飛行器多學(xué)科耦合伴隨體系的現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)

黃江濤，劉剛，高正紅，周鑄，陳作斌，江雄

1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，綿陽 621000 2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安 710072

伴隨高性能計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值優(yōu)化設(shè)計(jì)將在未來飛行器研發(fā)中扮演著越來越重要的角色，數(shù)值優(yōu)化的基礎(chǔ)科學(xué)研究和關(guān)鍵技術(shù)各項(xiàng)環(huán)節(jié)不斷進(jìn)展、突破，對(duì)民用飛機(jī)、作戰(zhàn)飛機(jī)乃至航天類飛行器的研制過程起到積極的變革性的作用，各個(gè)學(xué)科的耦合程度將越來越高，學(xué)科級(jí)之間的協(xié)同優(yōu)化、仿真技術(shù)作為重要角色登上了裝備研發(fā)的歷史舞臺(tái)。國(guó)內(nèi)外著名研發(fā)機(jī)構(gòu)如美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)、德國(guó)宇航局(DLR)、荷蘭國(guó)家航空航天實(shí)驗(yàn)室(NLR)、日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)(JAXA)等均在多學(xué)科協(xié)同數(shù)值優(yōu)化、仿真分析方面投入了大量的人力物力，并在應(yīng)用方面進(jìn)行了大量嘗試與驗(yàn)證。

多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)研究中采用的優(yōu)化算法可以分為梯度[1-5]和非梯度類[6-12]兩個(gè)方向，兩類方法各有所長(zhǎng)。基于伴隨方法的梯度類是近年來較為熱門的研究方向，基于伴隨方程的梯度優(yōu)化以其獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)，在氣動(dòng)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用，也是國(guó)內(nèi)外空氣動(dòng)力學(xué)研究機(jī)構(gòu)一個(gè)重要的研究方向[13-17]，而基于交叉學(xué)科變分思想的多學(xué)科伴隨優(yōu)化方法也開始在工程領(lǐng)域發(fā)揮重要作用[18-24]。例如考慮氣動(dòng)彈性變形的柔性機(jī)翼設(shè)計(jì)，若采用基于差分的梯度優(yōu)化以及進(jìn)化算法開展多學(xué)科多目標(biāo)優(yōu)化，其計(jì)算量非常龐大，甚至難以忍受，設(shè)計(jì)效率極為低下。此時(shí)基于多學(xué)科耦合伴隨靈敏度分析的優(yōu)化方法在綜合設(shè)計(jì)上具有更加突出的優(yōu)勢(shì)。不僅如此，在氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)、電磁、聲學(xué)、紅外、能量管理等與飛行器設(shè)計(jì)息息相關(guān)的學(xué)科，多學(xué)科耦合伴隨方法也具有較大的發(fā)展?jié)摿?。由于多學(xué)科耦合伴隨方法具有優(yōu)化代價(jià)小，梯度計(jì)算量與各個(gè)學(xué)科設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)基本無關(guān)等優(yōu)點(diǎn)，且通過耦合伴隨方程的求解能夠快速計(jì)算出各個(gè)學(xué)科關(guān)心的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)對(duì)各學(xué)科設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，倍受研究人員與工程師的關(guān)注與喜愛，該方法必將在未來多學(xué)科優(yōu)化領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。

本文對(duì)多學(xué)耦合伴隨優(yōu)化方法研究進(jìn)展、應(yīng)用現(xiàn)狀進(jìn)行詳細(xì)總結(jié)、歸納，對(duì)飛行器氣動(dòng)外形綜合設(shè)計(jì)涉及的典型學(xué)科變分/耦合變分/關(guān)鍵環(huán)節(jié)的變分推導(dǎo)、耦合伴隨方程的求解以及應(yīng)用存在的難點(diǎn)進(jìn)行深入分析，并進(jìn)一步提出了耦合伴隨方程幾項(xiàng)值得關(guān)注的技術(shù)方向及發(fā)展趨勢(shì)。希望能夠?yàn)槎鄬W(xué)科耦合伴隨方法的研究人員提供有價(jià)值的參考，促進(jìn)國(guó)內(nèi)航空航天飛行器多學(xué)科協(xié)同數(shù)值優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展。

1 離散伴隨方程求解梯度基本原理

對(duì)于任意學(xué)科，這里的學(xué)科可以是流體、結(jié)構(gòu)、噪聲、電磁、熱力學(xué)分析等，其對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)的最小化優(yōu)化問題[25]為

(1)

在學(xué)科殘差R(W,X,D)=0約束條件下，引入拉格朗日算子可以構(gòu)造以下目標(biāo)函數(shù)：

L=I+ΛTR

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行求導(dǎo)可得

(3)

(4)

式(4)就是各個(gè)學(xué)科對(duì)應(yīng)的伴隨方程，通過求解Λ之后，則可進(jìn)行各個(gè)學(xué)科對(duì)設(shè)計(jì)變量的梯度信息快速求解，即

(5)

(6)

可以看出，伴隨方程實(shí)質(zhì)是對(duì)學(xué)科分析及其對(duì)應(yīng)的物理場(chǎng)進(jìn)行變分，通過鏈?zhǔn)角髮?dǎo)進(jìn)行靈敏度求解，其根本目的是避免學(xué)科分析大規(guī)模迭代、直接求解問題帶來的靈敏度分析計(jì)算量，消除靈敏度分析計(jì)算量與設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)的關(guān)系，其計(jì)算量最終僅與目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)相關(guān)。

實(shí)際上，上述伴隨算子既可以是單學(xué)科伴隨算子，也可以是多學(xué)科伴隨算子，對(duì)應(yīng)的殘差同樣也可以是多學(xué)科約束，采用相同方式進(jìn)行伴隨方程推導(dǎo)，可以得到多學(xué)科耦合伴隨方程。

2 學(xué)科離散伴隨方法研究現(xiàn)狀

從目前的研究成果來看，在飛行器氣動(dòng)外形綜合設(shè)計(jì)領(lǐng)域，基于流場(chǎng)伴隨方程的優(yōu)化是最活躍的一個(gè)分支，而對(duì)于結(jié)構(gòu)、電磁、噪聲等學(xué)科伴隨研究較少，這里面的一個(gè)重要原因是某些特殊學(xué)科獨(dú)立伴隨優(yōu)化在飛行器設(shè)計(jì)領(lǐng)域工程應(yīng)用中價(jià)值不大，例如結(jié)構(gòu)伴隨方程單獨(dú)優(yōu)化無法兼顧氣動(dòng)結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)要求。

2.1 流場(chǎng)伴隨優(yōu)化在內(nèi)外流動(dòng)優(yōu)化問題中的應(yīng)用

伴隨優(yōu)化在外部流動(dòng)優(yōu)化問題中的應(yīng)用較多，主要應(yīng)用于機(jī)翼、增升裝置、整流罩等氣動(dòng)外形優(yōu)化。由于該項(xiàng)技術(shù)求解梯度信息的工作量幾乎與設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)無關(guān)，因此，倍受CFD研究人員以及氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究人員的重視。其中，離散伴隨方程與Navier-Stokes方程清晰的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，具有實(shí)現(xiàn)起來比較方便、梯度信息更為準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)。流場(chǎng)伴隨方法的核心工作是組裝流場(chǎng)殘差對(duì)守恒變量的雅克比矩陣：

(7)

依賴于伴隨方程的求解方式，該矩陣的處理主要有兩種形式，直接全矩陣組裝存儲(chǔ)、結(jié)合伴隨變量乘積形式存儲(chǔ)；雅克比矩陣處理完畢后，對(duì)于不同目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，僅需改動(dòng)右端項(xiàng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)狀態(tài)變量的變分表達(dá)式：

(8)

該項(xiàng)一般作為源項(xiàng)形式加入通量表達(dá)式或方程組右端。

邊界條件處理方式也分為源項(xiàng)形式[1]以及邊界雅克比矩陣形式[25]。對(duì)于內(nèi)外流問題，矩陣形式的流場(chǎng)伴隨方程只需要改變邊界條件變分雅克比矩陣表達(dá)式, 即

(9)

式中:E、MBC分別對(duì)應(yīng)單位矩陣以及邊界條件矩陣?？梢钥闯?，離散伴隨無黏項(xiàng)的不同邊界條件變分，只需替換對(duì)應(yīng)邊界條件矩陣MBC，對(duì)于實(shí)現(xiàn)不同邊界類型以及內(nèi)外流伴隨之間的轉(zhuǎn)換、匹配以及模塊化編程十分有利。由于離散伴隨無黏項(xiàng)的主導(dǎo)作用，該項(xiàng)邊界條件處理很大程度直接影響梯度的計(jì)算精度。

離散伴隨方法在梯度優(yōu)化研究領(lǐng)域最受關(guān)注，也是國(guó)內(nèi)外空氣動(dòng)力學(xué)研究機(jī)構(gòu)重點(diǎn)發(fā)展的研究方向。世界上大多數(shù)知名空氣動(dòng)力學(xué)研究機(jī)構(gòu)均基于自身研發(fā)的大型并行CFD計(jì)算代碼發(fā)展了離散伴隨優(yōu)化平臺(tái)，例如NASA Langley研究中心采用手工推導(dǎo)方式建立了非結(jié)構(gòu)化求解器FUN3D的離散伴隨優(yōu)化平臺(tái)[14]；德國(guó)宇航局基于結(jié)構(gòu)化求解器Flower、非結(jié)構(gòu)化求解器TAU發(fā)展了離散伴隨優(yōu)化平臺(tái)[15]，法國(guó)宇航院基于CFD代碼elsA開發(fā)了離散伴隨優(yōu)化[16],英國(guó)謝菲爾德大學(xué)[17]開展了基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的并行離散伴隨優(yōu)化。實(shí)際推廣應(yīng)用方面也開展了系列研究，NASA的 Liou和Kim[26]使用伴隨方法在考慮動(dòng)力條件下開展了飛翼布局一體化優(yōu)化工作，取得了明顯的減阻效果；Vincent和Siva[27]基于離散伴隨方法開展了B747機(jī)翼氣動(dòng)設(shè)計(jì)；密歇根大學(xué)的Lyu等[28]基于離散伴隨方法，針對(duì)CRM寬體飛機(jī)標(biāo)模機(jī)翼氣動(dòng)優(yōu)化開展了大量研究，取得了較好的優(yōu)化結(jié)果；如圖1～圖3所示。

國(guó)外在內(nèi)流伴隨優(yōu)化方向也取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展，尤其在進(jìn)氣道、壓氣機(jī)葉片優(yōu)化方面成績(jī)斐然。NASA的 Lee和Liu[29]基于伴隨方法開展了BLI(Boundary-Layer-Ingestion)進(jìn)氣道優(yōu)化，減小了50%流場(chǎng)畸變特性，提高了3%的總壓恢復(fù)系數(shù)；首爾國(guó)立大學(xué)的Yi和Kim[30]基于伴隨方法開展了S彎進(jìn)氣道渦流發(fā)生器優(yōu)化，在保持總壓恢復(fù)性能的同時(shí)，降低了流場(chǎng)畸變；斯坦福大學(xué)Heather和Francisco[31]基于伴隨方法對(duì)高超聲速進(jìn)氣道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，表現(xiàn)出較高的優(yōu)化設(shè)計(jì)效率；Heath和Gray[32]基于伴隨方法與自由變形技術(shù)開展了噴管優(yōu)化；麥吉爾大學(xué)Benjamin和Siva[33]基于離散伴隨方法進(jìn)行了多級(jí)壓氣機(jī)優(yōu)化，在保證總壓比的條件下提高了等熵效率；圖4～圖8給出了內(nèi)流伴隨優(yōu)化的典型應(yīng)用。

圖1 飛翼布局帶動(dòng)力一體化設(shè)計(jì)[29]Fig.1 Integrated design of flying wing configuration with power[29]

圖2 波音747機(jī)翼優(yōu)化設(shè)計(jì)前后對(duì)比[30]Fig.2 Comparison of initial and optimized configurations of Boeing 747 wing [30]

國(guó)內(nèi)在離散伴隨方程求解器自主研發(fā)方面也取得了一定的進(jìn)展，尤其在外流優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，已應(yīng)用于實(shí)際工程型號(hào)。西北工業(yè)大學(xué)左英桃等基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格求解器開展了M6機(jī)翼離散伴隨優(yōu)化[34]；熊俊濤等[35]基于顯式時(shí)間推進(jìn)實(shí)現(xiàn)了離散伴隨方程的求解；屈崑等利用Tapenade自動(dòng)微分工具進(jìn)行通量變分，按照矩陣模式組裝到全局稀疏矩陣，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)CFD的伴隨方程求解[36]；南京航空航天大學(xué)高宜勝等基于非結(jié)構(gòu)求解器進(jìn)行了翼型離散伴隨無黏優(yōu)化[37]；中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心李彬等基于非結(jié)構(gòu)求解器實(shí)現(xiàn)了離散伴隨優(yōu)化平臺(tái)的開發(fā)[38]；本文作者基于并行化結(jié)構(gòu)網(wǎng)格求解器實(shí)現(xiàn)了全機(jī)離散伴隨優(yōu)化[39]；圖9～圖12給出了國(guó)內(nèi)外流伴隨優(yōu)化在典型飛行器氣動(dòng)設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用。

內(nèi)流優(yōu)化方面，基于伴隨方程的氣動(dòng)外形靈敏度分析優(yōu)化主要集中在進(jìn)氣道、尾噴管、壓氣機(jī)葉片設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，也是近年來十分活躍、應(yīng)用潛力較大的研究方向。本文作者[25,40]基于邊界變分形式實(shí)現(xiàn)了超聲速無附面層隔道進(jìn)氣道總壓恢復(fù)系數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析與驗(yàn)證，并分析了動(dòng)力效應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量靈敏度的影響，進(jìn)一步開展了BLI進(jìn)氣道DC60穩(wěn)態(tài)畸變伴隨優(yōu)化；北京理工大學(xué)宋紅超等[41]基于離散伴隨方法進(jìn)行了單邊膨脹噴管的優(yōu)化，提高了噴管推力系數(shù)；西安交通大學(xué)張朝磊等基于離散伴隨理論和自動(dòng)微分技術(shù)構(gòu)建離散伴隨優(yōu)化平臺(tái)，應(yīng)用于透平葉柵的氣動(dòng)優(yōu)化[42]，優(yōu)化后透平葉柵進(jìn)出口熵增率減少8.82%；航空工業(yè)集團(tuán)航空動(dòng)力機(jī)械研究所唐方明等[43]進(jìn)行了排間界面靜壓約束伴隨方法的多級(jí)壓氣機(jī)葉片優(yōu)化，解決了伴隨優(yōu)化應(yīng)用在多級(jí)壓氣機(jī)中出現(xiàn)的優(yōu)化工況點(diǎn)漂移問題，提高了5級(jí)壓氣機(jī)效率；吉林大學(xué)劉浩等[44]基于伴隨方法進(jìn)行了葉片三維氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)，清華大學(xué)馬燦等[45]采用諧波平衡法高效求解非定常流場(chǎng)和非定常伴隨場(chǎng)，開展了單級(jí)壓氣機(jī)非定常伴隨優(yōu)化；西北工業(yè)大學(xué)劉峰等[46]基于黏性伴隨方法開展了低展弦比渦輪壓氣機(jī)葉片多點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)；圖13～圖20給出了國(guó)內(nèi)內(nèi)流伴隨優(yōu)化、內(nèi)外流一體化伴隨優(yōu)化的典型應(yīng)用。

圖3 CRM標(biāo)準(zhǔn)模型單點(diǎn)、多點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)比[31]Fig.3 Comparison of single-point and multi-point optimization design of CRM standard model [31]

圖4 BLI進(jìn)氣道優(yōu)化[32]Fig.4 BLI inlet optimization [32]

圖5 基于伴隨方法進(jìn)氣道渦流發(fā)生器優(yōu)化[33]Fig.5 Inlet vortex generator optimization based on adjoint method [33]

圖6 基于伴隨方法的高超聲速進(jìn)氣道設(shè)計(jì)[34]Fig.6 Hypersonic inlet design based on adjoint method [34]

圖7 基于伴隨方法的超聲速噴管設(shè)計(jì)[35]Fig.7 Supersonic nozzle design based on adjoint method[35]

圖8 基于伴隨方法的多級(jí)壓氣機(jī)設(shè)計(jì)[37]Fig.8 Multistage compressor design based on adjoint method [37]

圖9 基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格翼身組合體離散伴隨氣動(dòng)優(yōu)化[26]Fig.9 Discrete adjoint aerodynamic optimization of wing-body assembly based on unstructured grid [26]

圖10 全機(jī)第一伴隨變量云圖[25]Fig.10 First adjoint variable contour of aircraft[25]

圖11 FFD參數(shù)化[39]Fig.11 FFD parameterization [39]

圖12 機(jī)翼機(jī)身平尾立尾離散伴隨氣動(dòng)優(yōu)化Fig.12 Discrete adjoint aerodynamic optimization of wing-body-tail configuration

圖13 進(jìn)氣道參數(shù)化[25]Fig.13 Inlet parameterization [25]

圖14 進(jìn)氣道總壓恢復(fù)靈敏度驗(yàn)證[25]Fig.14 Validation of total pressure recovery sensitivity of inlet [25]

圖15 BLI進(jìn)氣道DC60伴隨優(yōu)化Fig.15 Adjoint optimization for BLI inlet DC60

圖16 機(jī)體-推進(jìn)系統(tǒng)一體化參數(shù)化 [40]Fig.16 Integrated parameterization of airframe-propulsion system [40]

圖17 機(jī)體-推進(jìn)系統(tǒng)一體化伴隨方程求解與靈敏度驗(yàn)證[40]Fig.17 Verification of sensitivity of adjoint equation for airframe-propulsion system [40]

圖18 尾噴管伴隨優(yōu)化云圖[41]Fig.18 Tail nozzle contour based on adjoint optimization [41]

圖19 壓氣機(jī)伴隨優(yōu)化前后馬赫數(shù)云圖[43]Fig.19 Mach number contour of compressor before and after concomitant optimization[43]

圖20 低展弦比渦輪壓氣機(jī)葉片多點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)[46]Fig.20 Multi-point optimization design of low aspect ratio turbine compressor blades [46]

2.2 電磁散射伴隨方程

雷達(dá)散射截面(Radar Cross Section, RCS)反映了物體在給定方向上對(duì)入射雷達(dá)波散射的強(qiáng)弱，是衡量飛機(jī)隱身性能的重要指標(biāo)。考慮隱身的飛行器設(shè)計(jì)常以減小RCS作為隱身設(shè)計(jì)的主要目標(biāo),現(xiàn)有飛行器氣動(dòng)外形隱身設(shè)計(jì)研究中多采用幾何光學(xué)法(GO)、物理光學(xué)法(PO)、幾何繞射理論(GTD)、物理繞射理論(PDT)等高頻近似算法評(píng)估散射體的RCS,高頻算法根據(jù)高頻場(chǎng)的局部性原理，僅根據(jù)入射場(chǎng)獨(dú)立地近似確定表面感應(yīng)電流[47]，計(jì)算速度快，所需內(nèi)存小。但高頻算法的理論模型粗糙，近似過程中會(huì)忽略一些關(guān)鍵部件間的重要電磁耦合關(guān)系，在處理電大尺寸和細(xì)節(jié)上電小尺寸并存的復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)精度較低[48-49]。

飛行器隱身性能與其外形密切相關(guān)，設(shè)計(jì)中需解決隱身與氣動(dòng)之間的矛盾。基于梯度的優(yōu)化算法效率較高，其關(guān)鍵在于如何高效、精確地取得梯度信息。矩量法從電磁積分方程(Stratton-Chu方程)出發(fā)，將感應(yīng)電流展開成基函數(shù)的有限級(jí)數(shù)，形成線性方程組，通過求解表面感應(yīng)電流分布獲得散射場(chǎng)。矩量法可以精確求解三維復(fù)雜外形目標(biāo)的電磁散射，隨著高性能計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，矩量法逐漸成為飛行器隱身設(shè)計(jì)中重要的電磁分析手段。伴隨方法可以通過求解伴隨方程，由兩次線性方程組求解得到目標(biāo)關(guān)于所有設(shè)計(jì)變量的梯度，顯著減小計(jì)算量，為矩量法在飛行器隱身設(shè)計(jì)的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。Natalia[50-51]將伴隨方法引入矩量法，推導(dǎo)了矩量法伴隨方程的形式，并對(duì)天線陣列的輸入阻抗進(jìn)行了優(yōu)化，取得了顯著的效果。

然而，從公開發(fā)表文獻(xiàn)上看，國(guó)內(nèi)外在飛行器氣動(dòng)隱身一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)方面應(yīng)用較少，國(guó)內(nèi)周琳和本文作者[52]將該方法應(yīng)用于飛行器隱身特性靈敏度分析，為氣動(dòng)隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了技術(shù)基礎(chǔ)。

矩量法[53]的本質(zhì)為求解線性方程組ZI=V，在伽略金法條件下，采用RWG(Rao-Wilton-Glisson)基函數(shù)檢測(cè)電場(chǎng)積分方程，即

(10)

整理成矩陣形式為

ZI=V

式中：阻抗元素和激勵(lì)項(xiàng)的表達(dá)式為

采用第1部分推導(dǎo)方法可得矩量法方程的伴隨方程：

(11)

則基于伴隨方法的目標(biāo)梯度的求解方法為

(12)

圖21和圖22分別給出了基于矩量法(MoM)的電流分布數(shù)值模擬以及基于矩量法伴隨方程的靈敏度求解校核，精度滿足工程需求，相對(duì)于有限差分計(jì)算，電磁伴隨求解將靈敏度計(jì)算效率提高了100倍以上，且隨著入射電磁波頻率的增加，這種加速效果更加明顯。

圖21 1024核心并行電磁散射數(shù)值模擬Fig.21 Numerical simulation of 1024 core parallel electromagnetic scattering

圖22 某外形0°～180°照射角靈敏度驗(yàn)證Fig.22 Verification of sensitivity at different incident angles 0°-180°

然而，從目前計(jì)算機(jī)條件來看，盡管基于矩量法電磁伴隨求解靈敏度相對(duì)于有限差分效率有了大幅度提升，仍然面臨兩個(gè)問題。與正問題一樣，基于矩量法的電磁伴隨方程求解面臨存儲(chǔ)瓶頸；不僅如此，即便是伴隨方程求解完畢，利用式(12)進(jìn)行梯度信息求解時(shí)，電流分布保持不變不需要再迭代，仍然需要針對(duì)幾何擾動(dòng)進(jìn)行阻抗矩陣裝配。本文作者曾做過測(cè)試，對(duì)于C波段電磁散射問題(飛行器展長(zhǎng)16 m量級(jí))，256核并行條件下，阻抗矩陣組裝仍耗時(shí)30 s，也就是說，基于式(12)進(jìn)行梯度求解單個(gè)耗時(shí)30 s，對(duì)于200個(gè)設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)問題，除去伴隨方程求解時(shí)間，靈敏度求解也要耗掉1.66 h，這也是計(jì)算效率值得關(guān)注的問題。該兩方面因素對(duì)計(jì)算機(jī)配置要求較高，一定程度限制了矩量法電磁伴隨優(yōu)化在電大尺寸問題中的應(yīng)用。

針對(duì)該問題本文基于多層快速多極子算法(MLFMA)開展了伴隨方程構(gòu)造以及梯度計(jì)算研究，大幅度降低了內(nèi)存需求，提高了梯度求解效率，取得了較好的加速效果，并通過典型導(dǎo)彈外形進(jìn)行驗(yàn)證，如圖23及表1所示，為進(jìn)一步開展基于高可信度雷達(dá)隱身優(yōu)化提供高效的靈敏度分析平臺(tái)。

圖23 MLFMA的梯度校核Fig.23 Gradient validation of MLFMA

表1 矩量法與MLFMA效率對(duì)比Table 1 Comparison of efficiency of MoM and MLFMA

2.3 噪聲伴隨方程

噪聲問題是飛行器氣動(dòng)設(shè)計(jì)解決的主要問題之一，對(duì)于民用飛機(jī)的適航認(rèn)證、作戰(zhàn)飛機(jī)的戰(zhàn)場(chǎng)隱蔽性起到關(guān)鍵作用，鑒于計(jì)算量龐大，當(dāng)前工程中的噪聲分析優(yōu)化大多數(shù)基于近場(chǎng)/輻射傳播模型混合計(jì)算方法[54-56]進(jìn)行。

目前噪聲伴隨方程的研究工作主要針對(duì)低速流動(dòng)問題以及超聲速聲爆問題開展，面向?qū)ο笾饕侵鄙龣C(jī)旋翼噪聲、低速構(gòu)型流動(dòng)噪聲、超聲速客機(jī)聲爆抑制等問題。主控方程主要是FWH(Ffowcs Williams-Hawkings)方程以及聲爆預(yù)測(cè)增廣Burgers方程,對(duì)于數(shù)值模擬來講，無論是FWH伴隨方程還是聲爆預(yù)測(cè)增廣Burgers方程，幾乎都無法脫離流場(chǎng)分析、伴隨而獨(dú)立有效地使用，一般與流場(chǎng)進(jìn)行耦合使用。

2.4 伴隨方程在其他領(lǐng)域的應(yīng)用

在航空航天領(lǐng)域，伴隨方法不僅在涉及上述幾個(gè)學(xué)科方面得到了充分應(yīng)用，同樣在熱傳導(dǎo)、化學(xué)反應(yīng)等方面也得到了一定應(yīng)用。再入飛行器表面熱流通過反演方法確定飛行器再入的熱環(huán)境，伴隨方程可以為該類熱傳導(dǎo)逆問題提供高效的靈敏度計(jì)算，錢煒祺和何開鋒[57]基于三維熱傳導(dǎo)方程及其伴隨方程，進(jìn)行了三維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)逆問題反演研究，取得了與試驗(yàn)數(shù)據(jù)較為一致的結(jié)果，如圖24所示，圖中:t為時(shí)間，T為溫度，P1和P2代表兩個(gè)測(cè)溫點(diǎn)。Kouhi和Houzeaux[58]基于離散伴隨方法開展了與化學(xué)反應(yīng)流動(dòng)相關(guān)的參數(shù)靈敏度分析，獲得了與差分較為一致的結(jié)果。

圖24 反演結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比[57]Fig.24 Comparison of inversion results with experimental data [57]

3 多學(xué)科耦合伴隨體系發(fā)展現(xiàn)狀

國(guó)內(nèi)在流場(chǎng)伴隨方程求解器自主研發(fā)方面取得了系列的進(jìn)展。然而，大多研究工作局限于單學(xué)科伴隨方法，在多學(xué)科耦合伴隨方法自主研發(fā)方面較為欠缺，研究基礎(chǔ)比較薄弱。

在涉及復(fù)雜耦合系統(tǒng)綜合優(yōu)化方面，傳統(tǒng)的優(yōu)化手段、靈敏度分析手段，由于學(xué)科強(qiáng)耦合因素，往往表現(xiàn)得力不從心，多學(xué)科耦合伴隨理論的出現(xiàn)，使得高效計(jì)算多學(xué)科耦合靈敏度成為可能。在飛行器氣動(dòng)外形多學(xué)科優(yōu)化領(lǐng)域，最活躍的是氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)、電磁、噪聲等學(xué)科，由于目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)、學(xué)科交叉耦合變分推導(dǎo)難度以及交叉變分雅克比矩陣存儲(chǔ)的限制，從目前發(fā)表的文獻(xiàn)來看，大部分研究工作針對(duì)兩個(gè)學(xué)科耦合伴隨優(yōu)化展開。耦合伴隨方法中交叉學(xué)科導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的具體推導(dǎo)方法，各類雅克比矩陣組裝的大型稀疏矩陣求解，變分簡(jiǎn)化處理方式以及學(xué)科之間物理場(chǎng)信息、伴隨變量交換、存儲(chǔ)方式直接影響了多學(xué)科變分的簡(jiǎn)捷性、多學(xué)科耦合系統(tǒng)計(jì)算效率以及梯度信息的計(jì)算精度，因此，下面將對(duì)典型多學(xué)耦合伴隨方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行論述和總結(jié)。

3.1 氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨方程

考慮氣動(dòng)彈性變形的柔性機(jī)翼若采用傳統(tǒng)差分的梯度優(yōu)化以及進(jìn)化算法開展靈敏度分析以及多學(xué)科多目標(biāo)優(yōu)化，其計(jì)算量非常龐大，當(dāng)前計(jì)算條件難以忍受，設(shè)計(jì)效率極為低下。未來飛機(jī)發(fā)展的一個(gè)重要方向是重量較輕的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)柔性機(jī)翼設(shè)計(jì)(如B787、B747-8等寬體客機(jī))，此時(shí)氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)將更加明顯，基于氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)多學(xué)科耦合伴隨方法的耦合靈敏度分析在綜合設(shè)計(jì)上將具有更加突出的優(yōu)勢(shì)，為多學(xué)科優(yōu)化提供有力技術(shù)支持。

氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)優(yōu)化中有4種原因引起耦合靈敏度效應(yīng)。第一，氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)變量變化引起氣動(dòng)力的變化；第二，氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)變量變化引起氣動(dòng)力載荷、結(jié)構(gòu)屬性的變化，導(dǎo)致彈性變形變化，從而引起結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化；第三，有限元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量變化引起結(jié)構(gòu)屬性的變化，導(dǎo)致彈性變形變化，從而引起氣動(dòng)力變化；第四，有限元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量變化引起結(jié)構(gòu)屬性的變化，導(dǎo)致彈性變形變化，從而引起結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化。以上4點(diǎn)是氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合復(fù)雜程度的最直觀體現(xiàn)，也是氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化成為最為復(fù)雜、困難問題的原因之一。將式(4)中的殘差、狀態(tài)變量直接展開為氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的殘差、狀態(tài)變量，可以得到氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨方程為

(13)

(14)

(15)

盡管如此，仍然帶來交叉導(dǎo)數(shù)項(xiàng)反復(fù)計(jì)算的問題，即解決了空間存儲(chǔ)問題，又帶來時(shí)間需求問題。對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行進(jìn)一步展開：

(16)

針對(duì)該問題，國(guó)外開展了系列研究，密歇根大學(xué)Martins等基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格CFD求解器以及有限元方法發(fā)展了氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)延遲耦合伴隨LCA(Lagged Coupled Adjoint)方法，實(shí)現(xiàn)了板殼單元條件下氣動(dòng)結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)[18-19]；德國(guó)宇航局Abu-Zurayk等基于非結(jié)構(gòu)化求解器TAU[59-60]，斯坦福大學(xué)Kasidit和Antony基于耦合伴隨方法進(jìn)行了機(jī)翼平面形狀與剖面的氣動(dòng)結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化[20]，法國(guó)宇航院Marcelet等基于CFD代碼elsA發(fā)展了LCA優(yōu)化方法[61]，倫敦瑪麗女王大學(xué)Mülle和Verstraete[62]基于多學(xué)科耦合伴隨方法開展了葉片氣動(dòng)結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化，保證應(yīng)力約束條件下提高了葉片氣動(dòng)效率，懷俄明大學(xué)Mishra和Mani[63]基于氣動(dòng)結(jié)構(gòu)伴隨方程開展了直升機(jī)四槳葉旋翼非定常氣動(dòng)優(yōu)化等；典型應(yīng)用如圖25～圖27所示。

中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心立足自主研發(fā)，建立了氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨優(yōu)化平臺(tái)[64-65]，基于延遲耦合處理方式實(shí)現(xiàn)了CRM機(jī)翼氣動(dòng)結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化，圖28給出了氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨(Coupled Aero-Structrual Adjoint，CASA)優(yōu)化平臺(tái)的裝配關(guān)系流程圖，圖29和圖30給出了氣動(dòng)力、結(jié)構(gòu)應(yīng)力von Mises對(duì)應(yīng)的耦合伴隨方程收斂歷程；圖31 給出了不同設(shè)計(jì)約束的優(yōu)化結(jié)果。

圖25 氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨優(yōu)化[19]Fig.25 Aero-structural coupled adjoint optimization[19]

圖27 基于氣動(dòng)結(jié)構(gòu)伴隨方程的旋翼非定常氣動(dòng)優(yōu)化[63]Fig.27 Rotor unsteady aerodynamic optimization based on aero-structural coupled adjoint equation[63]

圖28 CASA優(yōu)化平臺(tái)組裝關(guān)系Fig.28 Relationship of CASA optimization platform assembly

圖29 氣動(dòng)力耦合伴隨方程收斂歷程[64]Fig.29 Convergence history of aerodynamic coupled adjoint equation [64]

圖30 結(jié)構(gòu)應(yīng)力耦合伴隨方程收斂歷程[65]Fig.30 Convergence history of structural stress coupled adjoint equation [65]

圖31 不同方法設(shè)計(jì)結(jié)果[65]Fig.31 Design results of different methods [65]

3.2 氣動(dòng)電磁伴隨方程

氣動(dòng)隱身一體化始終是作戰(zhàn)飛機(jī)研制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，兩個(gè)學(xué)科在一定程度上是矛盾體?，F(xiàn)有的氣動(dòng)隱身一體化設(shè)計(jì)多采用粒子群算法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等搜索算法。進(jìn)化搜索算法開發(fā)難度較低，具有收斂到全局最優(yōu)的能力，但優(yōu)化效率較低，調(diào)用CFD、RCS求解程序的次數(shù)隨設(shè)計(jì)變量的增加而增加，同時(shí)電磁散射較高的計(jì)算要求對(duì)進(jìn)化類算法提出了較大挑戰(zhàn)。采用式(4)展開形式推導(dǎo)氣動(dòng)電磁“耦合”伴隨方程，即

(17)

式中：Ra、RE分別代表流場(chǎng)殘差與電磁數(shù)值計(jì)算殘差；wi、Ai分別代表流場(chǎng)變量與電流分布，顯然上式交叉導(dǎo)數(shù)雅克比矩陣為0，即

(18)

“耦合”伴隨方程退化為

(19)

從式(19)可以看出，氣動(dòng)電磁多學(xué)科伴隨方程完全解耦，不存在耦合，這對(duì)研發(fā)體系來講難度大大降低，兩個(gè)伴隨方程完全獨(dú)立求解?；诟呖尚哦攘鲌?chǎng)電磁伴隨優(yōu)化方面的研究從發(fā)表文獻(xiàn)上看幾乎是空白的主要原因是學(xué)科跨度較大，變分困難，計(jì)算量龐大。在流場(chǎng)伴隨與電磁伴隨優(yōu)化基礎(chǔ)上，本文作者構(gòu)建了氣動(dòng)隱身高可信度優(yōu)化平臺(tái)，為氣動(dòng)隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了技術(shù)基礎(chǔ)[52]。

3.3 流場(chǎng)噪聲耦合伴隨方程

流動(dòng)控制方程與聲學(xué)預(yù)測(cè)方程組合求解是當(dāng)前評(píng)估飛行器噪聲的一個(gè)重要途徑。該方面的研究主要集中在直升機(jī)旋翼噪聲、發(fā)動(dòng)機(jī)噴流噪聲、低速構(gòu)型流動(dòng)噪聲、超聲速客機(jī)聲爆抑制等方向上。

對(duì)于亞聲速流動(dòng)噪聲問題，例如增升構(gòu)型、旋翼噪聲，大多數(shù)研究工作基于FW-H方程以及LEE方程進(jìn)行，對(duì)FW-H聲輻射方程前向模式轉(zhuǎn)置可以很方便得到FW-H伴隨方程[66]：

進(jìn)一步與流場(chǎng)伴隨方程進(jìn)行耦合求解，最終獲得設(shè)計(jì)變量對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)噪聲的梯度。國(guó)外針對(duì)該方向開展了一系列研究工作，例如懷俄明大學(xué)Fabiano等[66]基于流場(chǎng)與噪聲耦合伴隨方法進(jìn)行了直升機(jī)旋翼噪聲降噪研究，顯著降低了觀測(cè)點(diǎn)噪聲水平，如圖32和圖33所示?；贚EE方程的伴隨方程構(gòu)造略微復(fù)雜，邱昇[67]基于流場(chǎng)數(shù)值模擬以及多模態(tài)線化歐拉方程進(jìn)行了多模態(tài)伴隨優(yōu)化方法研究，圖34和圖35給出了初始外形以及最優(yōu)外形近場(chǎng)傳播模態(tài)。

噪聲優(yōu)化的另一個(gè)重要方向就是超聲速民機(jī)的聲爆抑制，該方向目前是一個(gè)研究熱點(diǎn)。超聲速民機(jī)面臨的最大挑戰(zhàn)之一就是民航對(duì)其超聲速飛行時(shí)聲爆水平的嚴(yán)格限制，目前用于預(yù)測(cè)遠(yuǎn)場(chǎng)聲爆信號(hào)的方法主要包含波形參數(shù)法與Burgers方程，兩者在聲爆預(yù)測(cè)中具有良好的表現(xiàn)。波形參數(shù)法[68-69]存在無法預(yù)測(cè)激波上升階段、預(yù)測(cè)解存在間斷導(dǎo)致聲爆信號(hào)不可微等問題，無法進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，且在梯度優(yōu)化體系中應(yīng)用受限。

基于伴隨方程的聲爆優(yōu)化進(jìn)而也分為兩個(gè)方向：近場(chǎng)聲壓變分伴隨與流場(chǎng)/聲爆伴隨方程，即可以對(duì)地面聲爆信號(hào)進(jìn)行變分，也可以對(duì)近場(chǎng)進(jìn)行變分。近場(chǎng)變分[70]實(shí)現(xiàn)方式更為簡(jiǎn)單，但無法直接設(shè)計(jì)地面聲爆信號(hào)。單獨(dú)聲爆伴隨方程推導(dǎo)比較簡(jiǎn)單，詳細(xì)過程可以參考文獻(xiàn)[71]。

圖32 直升機(jī)噪聲觀測(cè)點(diǎn)[66]Fig.32 Helicopter noise observation point [66]

圖33 優(yōu)化前后聲壓級(jí)對(duì)比[66]Fig.33 Comparison of sound pressure levels of initial and optimized configurations[66]

圖34 初始外形近場(chǎng)傳播模態(tài)[67]Fig.34 Near-field propagation mode of initial shape [67]

圖35 最優(yōu)外形近場(chǎng)傳播模態(tài)[67]Fig.35 Near-field propagation mode of optimized shape [67]

聲爆伴隨求解過程是聲傳播的一個(gè)反向過程，利用最終的伴隨變量可以很方便的獲取遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)信號(hào)對(duì)近場(chǎng)信號(hào)的梯度：

詳細(xì)推導(dǎo)及變量定義可參考文獻(xiàn)[71]。

流場(chǎng)聲爆耦合伴隨方程的推導(dǎo)思路與上述方法一致，在聲爆目標(biāo)函數(shù)中引入流場(chǎng)以及聲爆拉格朗日算子λf、λb：

(20)

進(jìn)行變分展開后，變分表達(dá)式為

(21)

(22)

可以看出，與氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨方程不同，流場(chǎng)/聲爆耦合伴隨方程在求解當(dāng)前代優(yōu)化問題上，只需要耦合一次即可。國(guó)外在該方面開展了一系列具有代表性的研究工作，例如，Jameson等基于近場(chǎng)變分形式進(jìn)行了氣動(dòng)力/聲爆優(yōu)化[70]，如圖36 所示，Rallabhandi采用 FUN3D求解器自適應(yīng)網(wǎng)格進(jìn)行了超聲速飛機(jī)流場(chǎng)聲爆耦合伴隨方法的聲爆反設(shè)計(jì)與壓力敏感性分析[71]，如圖37 和圖38所示。

國(guó)內(nèi)在聲爆預(yù)測(cè)、優(yōu)化設(shè)計(jì)方面也開展了一定的研究，取得了一定的進(jìn)展，大多研究工作基于進(jìn)化算法以及波形參數(shù)方法等進(jìn)行[72-74]，在基于伴隨方法的可導(dǎo)型聲爆優(yōu)化上的研究非常少。本文作者開展了基于廣義Burgers方程的聲爆預(yù)測(cè)、流場(chǎng)/聲爆耦合伴隨優(yōu)化研究[75-76]，在伴隨方程推導(dǎo)中，引入網(wǎng)格劃分規(guī)則、不同坐標(biāo)系之間插值準(zhǔn)則大幅簡(jiǎn)化了耦合變分的難度，并對(duì)中型公務(wù)機(jī)開展了優(yōu)化，驗(yàn)證了耦合伴隨方法的有效性與高效率，圖39和圖40給出了超聲速飛機(jī)流場(chǎng)/聲爆耦合伴隨變量云圖以及優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)比。

圖36 近場(chǎng)伴隨優(yōu)化[70]Fig.36 Near-field adjoint optimization[70]

圖37 NASA超聲速民機(jī)布局[71]Fig.37 NASA supersonic civil aircraft configuration[71]

圖38 壓力敏感度云圖[71]Fig.38 Pressure sensitivity contour[71]

圖39 第一伴隨變量云圖(Y=0)[76]Fig.39 First adjoint variable contour (Y=0 )[76]

圖40 耦合伴隨優(yōu)化設(shè)計(jì)歷程[76]Fig.40 Coupled adjoint optimization design history[76]

4 多學(xué)科耦合伴隨方程的發(fā)展趨勢(shì)與應(yīng)用前景

結(jié)合伴隨方程求解靈敏度工作量與設(shè)計(jì)變量無關(guān)、與目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的特征，以及多學(xué)科伴隨方法高效求解耦合靈敏度的優(yōu)勢(shì)，可以預(yù)測(cè)，耦合伴隨方法將在更高維多學(xué)科優(yōu)化、不確定度分析、學(xué)科對(duì)系統(tǒng)影響定量評(píng)估方面發(fā)揮重要作用。

4.1 多學(xué)科耦合伴隨方程發(fā)展趨勢(shì)

從現(xiàn)有文獻(xiàn)上來看，多學(xué)科耦合伴隨方法的研究工作主要集中在兩個(gè)學(xué)科范圍內(nèi)，兩個(gè)以上學(xué)科耦合伴隨方法研究較少。實(shí)際上，工程型號(hào)中兩個(gè)學(xué)科以上的耦合現(xiàn)象并不少見，盡管在實(shí)際應(yīng)用中兩個(gè)學(xué)科以上的耦合分析較少，也通常采用解耦的形式，但對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)耦合靈敏度分析這一基礎(chǔ)科學(xué)問題來說，該方向具有重要的研究?jī)r(jià)值，能夠?yàn)楦呔S度多學(xué)科耦合靈敏度分析、設(shè)計(jì)提供重要技術(shù)支撐。

以超聲速飛機(jī)低聲爆設(shè)計(jì)為例，流場(chǎng)、聲爆傳播進(jìn)行耦合伴隨能夠?yàn)闅鈩?dòng)力、聲爆一體化設(shè)計(jì)提供技術(shù)支持，若考慮結(jié)構(gòu)優(yōu)化引起的彈性變形，又將產(chǎn)生一系列耦合現(xiàn)象，這是一個(gè)重要的基礎(chǔ)科學(xué)問題。NASA Glenn 研究中心的Silva等分析了彈性變形對(duì)聲爆信號(hào)的影響[77]，如圖41和圖42 所示，可以看出彈性外形和剛性外形對(duì)應(yīng)的地面聲爆信號(hào)有著較為明顯的區(qū)別。因此，在詳細(xì)設(shè)計(jì)階段，必須考慮結(jié)構(gòu)彈性變形的影響，才能充分挖掘設(shè)計(jì)潛力。若考慮結(jié)構(gòu)優(yōu)化引起的彈性變形，又將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)應(yīng)力、載荷分布、氣動(dòng)力、聲爆特性等發(fā)生變化等一系列耦合現(xiàn)象，這是當(dāng)前一體化設(shè)計(jì)面臨的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵技術(shù)。

圖41 超聲速客機(jī)氣動(dòng)彈性變形[77]Fig.41 Aeroelastic deformation of supersonic passenger aircraft[77]

圖42 彈性外形與剛性外形聲爆信號(hào)對(duì)比[77]Fig.42 Comparisons of sonic boom signals of elastic and rigid shapes [77]

如果能夠快速獲取各個(gè)子系統(tǒng)靈敏度以及氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)/聲爆耦合靈敏度，將為超聲速民機(jī)氣動(dòng)外形多學(xué)科綜合設(shè)計(jì)提供有力的技術(shù)支撐。不僅如此，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的耦合靈敏度計(jì)算本身，也是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性和重要研究意義的基礎(chǔ)科學(xué)問題，多學(xué)科耦合伴隨理論為之提供了一個(gè)有效的解決途徑。

然而，考慮氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)、聲爆耦合伴隨方程的研究工作較少，本文針對(duì)該問題，結(jié)合不同學(xué)科的伴隨算子進(jìn)行了對(duì)應(yīng)的耦合伴隨方程推導(dǎo)：

(23)

式中：Rb=p0-T，對(duì)式(20)進(jìn)行求導(dǎo)展開，

(24)

(25)

實(shí)際上，利用學(xué)科殘差對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行變分的雅克比矩陣，也能夠很方便組裝出該三學(xué)科耦合伴隨方程：

(26)

將式(26)展開可以得到與式(25)一致的結(jié)果。進(jìn)一步進(jìn)行高效耦合靈敏度計(jì)算，即

通過以上分析可以看出，不僅在流、固、聲耦合靈敏度分析領(lǐng)域，在其他領(lǐng)域該思想也能夠進(jìn)行有效推廣，例如，對(duì)于大展弦比隱身作戰(zhàn)飛機(jī)來講，氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)、電磁等多學(xué)科耦合伴隨方法能夠?yàn)榫C合設(shè)計(jì)提供高效的耦合靈敏度計(jì)算途徑；對(duì)于尾噴管部件設(shè)計(jì)，氣動(dòng)/電磁/紅外耦合伴隨同樣能夠?yàn)榫C合設(shè)計(jì)提供高效的耦合靈敏度計(jì)算途徑，為充分挖掘飛行器多學(xué)科綜合設(shè)計(jì)潛力提供技術(shù)支撐。因此，高維度多學(xué)科耦合伴隨體系是值得關(guān)注的研究方向。

多個(gè)學(xué)科耦合伴隨方程的構(gòu)建關(guān)鍵是進(jìn)行學(xué)科交叉導(dǎo)數(shù)雅克比的推導(dǎo)與組裝，其推導(dǎo)工作量、存儲(chǔ)量與學(xué)科數(shù)目以及學(xué)科類型緊密相關(guān)，沒有顯式變分關(guān)系的學(xué)科之間交叉雅克比將自動(dòng)為零。多個(gè)學(xué)科耦合伴隨方法同樣也帶來龐大的存儲(chǔ)問題，這點(diǎn)可以參照延遲處理方式來緩解該方面壓力；對(duì)于不同的目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生不同的右端項(xiàng)，將對(duì)應(yīng)不同的耦合伴隨方程，計(jì)算量隨學(xué)科個(gè)數(shù)增加而線性增長(zhǎng)，實(shí)際工程中大多數(shù)問題是目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于設(shè)計(jì)變量，因此對(duì)耦合伴隨來講，學(xué)科耦合數(shù)目帶來的計(jì)算量基本可以承受?？梢灶A(yù)見，隨著多學(xué)科分析(MDA)方法與高性能計(jì)算機(jī)設(shè)備的發(fā)展，高維度多學(xué)科耦合伴隨方法將在飛行器氣動(dòng)外形多學(xué)科優(yōu)化(MDO)設(shè)計(jì)領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。

4.2 多學(xué)科耦合伴隨在不確定性分析中的應(yīng)用

如前面所述，耦合伴隨方法在多學(xué)科優(yōu)化中起到了舉足輕重的作用，不僅如此，在不確定分析中同樣也正在發(fā)揮重要作用。例如基于不確定性的氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合設(shè)計(jì)中，基于氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨方程的敏感性分析將會(huì)大大減少計(jì)算花費(fèi)[78]，尤其面對(duì)高維不確定性問題。Beran等[79]闡述了氣彈系統(tǒng)不確定分析的方法以及目前他們的進(jìn)展和難點(diǎn)，如維度災(zāi)難問題，并強(qiáng)調(diào)了基于耦合伴隨敏感性分析構(gòu)建梯度加強(qiáng)隨機(jī)代理模型將會(huì)有效緩解不確定分析維度災(zāi)難問題[80]。Allen[81-82]、Stanford[83]、Mani[84]、Nikbay[85]等早期開展了基于一階可靠性分析的氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，他們使用基于氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨方法快速求解關(guān)于耦合系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)的敏感性，如極限環(huán)振蕩和抖振速度的可靠性分析等。設(shè)計(jì)結(jié)果證明了他們的方法相對(duì)于確定性設(shè)計(jì)兼顧了效率和工程實(shí)用性。圖43給出了Stanford和Beran[86]給出的金屬薄板抖振速度的物理和正規(guī)空間分布，其中最大概率點(diǎn)采用一階可靠性分析給出。他們對(duì)比了抖振速度在物理和正規(guī)空間的分布，其最大概率點(diǎn)采用一階可靠性分析給出。然而一階可靠性分析用于近似復(fù)雜失敗概率空間時(shí)，分析精度往往難以滿足。因此，Verhoosel等[87]使用二階可靠性近似以提高抖振問題可靠性分析精度，Manan[88]、Scarth[89]、Hosder[90]和Missoum[91]等使用多項(xiàng)式混沌展開的方法來直接積分獲得可靠性指標(biāo)，以提供更為準(zhǔn)確的結(jié)果[92]。圖44給出了蒙特卡羅方法與多項(xiàng)式展開方法近似臨界速度的對(duì)比。結(jié)合伴隨敏感性分析，文獻(xiàn)[93]基于多項(xiàng)式混沌展開提出了穩(wěn)健性和可靠性指標(biāo)梯度計(jì)算準(zhǔn)則。目前基于多項(xiàng)式展開不確定分析方法結(jié)合氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨敏感性分析正得到更多的關(guān)注，尤其對(duì)于復(fù)雜氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合問題。雖然大量的氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)不確定優(yōu)化應(yīng)用正在開展研究，但其難點(diǎn)仍然集中在高維設(shè)計(jì)變量與高維不確定變量帶來的巨大計(jì)算花費(fèi)問題，即維度災(zāi)難問題[94]。通過前述研究可以發(fā)現(xiàn)，目前有希望的解決途徑是基于氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨敏感性分析以提高高維不確定分析的效率和精度，和基于氣動(dòng)結(jié)構(gòu)耦合伴隨敏感性的不確定優(yōu)化過程。

圖43 考慮前后緣扭轉(zhuǎn)剛度不確定性的薄板抖振速度物理和正規(guī)空間分布(*指示最大概率點(diǎn))[86]Fig.43 Physical and normal spatial distribution of buffeting velocity of thin plate considering uncertainty of torsional stiffness of front and rear edges (* indicates the maximum probability point) [86]

圖44 考慮不確定參數(shù)的某一范圍內(nèi)的臨界不穩(wěn)定速度及概率密度函數(shù)(PDF)分布[94]Fig.44 Critical instability velocity and probability density function (PDF) distribution in a range of uncertain parameters [94]

5 結(jié)論和展望

面向飛行器氣動(dòng)外形綜合設(shè)計(jì)，文中首先系統(tǒng)回顧了各個(gè)學(xué)科的伴隨方法發(fā)展及其在優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用現(xiàn)狀。系統(tǒng)梳理了多學(xué)科耦合伴隨方法發(fā)展現(xiàn)狀及其關(guān)鍵技術(shù)，總結(jié)了多學(xué)科伴隨優(yōu)化方法在氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)、氣動(dòng)/隱身、流場(chǎng)/噪聲等方面的耦合優(yōu)化應(yīng)用。

結(jié)合多學(xué)科耦合伴隨方程構(gòu)建以及在工程應(yīng)用中面臨的實(shí)際問題，并基于現(xiàn)有研究工作提出了解決途徑?；隈詈习殡S方程高效求解耦合靈敏度的優(yōu)勢(shì)，展望了多學(xué)科耦合伴隨方法將在高維多學(xué)科伴隨、不確定度分析、學(xué)科對(duì)系統(tǒng)影響定量評(píng)估等幾個(gè)方向的發(fā)展趨勢(shì)。

多學(xué)科耦合伴隨能夠快速獲取各個(gè)子系統(tǒng)的靈敏度以及復(fù)雜問題耦合系統(tǒng)的靈敏度，將為未來先進(jìn)飛行器氣動(dòng)外形多學(xué)科一體化綜合設(shè)計(jì)提供有力的技術(shù)支撐。不僅如此，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的耦合靈敏度計(jì)算本身，無論是對(duì)基礎(chǔ)科學(xué)問題還是工程應(yīng)用，尤其對(duì)于新一代先進(jìn)飛行器研制來講，該方向具有重要研究意義。

致 謝

在本文的研究工作中，周琳、劉沛、趙歡、張繹典等給予了數(shù)據(jù)和技術(shù)支持， 大連理工大學(xué)陳飆松教授、張盛副教授等在結(jié)構(gòu)有限元建模、有限元分析方面給予了建議，在此表示感謝！