(d-nk)

(17)

1.3 稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸算法描述

通過(guò)上述分析，可以得到稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸的具體實(shí)現(xiàn)算法。

(1)設(shè)置迭代初始值。設(shè)初始噪聲n0=0，初始系數(shù)b0=0，P為多項(xiàng)式，非線性最大迭代次數(shù)為K，共軛梯度線性迭代次數(shù)為L(zhǎng)。

(2)設(shè)非線性迭代次數(shù)k為1～K，計(jì)算bk+1=G-1(d-nk)。值得注意的是，具體實(shí)現(xiàn)是利用整形正則化約束共軛梯度算法實(shí)現(xiàn)的[19]，其求解為線性算法，最大線性共軛梯度迭代次數(shù)為L(zhǎng)。

(3)計(jì)算nk+1=Tλi(d-Gbk)。即將殘差做閾值處理，以滿足殘差噪聲服從稀疏分布，解決擬合殘差中含有強(qiáng)稀疏分布噪聲的問(wèn)題。

(4)重復(fù)步驟(2)、步驟(3)。迭代終止條件可以通過(guò)最大迭代次數(shù)K控制，也可以通過(guò)約束殘差的能量控制，在實(shí)際應(yīng)用中前者更方便。

1.4 稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸關(guān)鍵參數(shù)分析

在稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸算法流程中，整形正則化平滑參數(shù)和閾值參數(shù)是較重要的2個(gè)參數(shù)。正則化平滑參數(shù)控制多項(xiàng)式系數(shù)的平滑性，它是非平穩(wěn)系數(shù)估計(jì)的重要度量。平滑參數(shù)設(shè)置越大，求取的多項(xiàng)式系數(shù)越平滑，則多項(xiàng)式回歸系數(shù)隨自變量變化不大、越平穩(wěn)；平滑參數(shù)設(shè)置越小，說(shuō)明多項(xiàng)式系數(shù)時(shí)變性強(qiáng)、非平穩(wěn)性越強(qiáng)。

閾值參數(shù)是稀疏約束反演的重要參數(shù)之一，閾值一般分為軟閾值和硬閾值。軟閾值的形式為

(18)

硬閾值的形式為[22]

(19)

閾值參數(shù)λk有不同的選取方式，如常數(shù)閾值、線性下降閾值、指數(shù)下降閾值等[25-26]，本文采用容易實(shí)現(xiàn)且收斂較快的百分比閾值[27]。

2 理論模型算例

圖1為含非隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的平穩(wěn)、非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸結(jié)果。由圖可見(jiàn)：①含有非高斯分布噪聲的散點(diǎn)(圖1a)是在直線y=b0+b1x上加隨機(jī)噪聲和稀疏分布的野值得到的，基本符合直線y=b0+b1x分布，但是在x∈[25,40]時(shí)存在強(qiáng)野值噪聲，這些噪聲偏離了直線，且不符合隨機(jī)分布。②由于L2范數(shù)約束的平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸結(jié)果(圖1b紅線)存在野值，導(dǎo)致回歸直線向上方偏離，這是因?yàn)樵诨貧w過(guò)程中引入了遠(yuǎn)離真解的采樣點(diǎn)所致；采用L1范數(shù)稀疏約束的平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸結(jié)果較理想(圖1b黑線)，這是由于在L1范數(shù)約束下假設(shè)回歸殘差符合稀疏分布。③對(duì)比L2范數(shù)和L1范數(shù)回歸結(jié)果表明，L1范數(shù)更好地處理了含有稀疏分布噪聲的情況(圖1c黑線)。

為了測(cè)試非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸效果，設(shè)計(jì)了一條曲線，并在該曲線上加隨機(jī)噪聲和稀疏分布的噪聲(圖2a)。圖2為含非隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸結(jié)果。由圖可見(jiàn)：①平穩(wěn)回歸(即直線)考慮了所有點(diǎn)的影響，并且呈直線分布(圖2b紅線)；L2范數(shù)約束非平穩(wěn)回歸(圖2b粉線)考慮了曲線的時(shí)變特征，在x∈[0,20]時(shí)由于不存在稀疏分布的噪聲，回歸效果較好，但是在x∈[20,45]時(shí)存在稀疏分布的噪聲，回歸效果變差，表明異常值干擾了回歸結(jié)果。②對(duì)比不同回歸方法結(jié)果的絕對(duì)誤差發(fā)現(xiàn)，對(duì)于含有稀疏分布噪聲的情況，L1范數(shù)約束非平穩(wěn)回歸擬合的曲線絕對(duì)誤差最小(圖2c黑線)。

圖1 含非隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的平穩(wěn)多項(xiàng)式(y=b0+b1x)回歸結(jié)果(a)含有非高斯分布噪聲的散點(diǎn)； (b)回歸結(jié)果； (c)回歸曲線與真實(shí)曲線(不含噪聲)的絕對(duì)誤差紅線代表L2范數(shù)約束，黑線代表L1范數(shù)稀疏約束

圖2 含非隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)多項(xiàng)式(y=b0(x)+b1(x)x)回歸結(jié)果(a)含有非高斯分布噪聲的散點(diǎn)； (b)回歸結(jié)果； (c)回歸曲線與真實(shí)曲線(不含噪聲)的絕對(duì)誤差紅線代表L2范數(shù)約束平穩(wěn)回歸，粉線代表L2范數(shù)約束非平穩(wěn)回歸，黑線代表L1范數(shù)稀疏約束非平穩(wěn)回歸

3 地震數(shù)據(jù)處理算例

3.1 地震CMP道集數(shù)據(jù)去噪

動(dòng)校正后CMP道集上某一反射點(diǎn)的反射系數(shù)曲線(AVO曲線)可以通過(guò)多項(xiàng)式近似表示[28]。薛亞茹等[14]探討了多項(xiàng)式變換壓制CMP道集隨機(jī)噪聲的方法； Liu等[23]將其擴(kuò)展到非平穩(wěn)多項(xiàng)式的情形，研究了非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸CMP道集去噪方法。上述方法在噪聲呈隨機(jī)分布時(shí)去噪效果較好，但如果存在稀疏分布的噪聲，如陸地地震數(shù)據(jù)的強(qiáng)野值噪聲、海洋地震數(shù)據(jù)的涌浪噪聲等，L2范數(shù)約束的非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸不再適用。圖3為含強(qiáng)稀疏分布噪聲的CMP道集非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸去噪結(jié)果。由圖可見(jiàn)： ①動(dòng)校正后的CMP道集中存在強(qiáng)稀疏分布噪聲及隨機(jī)噪聲(圖3a)； ②L2范數(shù)約束去噪效果欠佳(圖3b)，L1范數(shù)約束去噪效果很好(圖3c)； ③L2范數(shù)約束去除的噪聲呈隨機(jī)分布(圖3d)，強(qiáng)噪聲“平均”影響了周圍信號(hào)，L1范數(shù)約束去除的噪聲中強(qiáng)噪聲基本呈稀疏分布(圖3e)。

圖4為不同方法去噪結(jié)果在旅行時(shí)為4.5s時(shí)刻的振幅。由圖可見(jiàn)：在強(qiáng)稀疏噪聲處(箭頭處)，L2范數(shù)約束方法去噪結(jié)果的振幅與原始數(shù)據(jù)不一致，L1范數(shù)約束方法去噪結(jié)果幾乎摒棄了強(qiáng)振幅的影響；在沒(méi)有強(qiáng)噪聲處(如50～80道處)，L1范數(shù)約束和L2范數(shù)約束的去噪結(jié)果幾乎一致，這是由于在回歸過(guò)程中充分考慮了非平穩(wěn)特征所致。

圖3 含強(qiáng)稀疏分布噪聲的CMP道集非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸去噪效果(a)含噪CMP道集； (b)L2范數(shù)約束去噪結(jié)果； (c)L1范數(shù)稀疏約束去噪結(jié)果； (d)L2范數(shù)約束去除的噪聲； (e)L1范數(shù)約束去除的噪聲

圖4 不同方法去噪結(jié)果在旅行時(shí)為4.5s時(shí)刻的振幅黑線為原始數(shù)據(jù)，紅線為L(zhǎng)2范數(shù)約束去噪結(jié)果，藍(lán)線為L(zhǎng)1范數(shù)約束去噪結(jié)果

3.2 地震初至自動(dòng)拾取

地震初至拾取對(duì)建立近地表地震速度模型和靜校正非常重要，當(dāng)前有很多初至拾取方法，其中能量比法是較常用的方法之一[29-32]，該方法計(jì)算滑動(dòng)窗口內(nèi)能量與累計(jì)能量的比值

(20)

式中：Ai為地震振幅；l為滑動(dòng)窗口長(zhǎng)度。可以看出，能量比值Rj的第1個(gè)峰值在前幾個(gè)采樣點(diǎn)，因?yàn)樵谇皫讉€(gè)采樣點(diǎn)累計(jì)能量與滑動(dòng)窗口內(nèi)能量差別不大。能量比值的第2個(gè)峰值一般對(duì)應(yīng)初至[29]，但是當(dāng)存在噪聲時(shí)，較難拾取第2個(gè)峰值，尤其存在強(qiáng)野值噪聲時(shí)拾取更不準(zhǔn)確。因此，考慮采用稀疏約束多項(xiàng)式回歸方法處理強(qiáng)野值噪聲。

圖5為模擬的炮記錄及能量比。由圖可見(jiàn)：假設(shè)炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)不在一條直線上，因此模擬的炮記錄的初至是一條雙曲線(圖5a)；為了測(cè)試方法的有效性，在模擬炮記錄上加隨機(jī)噪聲和強(qiáng)稀疏分布噪聲(箭頭所示)，強(qiáng)稀疏分布噪聲導(dǎo)致能量比第2個(gè)峰值與初至?xí)r刻差距較大(圖5b)，因此難以自動(dòng)拾取初至。圖6為不同方法自動(dòng)拾取的初至對(duì)比。由圖可見(jiàn)，噪聲的存在使自動(dòng)拾取的第2個(gè)峰值(粉色線)與真實(shí)初至?xí)r刻有一定誤差，尤其對(duì)于稀疏噪聲存在的位置，獲得的初至結(jié)果不精確。分別利用自動(dòng)拾取的初至位置進(jìn)行L2范數(shù)和L1范數(shù)約束的非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸發(fā)現(xiàn)：前者的初至更平滑，但是異常抖動(dòng)也嚴(yán)重影響了L2范數(shù)回歸結(jié)果；后者通過(guò)稀疏約束減小了稀疏分布野值噪聲的影響，提高了初至拾取精度。

圖5 模擬的炮記錄(a)及能量比(b)

圖6 不同方法自動(dòng)拾取的初至對(duì)比粉線為自動(dòng)拾取能量比的第2個(gè)峰值得到的初至，綠線為L(zhǎng)2范數(shù)非平穩(wěn)回歸得到的初至，藍(lán)線為L(zhǎng)1范數(shù)非平穩(wěn)回歸得到的初至

在VSP數(shù)據(jù)處理中，初至拾取是非常重要的一步，利用初至信息可以直接求取速度、衰減參數(shù)及進(jìn)行靜校正等處理。圖7為VSP數(shù)據(jù)及能量比。由圖可見(jiàn)： 在井源距大于0.5km處存在一些噪聲，導(dǎo)致能量比法初至拾取效果不好(圖7b)； 通過(guò)非平穩(wěn)回歸可以改善初至拾取精度，尤其采用L1范數(shù)約束的非平穩(wěn)回歸(圖7a的紅線)基本可以消除噪聲影響，可以獲得較可靠的初至。

圖8、圖9分別為陸地地震數(shù)據(jù)及其滑動(dòng)時(shí)窗能量比剖面。由圖可見(jiàn)，由于實(shí)際數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，自動(dòng)拾取的初至效果不理想(圖8箭頭處)，經(jīng)L1范數(shù)約束的非平穩(wěn)回歸改善了初至拾取效果(圖8紅線)。

圖7 VSP數(shù)據(jù)(a)及能量比(b)黃線為能量比直接拾取的初至，綠線為L(zhǎng)2范數(shù)拾取的初至，紅線為L(zhǎng)1范數(shù)拾取的初至

圖8 陸地地震數(shù)據(jù)最大炮檢距為3km，共100炮。黃線為能量比直接拾取的初至，綠線為L(zhǎng)2范數(shù)拾取的初至，紅線為L(zhǎng)1范數(shù)拾取的初至。上為時(shí)間切片，左下為共炮點(diǎn)道集，右下為共炮檢距剖面

圖9 對(duì)應(yīng)圖8的滑動(dòng)時(shí)窗能量比剖面

圖10為常規(guī)初至拾取結(jié)果、稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸初至拾取結(jié)果。由圖可見(jiàn)： ①遠(yuǎn)炮檢距處由于信號(hào)較弱，信噪比低，兩種方法拾取的初至均存在異常點(diǎn)，但稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸拾取的初至更平滑(圖10b)。②近炮檢距處由于存在野值等噪聲導(dǎo)致常規(guī)初至拾取結(jié)果存在異常值，效果較差(圖10a)；稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸摒棄了稀疏分布噪聲的影響，初至拾取結(jié)果穩(wěn)定、可靠(圖10b)。

需要說(shuō)明的是，稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸的初至拾取誤差由不規(guī)則稀疏分布噪聲引起，對(duì)地表高程變化劇烈或采樣不規(guī)則引起的初至劇烈抖動(dòng)，初至拾取效果會(huì)受到影響。

圖10 常規(guī)初至拾取結(jié)果(a)、稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸初至拾取結(jié)果(b)

4 討論與結(jié)論

(1)針對(duì)地震數(shù)據(jù)非平穩(wěn)特征及噪聲稀疏分布問(wèn)題，在稀疏約束反問(wèn)題正則化理論框架下，提出了稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸方法，并用于地震噪聲壓制和初至拾取。該方法采用整形正則化和L1范數(shù)聯(lián)合約束策略，利用共軛梯度和投影算法求解聯(lián)合約束反問(wèn)題，同時(shí)估計(jì)具有時(shí)變光滑特征的多項(xiàng)式回歸系數(shù)和具有稀疏分布特征的回歸殘差，克服了稀疏分布強(qiáng)噪聲對(duì)反演的影響。

(2)整形正則化平滑參數(shù)和閾值參數(shù)是稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸方法的兩個(gè)重要參數(shù)。正則化平滑參數(shù)控制多項(xiàng)式系數(shù)的平滑性，參數(shù)越小表明參數(shù)非平穩(wěn)特征越強(qiáng)；閾值參數(shù)選取與噪聲的稀疏特征有關(guān)，本文采用容易實(shí)現(xiàn)且收斂較快的百分比閾值參數(shù)。

(3)與常規(guī)的多項(xiàng)式回歸相比，稀疏約束非平穩(wěn)多項(xiàng)式回歸方法計(jì)算量略大，但由于數(shù)據(jù)處理過(guò)程中一般采用一維多項(xiàng)式回歸，因此計(jì)算量在可接受范圍內(nèi)。