基于代理模型的高效全局氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究進(jìn)展

韓忠華，許晨舟，喬建領(lǐng)，柳斐，池江波，孟冠宇，張科施，宋文萍

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院 氣動(dòng)與多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)研究所 翼型、葉柵空氣動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，基于高可信度計(jì)算流體力學(xué)(CFD，如Navier-Stokes方程數(shù)值模擬)的氣動(dòng)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，已廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)，在提高飛行器的氣動(dòng)與綜合性能、降低設(shè)計(jì)成本方面正發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用[1-6]。然而，未來(lái)飛行器設(shè)計(jì)將面臨越來(lái)越多的設(shè)計(jì)約束和越來(lái)越嚴(yán)苛的設(shè)計(jì)要求，設(shè)計(jì)變量規(guī)模也在不斷擴(kuò)大，要想進(jìn)一步應(yīng)用更高可信度CFD，并在現(xiàn)有方案的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高設(shè)計(jì)質(zhì)量，亟待發(fā)展更高效的全局氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[6-7]。

目前常用的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要包括梯度優(yōu)化方法和啟發(fā)式優(yōu)化方法兩大類[3]。梯度優(yōu)化方法[5,8-9]從給定起始點(diǎn)出發(fā)，利用目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的梯度信息來(lái)構(gòu)造有利的搜索方向，并尋找最優(yōu)的下降步長(zhǎng)，不斷迭代直到收斂至離起始點(diǎn)最近的局部最優(yōu)點(diǎn)。常用的梯度優(yōu)化方法包括BFGS擬牛頓算法[10]、共軛梯度法[11]、序列二次規(guī)劃算法(Sequential Quadratic Programming, SQP)[12]等。在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域，當(dāng)采用Jameson教授發(fā)展的Adjoint(伴隨)方法[13-14]來(lái)計(jì)算梯度時(shí)，其計(jì)算量與設(shè)計(jì)變量數(shù)基本無(wú)關(guān)，可以有效處理高維非線性約束優(yōu)化問(wèn)題[15-18]。雖然基于伴隨方法的梯度優(yōu)化方法在復(fù)雜外形氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面取得了極大成功，但對(duì)于多極值問(wèn)題，該方法容易陷入局部最優(yōu)[6]。研究表明，即使采用多起點(diǎn)的梯度優(yōu)化策略，其優(yōu)化效果也可能難以與全局優(yōu)化算法相媲美[19]。啟發(fā)式優(yōu)化方法[20-21]一般通過(guò)模擬自然界中的生物進(jìn)化或生物群體行為等現(xiàn)象，設(shè)定某種標(biāo)準(zhǔn)來(lái)獲得全局最優(yōu)解。常用的啟發(fā)式優(yōu)化方法包括遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)[22-24]、粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)[25]等。這類算法雖然具有非常良好的全局搜索能力，但由于在優(yōu)化過(guò)程中需要成千上萬(wàn)次(甚至更多)地調(diào)用計(jì)算代價(jià)昂貴的高可信度CFD分析，使得整個(gè)優(yōu)化過(guò)程的計(jì)算成本巨大。更嚴(yán)重的是，隨著設(shè)計(jì)變量數(shù)和約束個(gè)數(shù)的增多，計(jì)算量劇增，出現(xiàn)了所謂的維數(shù)災(zāi)難(Curse of Dimensionality)現(xiàn)象[26-27]，大大限制了其在復(fù)雜外形氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[28]。于是，為了提高優(yōu)化效率，同時(shí)兼顧全局搜索能力，一種基于代理模型的優(yōu)化方法(Surrogate-Based Optimization, SBO)應(yīng)運(yùn)而生(文獻(xiàn)[7]首次稱之為“代理優(yōu)化算法”)[29-32]，并逐漸成為氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的前沿研究熱點(diǎn)之一[33]。

所謂代理模型，是指在分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)中可以代替那些計(jì)算復(fù)雜且費(fèi)時(shí)的數(shù)值分析模型的數(shù)學(xué)模型，又被稱為“近似模型”“響應(yīng)面模型”或“元模型”[34-38]。代理模型方法不但可以大幅提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率，降低工程系統(tǒng)的復(fù)雜度，而且有利于濾除數(shù)值噪聲和實(shí)現(xiàn)并行優(yōu)化設(shè)計(jì)[7]。目前，在代理模型研究方面，已經(jīng)發(fā)展了包括多項(xiàng)式響應(yīng)面(PRSM)[30,39]、徑向基函數(shù)(RBFs)[40-41]、Kriging模型[7,34-35]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)[42-43]、空間映射(SM)[44-45]、支持向量回歸(SVR)[46-47]、多變量插值與回歸(MIR)[48-49]、混沌多項(xiàng)式展開(kāi)(PCE)[50-51]等多種代理模型方法。這些模型最初被作為簡(jiǎn)單的替代模型來(lái)避免大量調(diào)用代價(jià)昂貴的數(shù)值分析模型，降低計(jì)算成本。但隨著研究的不斷深入，代理模型的作用發(fā)生了轉(zhuǎn)變，構(gòu)成了一種可以基于歷史數(shù)據(jù)來(lái)驅(qū)動(dòng)新樣本的加入，并逼近局部或全局最優(yōu)解的優(yōu)化算法[7]，即“代理優(yōu)化算法”。通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的代理模型，求解由優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則[52-55]定義的子優(yōu)化問(wèn)題，得到新的樣本點(diǎn)并加入樣本數(shù)據(jù)集中，循環(huán)更新代理模型，直到所產(chǎn)生的樣本點(diǎn)序列逼近局部或全局最優(yōu)解[7]。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)m維通用優(yōu)化問(wèn)題：

(1)

式中：y(x)為目標(biāo)函數(shù)矢量；p為目標(biāo)個(gè)數(shù)(p=1為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，p≥2為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題)；xu和xl分別為設(shè)計(jì)變量的上下限；h(x)和g(x)分別為等式和不等式約束；nh、ng分別為等式和不等式約束個(gè)數(shù)。需要說(shuō)明的是，對(duì)于等式約束，一般可以將其轉(zhuǎn)化為不等式約束來(lái)處理。圖1[7]給出了代理優(yōu)化算法求解上述問(wèn)題的基本框架。具體的求解過(guò)程如下：

從上述流程中可知，代理優(yōu)化的核心機(jī)制是優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則和子優(yōu)化。在代理模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)函數(shù)，形成子優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。采用傳統(tǒng)的梯度或進(jìn)化算法等求解子優(yōu)化問(wèn)題，便可以不斷生成新的樣本點(diǎn)，并驅(qū)動(dòng)主優(yōu)化過(guò)程朝著局部或全局最優(yōu)解逼近。此外，利用一些具有全局性的優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則，構(gòu)造在整個(gè)設(shè)計(jì)空間內(nèi)的學(xué)習(xí)函數(shù)，可以保證優(yōu)化算法的全局性。例如，改善期望(Expected Improvement, EI)[56]加點(diǎn)準(zhǔn)則，可以同時(shí)考慮模型預(yù)測(cè)值的改善量和誤差最大處，是一種平衡全局探索和局部發(fā)掘的加點(diǎn)方法。文獻(xiàn)[57]指出，在某些假設(shè)條件下，基于EI準(zhǔn)則進(jìn)行的加點(diǎn)是稠密的，也就是說(shuō)在加入足夠多的樣本點(diǎn)情況下，可以找到全局最優(yōu)解。值得注意的是，子優(yōu)化的計(jì)算量相比于昂貴的CFD計(jì)算，基本可以忽略不計(jì)。文獻(xiàn)[58-59]指出：“代理模型的建模過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是采用了機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)，從設(shè)計(jì)空間中的少量樣本信息中學(xué)習(xí)出了目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)隨設(shè)計(jì)變量變化的規(guī)律或知識(shí)”。事實(shí)上，代理模型可以看作是針對(duì)小樣本的監(jiān)督式機(jī)器學(xué)習(xí)模型，因而代理優(yōu)化也被稱為智能化的優(yōu)化算法。實(shí)踐證明，針對(duì)設(shè)計(jì)空間光滑連續(xù)且目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)計(jì)算代價(jià)昂貴的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，代理優(yōu)化算法的優(yōu)化效率要比傳統(tǒng)進(jìn)化類方法高出1～2個(gè)數(shù)量級(jí)。文獻(xiàn)[60]指出：“作為航空航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，基于代理模型的優(yōu)化算法對(duì)于提升現(xiàn)代航空航天系統(tǒng)的性能、降低設(shè)計(jì)成本具有非常重要的意義?！?/p>

代理優(yōu)化在航空航天工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用可以追溯到20世紀(jì)70年代，最初應(yīng)用于飛行器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[29]，后來(lái)逐漸發(fā)展成為多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)[61-62]的關(guān)鍵技術(shù)，直到20世紀(jì)90年代末才被引入到氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域[6,63]。圖2和圖3分別給出了美國(guó)工程索引(Engineering Index)數(shù)據(jù)庫(kù)檢索的20世紀(jì)90年代以來(lái)關(guān)于代理優(yōu)化方法及21世紀(jì)初以來(lái)基于代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的文章數(shù)量變化趨勢(shì)。從圖中可以清楚地看出，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外發(fā)表的關(guān)于基于代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的論文數(shù)量呈快速增長(zhǎng)趨勢(shì)，代理優(yōu)化方法已經(jīng)成為氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)?；谖墨I(xiàn)調(diào)研，表1 列出了相關(guān)領(lǐng)域代表性團(tuán)隊(duì)及其代表性研究；主要介紹了基于代理模型的研究工作和一部分基于梯度優(yōu)化和啟發(fā)式算法的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。限于本文作者調(diào)研水平，可能未能涵蓋國(guó)內(nèi)外所有氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)的研究工作。此外，代理優(yōu)化的應(yīng)用實(shí)際上非常廣泛，包括航空航天、船舶、汽車、能源、電子、環(huán)境、生物等眾多領(lǐng)域，由于本文的重點(diǎn)是介紹代理優(yōu)化在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，在其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用超出了本文討論范疇，不再贅述。

圖2 美國(guó)工程索引數(shù)據(jù)庫(kù)檢索的與代理優(yōu)化方法相關(guān)的文章數(shù)(自20世紀(jì)90年代以來(lái))Fig.2 Number of published papers in the area of surrogate-based optimization obtained through Engineering Index database (since 1990s)

圖3 美國(guó)工程索引數(shù)據(jù)庫(kù)檢索的基于代理模型氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的文章數(shù)(自21世紀(jì)初以來(lái))Fig.3 Number of published papers in the area of surrogate-based aerodynamic shape optimization obtained through Engineering Index database (since 2000s)

鑒于目前國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有相關(guān)領(lǐng)域的綜述性文章，本文以飛行器精細(xì)化氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題為背景，系統(tǒng)地介紹了基于代理優(yōu)化方法的高效全局氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)最新研究進(jìn)展。第1節(jié)從代理模型理論和算法的角度，系統(tǒng)地綜述了基于變可信度代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法、結(jié)合代理模型和Adjoint方法的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法以及基于一種非生物進(jìn)化的并行氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的研究現(xiàn)狀和最新進(jìn)展；第2節(jié)針對(duì)飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)前沿問(wèn)題，介紹了基于代理模型的多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)、混合反設(shè)計(jì)/優(yōu)化設(shè)計(jì)、穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)等方法的研究進(jìn)展；第3節(jié)綜述了基于代理模型的飛行器多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究進(jìn)展；第4節(jié)探討了基于代理優(yōu)化的氣動(dòng)模型設(shè)計(jì)理論和方法目前面臨的問(wèn)題和挑戰(zhàn)，并給出了未來(lái)的研究方向建議。

表1 基于代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)領(lǐng)域的代表性團(tuán)隊(duì)及其研究工作Table 1 Representative teams and their research works relevant to surrogate-based aerodynamic shape optimization

續(xù)表

1 基于新型代理模型和新優(yōu)化機(jī)制的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究進(jìn)展

經(jīng)過(guò)近20年的研究和發(fā)展，基于代理模型的優(yōu)化方法研究目前已取得了長(zhǎng)足進(jìn)步[7,183]。多種新型代理模型被提出[69,208,245-246,253]，優(yōu)化理論和算法也得到不斷完善和發(fā)展[54-55，66,68,260-261]。然而，隨著飛行器設(shè)計(jì)指標(biāo)的不斷提升，設(shè)計(jì)變量規(guī)模不斷擴(kuò)大，代理優(yōu)化算法的發(fā)展遇到了瓶頸：由于氣動(dòng)特性對(duì)氣動(dòng)外形的變化往往十分敏感，所以氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)需要大量獨(dú)立設(shè)計(jì)變量來(lái)描述飛行器外形，是一個(gè)典型的高維優(yōu)化問(wèn)題，面臨維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題[7,26]。主要體現(xiàn)在：一方面，由于維數(shù)(設(shè)計(jì)變量數(shù))高，利用少量初始樣本點(diǎn)建立的代理模型不精確，導(dǎo)致新產(chǎn)生的樣本點(diǎn)序列收斂較慢，需要調(diào)用更多次CFD分析才能找到設(shè)計(jì)空間內(nèi)的最優(yōu)解；另一方面，精細(xì)化氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)CFD數(shù)值模擬可信度的要求不斷提升，正問(wèn)題的計(jì)算成本也不斷增加。這兩方面共同作用，導(dǎo)致代理優(yōu)化的計(jì)算量急劇增加，使其難以在有限的時(shí)間內(nèi)找到全局最優(yōu)解。

為了緩解飛行器精細(xì)化氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的維數(shù)災(zāi)難，進(jìn)一步提高代理優(yōu)化的效率，目前一般有兩種解決方案：一種方案是引入低可信度樣本數(shù)據(jù)[64-65,245]或梯度信息[69,252-253]來(lái)輔助建立代理模型，用更少的高可信度樣本，實(shí)現(xiàn)更高的全局代理模型精度，從而大幅度提高優(yōu)化效率。另一種方案是從優(yōu)化機(jī)制的角度，將代理優(yōu)化算法與并行計(jì)算技術(shù)相結(jié)合，發(fā)展一種基于代理模型的特殊優(yōu)化機(jī)制——非生物進(jìn)化，以充分運(yùn)用高性能計(jì)算機(jī)的大規(guī)模并行計(jì)算能力和代理模型對(duì)所用歷史樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)和再利用能力。這兩種方案都在緩解維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題方面具有重要作用，相關(guān)研究也成為了研究熱點(diǎn)之一。

本節(jié)將從變可信度代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化、結(jié)合代理模型和Adjoint方法的氣動(dòng)優(yōu)化、基于非生物進(jìn)化的并行氣動(dòng)優(yōu)化等3個(gè)方面進(jìn)行綜述。

1.1 基于變可信度代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

變可信度代理模型又稱變復(fù)雜度模型，其核心思想是使用大量低可信度樣本建模來(lái)反映函數(shù)正確變化趨勢(shì)，并采用少量高可信度樣本來(lái)對(duì)之進(jìn)行修正，從而大幅減少構(gòu)造精確代理模型所需的高可信度樣本點(diǎn)數(shù)，提高建模和優(yōu)化效率。

由于變可信度代理模型方法充分挖掘了高低可信度分析的優(yōu)勢(shì)，近年來(lái)已經(jīng)在優(yōu)化設(shè)計(jì)研究中取得成功應(yīng)用?，F(xiàn)有的基于變可信度代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以分為以下3類：

1) 基于修正的變可信度氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法以低可信度模型為基礎(chǔ)，通過(guò)乘法標(biāo)度、加法標(biāo)度或混合標(biāo)度的方式引入低可信度樣本數(shù)據(jù)，輔助構(gòu)建高可信度模型的近似模型。乘法標(biāo)度方法最早由Chang等提出[262]，可以用低可信度模型在局部近似高可信度分析的結(jié)果。后來(lái)，Alexandrov等[263]將其與置信域方法相結(jié)合，應(yīng)用于翼型和機(jī)翼的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[264-265]，顯著提高了優(yōu)化效率。加法標(biāo)度方法[266-269]相比于乘法標(biāo)度方法，能夠使低可信度模型全局地逼近高可信度分析函數(shù)，精度更高、魯棒性更好，因而逐漸得到更廣泛的使用。這兩種方法雖然都能提高精度，但是對(duì)于不同的問(wèn)題適用性不同。為此，人們又提出了混合標(biāo)度方法[270-271]。最簡(jiǎn)單的混合標(biāo)度方法是通過(guò)引入常系數(shù)對(duì)兩個(gè)修正因子進(jìn)行加權(quán)[272]，更一般的方式是采用混合橋函數(shù)方法[273]。本文作者等[252]對(duì)混合橋函數(shù)方法進(jìn)行了改進(jìn)，并引入了梯度等信息，提高了預(yù)測(cè)精度。需要說(shuō)明的是，基于修正的變可信度代理模型方法要求當(dāng)前迭代點(diǎn)的高低可信度函數(shù)滿足一階一致性條件[274]，并且通常要結(jié)合置信域方法來(lái)保證優(yōu)化的收斂性。

基于自適應(yīng)混合橋函數(shù)的變可信度代理模型表達(dá)式為

(2)

(3)

(4)

式(2)右邊第1項(xiàng)表示乘法標(biāo)度部分；第2項(xiàng)表示加法標(biāo)度部分；ω為自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)。具體的建模思路可參見(jiàn)文獻(xiàn)[252]。

2) 基于空間映射(Space Mapping, SM)的變可信度氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過(guò)改變低可信度函數(shù)的設(shè)計(jì)空間，使得低可信度函數(shù)的最優(yōu)解能夠逼近高可信度函數(shù)的最優(yōu)解。這樣只需在低可信度模型上進(jìn)行優(yōu)化，再通過(guò)高、低可信度函數(shù)的空間映射關(guān)系便可得到高可信度函數(shù)的近似最優(yōu)解。該方法最早由Bandler等[44]在1994年提出，給出了用于優(yōu)化的線性映射算法，后來(lái)又有人提出了漸進(jìn)空間映射(ASM)[275]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)空間映射(NSM)[276]、隱式空間映射(ISM)[277]等算法。Robinson等[102]提出了一種改進(jìn)的空間映射方法，并成功應(yīng)用于機(jī)翼和撲翼的變可信度氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。之后，Jonsson等[278]也將此方法用于跨聲速機(jī)翼氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

空間映射方法的核心思想在于生成合適的映射關(guān)系P：

φc=P(φf(shuō))

(5)

使得高、低可信度函數(shù)響應(yīng)值之差的范數(shù)≤某個(gè)小量ε：

(6)

(7)

3) 基于Co-Kriging模型和分層Kriging模型的變可信度氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。Co-Kriging是在Kriging模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，Kennedy和O’Hagan[279]首次將其應(yīng)用于工程科學(xué)領(lǐng)域。Co-Kriging模型基于貝葉斯理論，通過(guò)建立自回歸模型將不同可信度的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，利用交叉協(xié)方差來(lái)衡量不同可信度層之間的相關(guān)性。Co-Kriging模型的預(yù)估值表達(dá)式為

(8)

且y1、y2對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的靜態(tài)隨機(jī)過(guò)程：

(9)

Forrester等[27,280]和Kuya等[110]首次將上述Co-Kriging模型應(yīng)用于航空航天工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域。Huang等[281]在此基礎(chǔ)上發(fā)展了一種MFSKO(Multi-Fidelity Sequential Kriging Optimization)方法，給出了多可信度Kriging模型的建模理論，并將多層模型的超參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題分解為多個(gè)子問(wèn)題，提高了建模效率。Zimmermann和Han[282]對(duì)Co-Kriging模型的相關(guān)函數(shù)計(jì)算進(jìn)行了簡(jiǎn)化，使得需要訓(xùn)練的模型超參數(shù)只比Kriging模型多一個(gè)，大大提高了建模效率。本文作者等[250,283]又提出了一種更實(shí)用的Co-Kriging建模方法，將模型預(yù)測(cè)值定義為高低可信度樣本點(diǎn)的加權(quán)，并把模型方差從協(xié)方差矩陣中提取出來(lái)，最后通過(guò)氣動(dòng)預(yù)測(cè)和氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)算例驗(yàn)證了該方法的有效性。Zaytsev[284]將Co-Kriging模型進(jìn)行推廣，實(shí)現(xiàn)了任意多層可信度數(shù)據(jù)的引入。Chung[285]和Yamazaki[286]等將梯度信息作為一種低成本的輔助信息，引入到Co-Kriging的建模過(guò)程中，提出了一種梯度增強(qiáng)的Co-Kriging模型(GECK)。Co-Kriging方法同時(shí)采用高低可信度數(shù)據(jù)一次性建立了代理模型，其建模過(guò)程相比于基于修正的變可信度代理模型更加直接，但是高低可信度函數(shù)之間的交叉協(xié)方差計(jì)算使其建模的成本較大，限制了其在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[287]。

針對(duì)Co-Kriging模型不夠魯棒、建模效率低等問(wèn)題，本文作者[245]于2012年提出了一種更簡(jiǎn)單實(shí)用的分層Kriging模型(Hierarchical Kriging, HK)。依次建立低、高可信度層Kriging模型，并將低可信度模型的預(yù)估值直接作為全局趨勢(shì)函數(shù)引入到高可信度模型的建模中，有效避免了Co-Kriging模型交叉協(xié)方差難以計(jì)算的問(wèn)題，且模型提供的誤差估計(jì)更加合理。HK模型的基本假設(shè)如下：

(10)

在HK模型方法的后續(xù)研究中，Ha等[288]采用不同組合的高低可信度CFD數(shù)據(jù)建立分層模型，并通過(guò)翼型的變可信度優(yōu)化設(shè)計(jì)驗(yàn)證了該方法的可行性。Hu等[208]對(duì)HK模型進(jìn)行了改進(jìn)，他將原先反映高、低可信度函數(shù)之間的常數(shù)因子改為多項(xiàng)式響應(yīng)面的形式，從而能更準(zhǔn)確地表述高低可信度函數(shù)間的相關(guān)性，提高了HK模型的精度。宋超等[289]將樣本點(diǎn)處的梯度信息引入到HK模型中，建立了耦合梯度信息的GEHK模型，并應(yīng)用于RAE2822翼型的單點(diǎn)/多點(diǎn)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。本文作者[246]將分層Kriging模型推廣到任意多層，發(fā)展了一種多層Kriging模型(Multi-level Hierarchical Kriging, MHK)。該方法的核心思想是將較低可信度模型作為較高可信度模型的全局趨勢(shì)模型，遞歸式地從低到高依次建立不同可信度的Kriging模型，直到完成最高一層Kriging模型建模。文獻(xiàn)[246]開(kāi)展了基于MHK模型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)算例研究，與兩層的HK模型相比，優(yōu)化效率又得到進(jìn)一步提高，優(yōu)化結(jié)果也得到改善，如圖4所示。目前，HK方法已經(jīng)被國(guó)內(nèi)外的大量學(xué)者采用[290]。NASA著名的《CFD 2030愿景》報(bào)告[2]曾指出變可信度代理模型方法在飛行器設(shè)計(jì)中具有巨大發(fā)展?jié)摿?，其中HK方法作為一種具有代表性的方法被引用。

目前，國(guó)內(nèi)外針對(duì)變可信度代理優(yōu)化的加點(diǎn)準(zhǔn)則研究較少，通常將針對(duì)單可信度優(yōu)化發(fā)展的加點(diǎn)準(zhǔn)則直接應(yīng)用于變可信度優(yōu)化。這就意味著在優(yōu)化過(guò)程中只能增加高可信度的樣本點(diǎn)，沒(méi)有充分利用低可信度數(shù)據(jù)來(lái)提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。為此，Jo等[291]提出了一種根據(jù)現(xiàn)有高、低可信度樣本點(diǎn)分布的統(tǒng)計(jì)特征，建立動(dòng)態(tài)可信度指標(biāo)來(lái)指導(dǎo)調(diào)用高低可信度CFD分析的方法。Huang等[281]發(fā)展了一種適用于多層可信度優(yōu)化的改善期望加點(diǎn)準(zhǔn)則(Augmented EI, AEI)，該準(zhǔn)則可以合理選擇加點(diǎn)的可信度層及加點(diǎn)的具體位置。Mehmani等[292]提出了一種針對(duì)不同可信度分析模型的管理策略，利用模型轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)在優(yōu)化過(guò)程中合理地選擇不同的可信度模型。其核心思想是在最近一次加點(diǎn)后，判斷函數(shù)值改善量中模型誤差占據(jù)的比分大小，當(dāng)模型誤差占據(jù)的比分較大時(shí)，則會(huì)選擇高可信度CFD分析，否則進(jìn)行低可信度CFD分析。張瑜等[55]提出了一種針對(duì)分層Kriging模型的變可信度改善期望(Variable-Fidelity Expected Improvement, VFEI)加點(diǎn)準(zhǔn)則，可以自適應(yīng)地選擇對(duì)最優(yōu)值期望改善量最大的可信度層進(jìn)行加點(diǎn)，大幅提高了變可信度優(yōu)化的效率。圖5展示了基于VFEI準(zhǔn)則的ONERA M6跨聲速機(jī)翼氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，表明VFEI方法可以提高變可信度優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率[55]。

圖4 基于變可信度代理模型的ONERA M6機(jī)翼氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[246]Fig.4 Aerodynamic shape optimization of ONERA M6 wing using variable-fidelity surrogate models[246]

圖5 基于變可信度EI準(zhǔn)則的ONERA M6機(jī)翼氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[55]Fig.5 Aerodynamic shape optimization of ONERA M6 wing using variable-fidelity EI criterion[55]

1.2 結(jié)合代理模型和伴隨方法的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

將目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的梯度信息引入代理模型建模，建立梯度增強(qiáng)代理模型，以較小的額外計(jì)算代價(jià)，可以達(dá)到大幅提高代理模型精度的目的。

在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的梯度值可以通過(guò)Jameson教授發(fā)展的伴隨方法[13-14]來(lái)獲得。而一次梯度求解的計(jì)算量與一次流場(chǎng)控制方程求解的計(jì)算量基本相當(dāng)，所以總的計(jì)算量約相當(dāng)于2倍的流場(chǎng)計(jì)算量，并且與設(shè)計(jì)變量的數(shù)目基本無(wú)關(guān)。這樣一來(lái)，建立合理近似精度代理模型所需CFD計(jì)算量大幅減少，優(yōu)化效率得到顯著提升。2002年，Chung和Alonso[285]將梯度增強(qiáng)Kriging(Gradient-Enhanced Kriging, GEK)模型應(yīng)用于超聲速公務(wù)機(jī)的氣動(dòng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)中，自此梯度增強(qiáng)代理模型在氣動(dòng)設(shè)計(jì)優(yōu)化領(lǐng)域引起了人們的關(guān)注。根據(jù)Kriging模型和梯度信息的不同結(jié)合方法，可以將梯度增強(qiáng)Kriging模型分為間接GEK和直接GEK模型。

間接GEK方法[293]引入梯度信息的方式是采用一階泰勒展開(kāi)來(lái)獲得樣本點(diǎn)x(i)相鄰樣本點(diǎn)處的響應(yīng)值信息：

i=1,2,…,n;k=1,2,…,m

(11)

式中：ek是設(shè)計(jì)空間的正交基矢量。通過(guò)這樣的方法，某個(gè)樣本點(diǎn)處的m個(gè)偏導(dǎo)數(shù)值就變成了m個(gè)附加樣本點(diǎn)的響應(yīng)值，然后再基于這n×(m+1)個(gè)樣本點(diǎn)建立Kriging模型。間接GEK模型的主要缺點(diǎn)是建模的精度依賴于步長(zhǎng)Δxk的選取：如果步長(zhǎng)太小，則可能引起模型相關(guān)矩陣病態(tài)，而如果步長(zhǎng)太大又會(huì)產(chǎn)生較大的數(shù)值誤差。針對(duì)該問(wèn)題，Liu[294]采用最大似然估計(jì)法來(lái)獲得最優(yōu)的步長(zhǎng)。

而直接GEK方法將樣本點(diǎn)處的梯度作為函數(shù)響應(yīng)值以外的信息直接引入Kriging的建模樣本數(shù)據(jù)集中，并利用增廣的相關(guān)矩陣中交叉協(xié)方差項(xiàng)，來(lái)考慮函數(shù)響應(yīng)值與梯度或梯度與梯度之間的相關(guān)性。直接GEK的預(yù)測(cè)模型定義為

(12)

Laurenceau等[293-295]比較了Kriging、直接GEK、間接GEK模型對(duì)氣動(dòng)力預(yù)測(cè)的精度，發(fā)現(xiàn)在相同樣本點(diǎn)數(shù)下兩種GEK模型的精度都高于Kriging模型。Zimmermann[296]通過(guò)理論分析和數(shù)值算例，證實(shí)大多數(shù)情況下間接GEK的相關(guān)矩陣條件數(shù)都比直接GEK的大。此外，Laurent等[297]的數(shù)值算例表明間接GEK方法只在低維問(wèn)題中顯示出了與直接GEK方法相近的建模精度，而在高維問(wèn)題中的表現(xiàn)不如后者。

雖然GEK模型已在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到一些初步應(yīng)用，但也暴露出一些問(wèn)題，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：① 在優(yōu)化過(guò)程后期，新加的樣本點(diǎn)會(huì)聚集在最優(yōu)值附近，這會(huì)導(dǎo)致相關(guān)矩陣的病態(tài)，從而使得代理模型建模不準(zhǔn)確,GEK模型中梯度信息的引入使得相關(guān)矩陣病態(tài)的問(wèn)題更加嚴(yán)重，這一現(xiàn)象可能是導(dǎo)致基于GEK的代理優(yōu)化方法在優(yōu)化過(guò)程后期收斂速度變慢的原因之一；② 隨著設(shè)計(jì)變量的增加，GEK模型的相關(guān)矩陣規(guī)模急劇增大，模型訓(xùn)練的計(jì)算量大幅增長(zhǎng)，導(dǎo)致建模時(shí)間達(dá)到或超過(guò)了數(shù)值模擬分析本身的時(shí)間，同樣出現(xiàn)了維數(shù)災(zāi)難現(xiàn)象，大大限制了其在大規(guī)模設(shè)計(jì)變量飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的發(fā)展。

針對(duì)相關(guān)矩陣的病態(tài)問(wèn)題，許多研究者開(kāi)展了諸多研究工作。Dimond和Armstrong[298]通過(guò)理論分析和數(shù)值算例證實(shí)了相關(guān)矩陣的條件數(shù)會(huì)影響Kriging模型的魯棒性。Posa[299]考察了不同相關(guān)函數(shù)模型的選擇對(duì)相關(guān)矩陣條件數(shù)的影響，發(fā)現(xiàn)相比于其他相關(guān)模型，高斯相關(guān)模型更容易導(dǎo)致相關(guān)矩陣出現(xiàn)病態(tài)。隨后，Ababou等[300]通過(guò)大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)得出了與Posa[299]一致的結(jié)論，并認(rèn)為高斯相關(guān)函數(shù)無(wú)限可微的屬性，是造成相關(guān)矩陣條件數(shù)過(guò)大的原因。在最近的研究中，Zimmermann[301]在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證實(shí)了高斯相關(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)特性使得它更容易引起相關(guān)矩陣的病態(tài)。他還研究了Kriging相關(guān)矩陣的條件數(shù)與最大似然估計(jì)(超參數(shù)優(yōu)化)之間的聯(lián)系，并發(fā)現(xiàn)在采用高斯相關(guān)函數(shù)時(shí)，距離權(quán)重θk對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)最優(yōu)值往往靠近似然函數(shù)發(fā)散的區(qū)域，而似然函數(shù)的發(fā)散正是由相關(guān)矩陣條件數(shù)過(guò)大導(dǎo)致的[302]。

為了避免模型相關(guān)矩陣的病態(tài)，一種流行的做法是采用正則化方法，即在相關(guān)矩陣R的對(duì)角元素加上一個(gè)大于零的小量：

R′=R+δI

(13)

在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域，該方法又被稱作Nugget效應(yīng)[303]。通過(guò)引入一定程度的回歸，提高了插值結(jié)果的光順性，從而達(dá)到減小相關(guān)矩陣條件數(shù)的目的[299]。Ranjan等[304]利用相關(guān)矩陣條件數(shù)作為約束來(lái)確定δ的下界，并提出一種“迭代正則化”的數(shù)值策略來(lái)降低引入Nugget效應(yīng)對(duì)建模精度的影響。Peng和Wu[305]也采用相同方法確定δ的下界，并提出利用均方誤差最小來(lái)動(dòng)態(tài)確定該值的策略。Andrianakis和Challenor[306]研究了Nugget效應(yīng)對(duì)Kriging模型和似然函數(shù)的影響。

另一種避免相關(guān)矩陣病態(tài)的策略是在模型訓(xùn)練或超參數(shù)優(yōu)化的過(guò)程中，將相關(guān)矩陣的條件數(shù)作為約束，例如Won[307]和Johann[308]等將相關(guān)矩陣的條件數(shù)作為最大似然估計(jì)的一個(gè)約束：

maxL(θ)

s.t.k(R(θ))≤kmax

(14)

式中：L為超參數(shù)對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)；kmax即為相關(guān)矩陣條件數(shù)的上限。

有研究表明，直接GEK模型的相關(guān)矩陣條件數(shù)比間接GEK模型更小，但即便如此，直接GEK模型也往往比普通Kriging代理模型面臨更為嚴(yán)峻的相關(guān)矩陣病態(tài)的問(wèn)題[309]。目前，針對(duì)GEK模型相關(guān)矩陣病態(tài)的研究比較少，一般都采用與Kriging模型相同的正則化方法，例如一些研究者提出對(duì)函數(shù)值項(xiàng)和梯度項(xiàng)分別采用兩種正則化小量的思路[308,310]：

(15)

美國(guó)桑迪亞國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的Dalbey[311]提出了另一種解決思路：首先對(duì)相關(guān)矩陣?yán)眠x主元Cholesky分解方法，然后按照主元順序?qū)υ嚓P(guān)矩陣進(jìn)行重新排序，越靠后的樣本點(diǎn)信息重要性越低，最后通過(guò)從后向前剔除樣本點(diǎn)信息，來(lái)實(shí)現(xiàn)降低相關(guān)矩陣條件數(shù)的目的。他利用DAKOTA優(yōu)化工具箱進(jìn)行了數(shù)值建模實(shí)驗(yàn)，研究表明該方法降低了相關(guān)矩陣條件數(shù)，提高了GEK模型的建模精度。

針對(duì)GEK模型訓(xùn)練的計(jì)算量隨設(shè)計(jì)變量和樣本數(shù)量的增加而急劇增大的問(wèn)題，本文作者等[253]在2017年提出了一種加權(quán)梯度增強(qiáng)Kriging(Weighted Gradient-Enhanced Kriging, WGEK)模型。該方法將GEK模型轉(zhuǎn)化為一系列子GEK模型的疊加，每個(gè)子模型的樣本集由所有樣本點(diǎn)和其中一個(gè)樣本點(diǎn)在所有維度方向的梯度值組成。首先建立一系列相關(guān)矩陣規(guī)模小得多的子模型，然后將這些子模型加權(quán)起來(lái)，獲得所需的梯度增強(qiáng)代理模型。WGEK模型的預(yù)估值公式為

(16)

圖6 加權(quán)梯度增強(qiáng)Kriging(WGEK)模型與梯度增強(qiáng)Kriging(GEK)模型的建模時(shí)間對(duì)比[253]Fig.6 Comparison of correlation matrix decomposition efficiency (Flops) of WGEK and GEK models[253]

圖7 基于梯度增強(qiáng)代理模型的ONERA M6機(jī)翼壓力分布反設(shè)計(jì)(108個(gè)設(shè)計(jì)變量)[253]Fig.7 Inverse design for ONERA M6 wing using gradient-enhanced surrogate models (108 design variables)[253]

表2 基于梯度增強(qiáng)代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的代表性研究工作Table 2 Representative research works relevant to aerodynamic shape optimization based on gradient-enhanced surrogate model

1.3 基于非生物進(jìn)化的并行氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

對(duì)于傳統(tǒng)的代理優(yōu)化方法，每步更新代理模型時(shí)一般只采用一種加點(diǎn)準(zhǔn)則，且只增加一個(gè)新的樣本。即便是同時(shí)根據(jù)多種加點(diǎn)準(zhǔn)則選擇新樣本點(diǎn)，一次迭代新增的樣本點(diǎn)數(shù)仍然有限，嚴(yán)重制約了其在大規(guī)模并行優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。為此，研究人員發(fā)展了將代理優(yōu)化算法與并行計(jì)算技術(shù)相結(jié)合的方法，將優(yōu)化過(guò)程中產(chǎn)生的眾多中間設(shè)計(jì)方案分配到多個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)中進(jìn)行并行計(jì)算，可極大地加速優(yōu)化的迭代歷程，提高優(yōu)化效率。

基于代理模型的并行優(yōu)化算法與傳統(tǒng)生物進(jìn)化類全局優(yōu)化方法非常類似。為了區(qū)別起見(jiàn)，本文將上述方法稱為“基于代理模型的非生物進(jìn)化方法”。該方法能夠有效運(yùn)用高性能計(jì)算機(jī)的并行運(yùn)算能力和代理模型對(duì)所用歷史樣本數(shù)據(jù)的再利用能力，實(shí)現(xiàn)大規(guī)模并行優(yōu)化設(shè)計(jì)。該優(yōu)化機(jī)制運(yùn)用最小化代理模型預(yù)測(cè)(MSP)、改善期望(EI)、改善概率(PI)、均方誤差(MSE)、置信下界(LCB)等多種優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則，在代理模型更新迭代的每一步，選取任意多個(gè)樣本外形進(jìn)行CFD并行計(jì)算。其核心思想是在初始樣本(類似于初始種群)基礎(chǔ)上，利用所有已知樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)集建立代理模型，然后采用多種加點(diǎn)準(zhǔn)則分別獨(dú)立地選取任意個(gè)新樣本(類似于傳統(tǒng)進(jìn)化算法中的新種群)；重復(fù)這種進(jìn)化過(guò)程，直到產(chǎn)生的樣本序列收斂于優(yōu)化問(wèn)題全局最優(yōu)解。由于每一步優(yōu)化迭代過(guò)程可選取大量樣本，不僅可以在樣本之間進(jìn)行并行計(jì)算，每個(gè)樣本外形自身也可進(jìn)行網(wǎng)格分區(qū)并行計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)了真正意義上的大規(guī)模并行氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

在上述的算法框架中，優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則仍是核心機(jī)制。為了實(shí)現(xiàn)在每一步迭代過(guò)程中添加任意多個(gè)新樣本，亟需發(fā)展一類新的加點(diǎn)準(zhǔn)則。一般將這一類加點(diǎn)準(zhǔn)則稱為并行加點(diǎn)準(zhǔn)則(或多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則)。國(guó)內(nèi)外研究者已經(jīng)對(duì)并行加點(diǎn)準(zhǔn)則開(kāi)展了研究，提出了多種典型的并行加點(diǎn)準(zhǔn)則。根據(jù)其構(gòu)造原理，一般可以分為以下兩類：

1) 基于單一加點(diǎn)準(zhǔn)則的并行優(yōu)化方法。Chevalier和Ginsbourger[319]率先在EI準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上提出了“多元EI”準(zhǔn)則(q-EI)，可以在一步迭代中得到q個(gè)新樣本。但該方法的實(shí)現(xiàn)需要借助蒙特卡洛抽樣，并需要求解復(fù)雜的高維積分問(wèn)題，因此當(dāng)設(shè)計(jì)變量數(shù)目較多時(shí)計(jì)算成本會(huì)急劇增加，降低了工程實(shí)用性。出于降低計(jì)算成本的考慮，Ginsbourger等[320]又提出了“Kriging Believer(KB)”方法，其原理是將設(shè)計(jì)空間中EI最大值處用當(dāng)前Kriging模型的預(yù)測(cè)值作為虛擬的樣本響應(yīng)值，隨后建立虛擬代理模型，并再次尋找該虛擬新模型下的EI最大值點(diǎn)，上述過(guò)程不斷重復(fù)q-1次即可得到所需的q個(gè)新樣本點(diǎn)。由于在該過(guò)程中不需要重新訓(xùn)練模型參數(shù)，因此KB方法的計(jì)算成本相對(duì)較低。與之類似還有CL(Constant Liar)方法[320]。但是，研究表明，隨著單步迭代中添加新樣本數(shù)目的增多，這一類方法的優(yōu)化效果會(huì)隨之減弱[39]。近年來(lái)，Li等[321]借助于熵的概念，精確衡量了Kriging模型的不確定性，并據(jù)此提出了一種“EI&MI”準(zhǔn)則，也可以實(shí)現(xiàn)并行加點(diǎn)。Cai等[322]也提出了一種基于EI函數(shù)及其概率分布函數(shù)的多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則。

除了對(duì)EI準(zhǔn)則進(jìn)行拓展外，也可以針對(duì)EI函數(shù)自身的特點(diǎn)開(kāi)展研究。Sóbester等[323]提出了一種將EI函數(shù)上的多個(gè)局部最大值當(dāng)作新樣本的方法。但由于無(wú)法確定EI函數(shù)局部最優(yōu)解的個(gè)數(shù)，因此該方法無(wú)法保證每步迭代添加的樣本點(diǎn)數(shù)目相同，從而給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)不便。近年來(lái)Zhan等[324]對(duì)該方法做出了改進(jìn)。此外，F(xiàn)eng等[325]則從加權(quán)EI準(zhǔn)則的原理出發(fā)，提出了一種基于多目標(biāo)優(yōu)化的并行加點(diǎn)方法。其原理是將EI表達(dá)式中分別代表局部發(fā)掘和全局探索的兩項(xiàng)分別視作兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，求解此多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題便可得到一組Pareto解集，并從這組解集中選取任意多個(gè)點(diǎn)作為新樣本。

值得一提的是，除EI準(zhǔn)則外，其他常用的加點(diǎn)準(zhǔn)則(如PI準(zhǔn)則、LCB準(zhǔn)則等)也能加以改進(jìn)成為并行加點(diǎn)準(zhǔn)則。Jones等[56,326]曾指出，為PI準(zhǔn)則設(shè)定不同的目標(biāo)值即可實(shí)現(xiàn)添加多個(gè)新樣本的目的。與之類似的，Laurenceau等[295]也提出通過(guò)改變LCB準(zhǔn)則中的系數(shù)值來(lái)獲得多個(gè)新樣本。這一類方法雖然簡(jiǎn)單易行，但在實(shí)際情況中一般難以確定最合適的一組目標(biāo)或系數(shù)。Chaudhuri和Haftka[327]針對(duì)該問(wèn)題提出了使用PI準(zhǔn)則并自適應(yīng)選取合理目標(biāo)值的方法，取得了初步成效。Viana等[68]則提出了一種選取聯(lián)合PI函數(shù)上多個(gè)局部最大值作為新樣本的方法。數(shù)值算例表明，該方法的優(yōu)化效果隨著新樣本數(shù)的增加而減弱。

2) 多種加點(diǎn)準(zhǔn)則組合的并行優(yōu)化方法。Sekishiro等[328]首先提出了將基于EI準(zhǔn)則得到的新樣本和當(dāng)前代理模型最優(yōu)解(即MSP準(zhǔn)則)同時(shí)加入樣本集的方法，可以實(shí)現(xiàn)在一步迭代中添加兩個(gè)新樣本。研究表明，該方法對(duì)于氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)而言非常實(shí)用[329]。Hamza和Shalaby[330]隨后提出了一種同時(shí)使用3種加點(diǎn)準(zhǔn)則并結(jié)合KB方法添加新樣本的方法，可以在一步迭代中添加任意多個(gè)新樣本。Chaudhuri等[331]提出了一種同時(shí)使用EI準(zhǔn)則與多點(diǎn)PI準(zhǔn)則[66]的并行加點(diǎn)方法，并將其成功應(yīng)用于撲翼的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。Bischl等[332]則指出，可以將不同加點(diǎn)準(zhǔn)則的子優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)視作多個(gè)目標(biāo)并求解該多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，從而得到一組Pareto解集，并從中選取新樣本。相同的原理也可以推廣為使用多種代理模型，Viana等[68]就提出可以在同一組樣本集的基礎(chǔ)上建立不同代理模型，隨后分別使用EI準(zhǔn)則添加新樣本的方法，也可在一步迭代中得到多個(gè)新樣本。

為了將不同的加點(diǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行合理組合，劉俊等[53]首先系統(tǒng)地比較了各種加點(diǎn)準(zhǔn)則的異同，分析了其各自的優(yōu)缺點(diǎn)。隨后，在此基礎(chǔ)上提出了一種同時(shí)使用EI、PI、LCB與MSP 4種加點(diǎn)準(zhǔn)則的并行加點(diǎn)方法，實(shí)現(xiàn)了一步迭代添加4個(gè)新樣本的方法，并將其成功地應(yīng)用于一系列跨聲速機(jī)翼的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中[54]。從理論上講，每種加點(diǎn)準(zhǔn)則都有其內(nèi)在的優(yōu)缺點(diǎn)，而多種加點(diǎn)準(zhǔn)則的組合在某種程度上可以彌補(bǔ)各自的缺點(diǎn)，起到增加樣本多樣性的效果(類似于遺傳算法的交叉、變異機(jī)制)，因而可改善優(yōu)化質(zhì)量。研究結(jié)果表明，該方法相較于EI準(zhǔn)則，不僅優(yōu)化效率有顯著提高，優(yōu)化質(zhì)量也得到了改善。但由于受加點(diǎn)準(zhǔn)則種類的限制，該加點(diǎn)方法在每一步迭代中所能添加的新樣本數(shù)量無(wú)法任意給定，這無(wú)疑限制了其在大規(guī)模并行計(jì)算集群中的應(yīng)用。為此，汪遠(yuǎn)等[260]提出了一種改進(jìn)的組合并行加點(diǎn)準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)了可以使用多種加點(diǎn)準(zhǔn)則添加任意多個(gè)新樣本，進(jìn)而將這些新樣本分配至多個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)并行求解響應(yīng)值，從而大幅度提高優(yōu)化效率。該方法的優(yōu)化機(jī)制如下：

(17)

圖8給出了采用組合并行加點(diǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行代理優(yōu)化的流程[260]。圖9和表3展示了采用并行加點(diǎn)準(zhǔn)則方法對(duì)DLR-F4機(jī)翼進(jìn)行減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果，優(yōu)化中采用拉丁超立方抽樣生成50個(gè)初始樣本點(diǎn)，分別使用EI準(zhǔn)則、基于EI準(zhǔn)則的KB方法和組合并行加點(diǎn)準(zhǔn)則添加新樣本，樣本總數(shù)為300，整個(gè)優(yōu)化流程重復(fù)10次[260]。從優(yōu)化結(jié)果可知，組合并行加點(diǎn)準(zhǔn)則效果最佳。

圖8 基于非生物進(jìn)化機(jī)制的并行代理優(yōu)化算法流程[260]Fig.8 Framework of surrogate-based parallel optimization based on none-bio-inspired mechanism [260]

圖9 基于并行氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的DLR-F4機(jī)翼減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)[260]Fig.9 Drag minimization of DLR-F4 wing using parallel aerodynamic shape optimization [260]

表3 DLR-F4機(jī)翼減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比[260]Table 3 Comparison of drag minimization results for aerodynamic shape optimization of DLR-F4 wing [260]

2 代理優(yōu)化算法在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)前沿問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)展

2.1 基于代理模型的多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

為了應(yīng)對(duì)未來(lái)飛行器設(shè)計(jì)的需求，多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法逐漸成為氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究熱點(diǎn)之一。多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)與單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)在保證優(yōu)化設(shè)計(jì)的全局性和高效性上存在相同的矛盾，并且多目標(biāo)氣動(dòng)設(shè)計(jì)問(wèn)題往往具有更為復(fù)雜的設(shè)計(jì)空間，需要更多的樣本點(diǎn)，進(jìn)而需要付出更大的計(jì)算代價(jià)，極大限制了多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在實(shí)際工程問(wèn)題中的應(yīng)用。

多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型為

minf1(x),f2(x),…,fp(x)p≥2

w.r.t.xl≤x≤xu

(18)

式中：f(x)代表優(yōu)化目標(biāo)，可以是不同設(shè)計(jì)點(diǎn)的性能參數(shù)。當(dāng)采用傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行求解上述優(yōu)化模型時(shí)往往需要大量調(diào)用高可信度數(shù)值模擬，使得優(yōu)化設(shè)計(jì)成本大幅增加。為了提高多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率，基于代理模型的多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法逐漸得到發(fā)展和應(yīng)用。一種簡(jiǎn)單的思路是通過(guò)建立不同目標(biāo)的代理模型用以直接替代CFD分析，采用多目標(biāo)遺傳算法等傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化算法在代理模型上進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，評(píng)估優(yōu)化獲得的非支配解集作為設(shè)計(jì)結(jié)果[232-333]。然而，面對(duì)復(fù)雜外形多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，該方法需要大量的樣本點(diǎn)來(lái)建立足夠精確的代理模型。因此，亟需發(fā)展一種具備代理優(yōu)化機(jī)制的多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，來(lái)進(jìn)一步降低計(jì)算成本。

21世紀(jì)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外研究人員在基于代理模型的多目標(biāo)進(jìn)化方法領(lǐng)域已經(jīng)開(kāi)展了較深入研究，并取得了一些有意義的研究成果[334]。Knowles[335]提出了將高效全局優(yōu)化(EGO)方法與切比雪夫聚合方法相結(jié)合的ParEGO方法。在建立不同目標(biāo)的代理模型以后，每一次迭代時(shí)通過(guò)隨機(jī)選取目標(biāo)權(quán)重系數(shù)將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問(wèn)題尋優(yōu)，找到新樣本點(diǎn)用以更新代理模型。Keane[336]和Emmerich等[337]分別提出了Multi-EI和EHVI加點(diǎn)準(zhǔn)則，將原本用于單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的改善期望(EI)和改善概率(PI)推廣到了多目標(biāo)優(yōu)化中。Beume[338]和Ponweiser[339]等發(fā)展了SMS-EMOA和SMS-EGO方法，將最大化超體積因子作為子優(yōu)化目標(biāo)來(lái)指導(dǎo)加點(diǎn)。這些工作，雖然能夠提高傳統(tǒng)無(wú)代理模型輔助的多目標(biāo)優(yōu)化算法效率，但是在每次迭代中只添加一個(gè)新樣本點(diǎn)來(lái)更新代理模型，整個(gè)Pareto前沿不能在一次迭代中得到充分探索。為此，張青富等[340]將MOEA/D[341]與代理模型相結(jié)合，提出了MOEA/D-EGO方法。Lin[342]和Silver[343]等發(fā)展了類似的MOBO/D和s-MOEA/D方法。這些方法能夠在一次迭代中同時(shí)添加多個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)一步提高了優(yōu)化效率。最近，文獻(xiàn)[344]將4種典型的基于代理模型的多目標(biāo)進(jìn)化算法應(yīng)用于翼型的多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中進(jìn)行對(duì)比分析。

近年來(lái)，基于代理模型的多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在高升力翼型[345]、跨聲速翼型[85]、高超聲速飛行器寬速域翼型及機(jī)翼[261]、增升裝置[333]、熱交換器[346]、壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子[347]、超聲速壓氣機(jī)葉柵[348]、高超聲速乘波體[333]、再入式飛行器[349]等各類航空航天領(lǐng)域氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中得到了應(yīng)用。圖10為采用基于代理模型的多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，進(jìn)行某寬速域翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的Pareto前沿。

圖10 基于代理模型的高超聲速寬速域翼型多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)Fig.10 Multi-objective aerodynamic shape optimization of wide-Mach-number-range airfoil using surrogate-based approach

2.2 基于代理模型的混合反設(shè)計(jì)/優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

基于代理模型的混合反設(shè)計(jì)/優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，是一種將反設(shè)計(jì)方法與直接優(yōu)化設(shè)計(jì)相結(jié)合的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過(guò)借助高效全局的代理優(yōu)化算法，可在設(shè)計(jì)空間內(nèi)尋找兼顧反設(shè)計(jì)和直接優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)且滿足約束的飛行器氣動(dòng)外形。反設(shè)計(jì)方法通過(guò)目標(biāo)特征流場(chǎng)分布(如目標(biāo)壓力分布)，可以很好地運(yùn)用設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)流動(dòng)機(jī)理的認(rèn)識(shí)，但針對(duì)多目標(biāo)、多約束問(wèn)題顯得無(wú)能為力?；诖砟Ｐ偷闹苯觾?yōu)化設(shè)計(jì)則直接以氣動(dòng)性能指標(biāo)(如阻力系數(shù))為目標(biāo)，通過(guò)優(yōu)化算法自動(dòng)尋找性能最優(yōu)的外形。但搜索過(guò)程比較盲目，無(wú)法有效結(jié)合設(shè)計(jì)者的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)。為了兼顧兩種方法的優(yōu)勢(shì)，將反設(shè)計(jì)方法和代理優(yōu)化算法相結(jié)合，可使得優(yōu)化算法在追求全局氣動(dòng)性能最優(yōu)的同時(shí)保證局部流場(chǎng)特性良好。該方法的一般數(shù)學(xué)模型為

minfdir(x),finv(x)

w.r.t.xl≤x≤xu

(19)

式中：fdir(x)代表直接優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，可以是阻力等性能參數(shù)；finv(x)代表反設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，通常與局部壓力分布相關(guān)。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)適用于飛行器氣動(dòng)外形的混合反設(shè)計(jì)/優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究較少，大多數(shù)研究分屬于反設(shè)計(jì)和直接數(shù)值優(yōu)化設(shè)計(jì)這兩大類里面。20世紀(jì)80年代初，Garabedian和McFadden[350]發(fā)展出通用的反設(shè)計(jì)方法——GM(Garabedian-McFadden)。由于設(shè)計(jì)出的翼型在激波附近不能和目標(biāo)壓力分布吻合，Malone等[351]在GM方法基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，發(fā)展出MGM(Modified Garabedian-McFadden)方法。1984年，Takanashi[352]提出正反迭代-余量修正的反設(shè)計(jì)方法，其幾何修正量來(lái)源于求解跨聲速小擾動(dòng)方程。該方法由于其計(jì)算分析程序可隨意更換的優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛關(guān)注和使用。1987年，NASA蘭利研究中心的Campbell和Richard[353]提出DISC(Direct Iterative Surface Curvature)方法，又稱為流線曲率法,該方法核心在于提出翼型壓力系數(shù)的變化量通常正比于翼型表面曲率的改變量的觀點(diǎn)，并以此為基礎(chǔ)建立數(shù)學(xué)模型。進(jìn)入20世紀(jì)90年代，華俊等[354-355]對(duì)Takanashi的反設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了改進(jìn)，并成功應(yīng)用于跨聲速翼型和自然層流翼型的設(shè)計(jì)中。2003年，楊旭東等[356]將流場(chǎng)計(jì)算、共軛方程數(shù)值求解、敏感性導(dǎo)數(shù)求解和優(yōu)化算法4個(gè)方面進(jìn)行結(jié)合，發(fā)展出了一種針對(duì)機(jī)翼氣動(dòng)外形的反設(shè)計(jì)方法。同年，詹浩等[357]將只針對(duì)單獨(dú)翼面的余量修正方法發(fā)展到針對(duì)多翼面問(wèn)題，形成一種處理多翼面升力系統(tǒng)的余量修正設(shè)計(jì)方法。2008年，李焦贊等[358]通過(guò)對(duì)壓力分布進(jìn)行約束優(yōu)化，將優(yōu)化的壓力分布當(dāng)做反設(shè)計(jì)的目標(biāo)壓力分布并利用華俊等[355]改進(jìn)的正反迭代、余量修正的反設(shè)計(jì)方法進(jìn)行翼型設(shè)計(jì)，減少了人為經(jīng)驗(yàn)對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果的影響。2013年，白俊強(qiáng)等[359]在Gappy POD翼型反設(shè)計(jì)的快照采樣過(guò)程中，用壓力分布最接近目標(biāo)壓力分布的翼型替換基礎(chǔ)擾動(dòng)翼型，獲得了離目標(biāo)翼型更近的快照空間，有利于提高反設(shè)計(jì)的精度。此外，如前文所述，國(guó)內(nèi)外在基于代理模型的直接氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面也開(kāi)展了諸多相關(guān)研究。陳靜等[360]發(fā)展了基于代理模型的跨聲速自然層流翼型混合反設(shè)計(jì)/優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，采用該方法獲得的翼型升阻比較高，壓力分布形態(tài)也相對(duì)更穩(wěn)健,圖11為采用混合反設(shè)計(jì)/優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到的自然層流翼型的壓力分布。

總的來(lái)說(shuō)，基于代理模型的混合反設(shè)計(jì)/優(yōu)化設(shè)計(jì)方法還處于初步發(fā)展階段。該方法能夠充分發(fā)揮代理優(yōu)化算法和反設(shè)計(jì)方法的優(yōu)勢(shì)，既具有高效全局性，又能引入設(shè)計(jì)者的指導(dǎo)，體現(xiàn)“人在回路”的思想[139]，在飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域具有很大的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

圖11 基于代理模型的自然層流翼型混合反設(shè)計(jì)/優(yōu)化設(shè)計(jì)[360]Fig.11 Natural laminar flow airfoils using a surrogate-based hybrid inverse/optimization design method[360]

2.3 基于代理模型的穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

近年來(lái)大量試驗(yàn)研究已經(jīng)表明，流場(chǎng)激波、流動(dòng)的黏性效應(yīng)以及其引起的分離等復(fù)雜非線性流動(dòng)問(wèn)題，往往對(duì)馬赫數(shù)、迎角、氣動(dòng)外形的微小變化異常敏感。但由于在優(yōu)化設(shè)計(jì)中并未考慮這些不確定性因素的影響，可能導(dǎo)致優(yōu)化外形的氣動(dòng)特性隨工況/幾何外形的微小改變而劇烈變化，不符合工程實(shí)際使用需求。因此，如何設(shè)計(jì)出氣動(dòng)性能魯棒且優(yōu)良的外形是亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題。穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法(RDO)正是針對(duì)傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法單純追求最佳性能而魯棒性欠佳的問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的一類優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型主要分為最小化目標(biāo)均值和標(biāo)準(zhǔn)差、區(qū)間模型和最差性能改善3類。其中最小化目標(biāo)均值和標(biāo)準(zhǔn)差模型應(yīng)用最為廣泛，目的是同時(shí)減小優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(20)

式中：ξ=[ξ1,ξ2,…,ξnu]T為已知分布的nu個(gè)不確定變量；μ(x|ξ)和σ(x|ξ)分別為響應(yīng)值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，共同構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)f；μh表示等式約束的均值；μg表示不等式約束的均值。

由于穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中需要進(jìn)行不確定性量化(Uncertainty Quantification, UQ)，需要大量計(jì)算真實(shí)函數(shù)響應(yīng)值，所以相比于傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)，其計(jì)算量巨大。隨著代理模型技術(shù)的發(fā)展，在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中越來(lái)越多地使用代理模型來(lái)代替耗時(shí)的CFD計(jì)算，實(shí)現(xiàn)對(duì)氣動(dòng)外形的力系數(shù)、壓力分布的快速估算?；谶@一思路，在UQ過(guò)程中也可以采用計(jì)算成本較低的代理模型來(lái)代替計(jì)算代價(jià)昂貴的CFD分析，從而提高不確定性量化的效率。

2006年，Ong等[361]提出了在信賴域內(nèi)建立局部的代理模型以降低計(jì)算成本，從而輔助基于遺傳算法的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。2009年，Shimoyama等[362]使用Kriging模型和數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)對(duì)多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的穩(wěn)健性進(jìn)行預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)該方法可顯著降低計(jì)算成本，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。Dwight等[309]針對(duì)不確定變量較多且真實(shí)函數(shù)計(jì)算成本較高的問(wèn)題，在梯度增強(qiáng)的Kriging模型上使用稀疏網(wǎng)格技術(shù)進(jìn)行UQ分析，從而提高了效率和精度。Chatterjee等[363]詳細(xì)對(duì)比了不同代理模型在穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中的性能，雖然都能降低計(jì)算成本，提高穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率，但針對(duì)不同類型的問(wèn)題需要選取合適的代理模型。高正紅等[218]在對(duì)穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的綜述中指出，在UQ分析時(shí)使用代理模型輔助的蒙特卡洛方法能降低計(jì)算成本，在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)使用GEK模型可顯著提高代理優(yōu)化方法的精度和效率。

1998年，Drela[364]開(kāi)展了跨聲速翼型、低雷諾數(shù)自然層流翼型的多點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)，研究發(fā)現(xiàn)雖然多點(diǎn)設(shè)計(jì)能夠一定程度上改善設(shè)計(jì)翼型的穩(wěn)健性，但其結(jié)果具有局部性，翼型的氣動(dòng)特性會(huì)在多個(gè)單點(diǎn)較優(yōu)，而不是整個(gè)馬赫數(shù)變化區(qū)間內(nèi)都較優(yōu)。2002年，Huyse等[365]提出了最大/最小化期望和方差的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，該方法不僅能使翼型的性能全面提高，還可以顯著降低不確定性因素對(duì)翼型性能的影響。文獻(xiàn)[366]在Huyse最大化期望值思想的基礎(chǔ)上結(jié)合梯度優(yōu)化，提出了期望值最大化設(shè)計(jì)方法，開(kāi)展了翼型穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。Zhang等[367]提出了基于混沌多項(xiàng)式展開(kāi)模型的穩(wěn)健優(yōu)化方法，除了隨機(jī)不確定變量(馬赫數(shù)、迎角等)外，還首次將PCE方法應(yīng)用于認(rèn)知不確定性與混合不確定性的量化分析中。Rashad和Zingg[119]開(kāi)展了來(lái)流馬赫數(shù)不確定條件下的跨聲速層流翼型穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。Lewis等[368-369]開(kāi)展了基于多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化的數(shù)據(jù)處理方法研究，并將其應(yīng)用于旋翼的穩(wěn)健設(shè)計(jì)中。Lockwood等[370]使用梯度增強(qiáng)Kriging模型輔助的蒙特卡洛方法對(duì)繞圓柱體的高超聲速流動(dòng)進(jìn)行不確定性量化，該方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)能顯著降低計(jì)算成本。Yamazaki[371]使用變可信度Kriging模型開(kāi)展了來(lái)流馬赫數(shù)和迎角不確定情況下的翼型穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并展示了該方法的高效性和實(shí)用性。

此外，王元元等[372]開(kāi)展了馬赫數(shù)不確定條件下的翼型穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，借助改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立代理模型進(jìn)行UQ分析，并應(yīng)用于超臨界機(jī)翼的翼梢小翼設(shè)計(jì)中。馬東立等[373]采用基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型的UQ方法，開(kāi)展了考慮工況不確定性和幾何不確定性(扭轉(zhuǎn)角)的機(jī)翼穩(wěn)健設(shè)計(jì)。Shahbaz等[374]對(duì)基于Kriging模型輔助的UQ方法開(kāi)展研究，并將其應(yīng)用于馬赫數(shù)不確定條件下的ONERA M6機(jī)翼穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。圖12給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)前后機(jī)翼的阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)的變化趨勢(shì)，以及概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)的對(duì)比結(jié)果。鄔曉敬等[375]采用基于Kriging模型的優(yōu)化方法開(kāi)展了來(lái)流馬赫數(shù)不確定情況下跨聲速翼型的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。趙歡等[220]采用改進(jìn)的PCE方法進(jìn)行UQ分析，并基于代理優(yōu)化方法開(kāi)展了馬赫數(shù)和升力系數(shù)不確定條件下自然層流翼型的穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

圖12 基于代理模型的ONERA M6機(jī)翼穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)Fig.12 Surrogate-based robust aerodynamic shape optimization of ONERA M6 wing

3 基于代理模型的高效全局多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究進(jìn)展

3.1 基于代理模型的氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

飛行器設(shè)計(jì)除了考慮氣動(dòng)學(xué)科外，還涉及結(jié)構(gòu)、控制、推進(jìn)等多個(gè)學(xué)科，是一個(gè)多學(xué)科耦合的復(fù)雜系統(tǒng)性工程。例如在高亞聲速機(jī)翼設(shè)計(jì)中，氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)兩個(gè)學(xué)科的緊密耦合作用尤為突出，因而在設(shè)計(jì)之初就要考慮機(jī)翼氣動(dòng)彈性的影響。傳統(tǒng)的機(jī)翼設(shè)計(jì)方法，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給出期望的氣動(dòng)力分布，然后設(shè)計(jì)出能產(chǎn)生相同氣動(dòng)力分布的機(jī)翼型架外形。這樣經(jīng)驗(yàn)式的方法只能找到一個(gè)局部最優(yōu)或相對(duì)較好的機(jī)翼設(shè)計(jì)方案，而且僅適用于常規(guī)布局的機(jī)翼設(shè)計(jì)。機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以充分發(fā)揮氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)兩個(gè)學(xué)科間的耦合作用，使機(jī)翼獲得更大的升阻比和更高的結(jié)構(gòu)效率。

國(guó)外學(xué)者對(duì)機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究的比較早，取得了一系列的成果。美國(guó)學(xué)者Haftka[376]、Martins[377-380]、Alonso[381-382]等基于梯度優(yōu)化方法開(kāi)展了機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)的工作。歐洲的學(xué)者也發(fā)表了很多有關(guān)機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)優(yōu)化的文獻(xiàn)，如德國(guó)宇航局(DLR)[383-385]、荷蘭代爾夫特理工大學(xué)[386]等。

國(guó)內(nèi)學(xué)者也進(jìn)行了機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)的相關(guān)研究，主要分為梯度優(yōu)化[235,387]和代理優(yōu)化兩大類。由于代理優(yōu)化算法的高效性和全局性，在機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)方面受到研究人員的青睞。張科施等[388]建立了基于代理模型的多學(xué)科優(yōu)化框架，并對(duì)高亞聲速運(yùn)輸機(jī)機(jī)翼開(kāi)展了多目標(biāo)、多約束的氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的機(jī)翼具有更好的氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)綜合性能。之后，張科施等[389]證明針對(duì)高亞聲速運(yùn)輸機(jī)機(jī)翼進(jìn)行考慮氣動(dòng)彈性的優(yōu)化設(shè)計(jì)，比不考慮氣動(dòng)彈性的機(jī)翼優(yōu)化結(jié)果有較大性能提高。針對(duì)具有上萬(wàn)個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)力約束的機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，張科施等[390]提出一種采用約束累積的處理方法，顯著提高了代理優(yōu)化算法的大規(guī)模約束處理能力，提高了優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。薛飛等[391]采用基于響應(yīng)面的協(xié)同優(yōu)化方法，進(jìn)行了輕型飛機(jī)機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)。胡婕等[166]對(duì)客機(jī)機(jī)翼進(jìn)行氣動(dòng)外形和結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模，通過(guò)基于響應(yīng)面的兩級(jí)優(yōu)化方法求解機(jī)翼的氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計(jì)問(wèn)題，獲得升阻比和結(jié)構(gòu)重量最優(yōu)的解集。董波等[392]結(jié)合了基于非等熵全速勢(shì)方程的CFD方法與基于工程梁理論的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，采用序列二次規(guī)劃法，對(duì)由全局敏度方程構(gòu)造的近似系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，并驗(yàn)證了該方法的可行性。盧文書(shū)等[393]基于CFD/CSD耦合計(jì)算方法和Kriging模型，建立了大展弦比復(fù)合材料機(jī)翼靜氣動(dòng)彈性的近似模型并開(kāi)展優(yōu)化設(shè)計(jì)。李育超等[394]以運(yùn)輸機(jī)機(jī)翼為研究目標(biāo)，基于Kriging模型發(fā)展了在初步設(shè)計(jì)階段考慮氣動(dòng)彈性問(wèn)題的機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

圖13給出了采用代理優(yōu)化算法進(jìn)行氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)的典型流程。圖14給出了文獻(xiàn)[390]采用代理優(yōu)化算法和約束累積方法，處理含上萬(wàn)個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)力約束的氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果。

圖13 基于代理模型的氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)典型流程Fig.13 Typical framework of surrogate-based aerodynamic/structural design optimization

圖14 含有上萬(wàn)個(gè)約束的機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)(Ma = 0.76, Re = 2.77×107)[390]Fig.14 Wing aerodynamic/structural design optimization with more than ten thousands of constraints(Ma = 0.76, Re = 2.77×107)[390]

3.2 基于代理模型的氣動(dòng)/噪聲、氣動(dòng)/聲爆綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

隨著環(huán)保意識(shí)的增強(qiáng)，氣動(dòng)噪聲、聲爆等對(duì)環(huán)境和人類活動(dòng)的影響逐漸受到重視。然而，飛行器的噪聲、聲爆等聲學(xué)特性與氣動(dòng)性能往往是矛盾的。在保證飛行器氣動(dòng)性能的條件下，如何盡量降低噪聲、聲爆的影響，成為亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題。基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在兼顧氣動(dòng)性能與聲學(xué)特性的飛行器設(shè)計(jì)方面，展現(xiàn)出了良好的應(yīng)用前景。

在基于代理模型的氣動(dòng)/噪聲綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)針對(duì)旋翼、螺旋槳降噪開(kāi)展了一系列研究。宋文萍等[395-396]結(jié)合Ffowcs Williams-Hawkings方程和RANS方程求解器，采用代理優(yōu)化對(duì)旋翼翼尖形狀進(jìn)行了降噪優(yōu)化設(shè)計(jì)。招啟軍等[397]基于徑向基函數(shù)和遺傳算法等對(duì)旋翼翼尖形狀進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低了其高速脈沖噪聲。陳絲雨等[398]采用徑向基函數(shù)模型代替費(fèi)時(shí)的噪聲分析方法，并結(jié)合遺傳算法，開(kāi)展了剪刀式尾槳?dú)鈩?dòng)與噪聲特性綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)。Yang等[399]采用遺傳算法和Kriging代理模型方法優(yōu)化了懸停狀態(tài)下旋翼的翼尖外形，通過(guò)減弱槳尖激波強(qiáng)度，達(dá)到降低高速脈沖噪聲的目的。Wilke[400]采用變可信度代理模型對(duì)直升機(jī)旋翼進(jìn)行了氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。這些研究表明，代理優(yōu)化算法在氣動(dòng)與噪聲綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方面具有很大的應(yīng)用潛力。圖15和圖16為旋翼降噪優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果，設(shè)計(jì)過(guò)程中保證了拉力及懸停效率不減，總設(shè)計(jì)變量數(shù)為106個(gè)。

圖15 基于代理模型的旋翼氣動(dòng)/噪聲優(yōu)化設(shè)計(jì)收斂歷程[400]Fig.15 Convergence history of rotor aerodynamic/aeroacoustic design optimization using surrogate-based approach[400]

圖16 優(yōu)化設(shè)計(jì)前后旋翼外形及觀測(cè)點(diǎn)聲壓對(duì)比[400]Fig.16 Comparison of geometrical shapes and acoustic pressures for baseline and optimal rotors[400]

在氣動(dòng)/聲爆綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，Chung和Alonso[312]將代理優(yōu)化算法應(yīng)用于超聲速公務(wù)機(jī)的低聲爆優(yōu)化設(shè)計(jì)，其優(yōu)化目標(biāo)為阻力和遠(yuǎn)場(chǎng)聲爆過(guò)壓值。Chio等[266]為了降低計(jì)算成本，采用渦格法和粗細(xì)網(wǎng)格對(duì)飛機(jī)的氣動(dòng)力及聲爆響應(yīng)值建立了分層代理模型，并采用單純形方法進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。Kirz[401]基于代理模型對(duì)第二屆聲爆預(yù)測(cè)研討會(huì)的軸對(duì)稱標(biāo)模進(jìn)行低阻低聲爆優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化外形的地面感覺(jué)聲壓級(jí)降低了4.82 dB，阻力降低了2個(gè)阻力單元。喬建領(lǐng)等[402]基于代理優(yōu)化算法，對(duì)第一屆聲爆預(yù)測(cè)研討會(huì)的翼身組合體標(biāo)模開(kāi)展了低聲爆優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化外形的遠(yuǎn)場(chǎng)N波峰值降低了27.4%，波阻降低了5.4%。圖17和圖18所示為文獻(xiàn)[402]中對(duì)翼身組合體標(biāo)模進(jìn)行低聲爆優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果，經(jīng)過(guò)高精度的遠(yuǎn)場(chǎng)聲爆預(yù)測(cè)方法對(duì)優(yōu)化后外形進(jìn)行評(píng)估，展示了代理優(yōu)化算法在低聲爆優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用能力。

圖17 基于代理模型的翼身組合體低聲爆優(yōu)化設(shè)計(jì)收斂歷程[402]Fig.17 Convergence history of low-boom design optimization for a wing-body configuration using surrogate-based approach [402]

圖18 優(yōu)化設(shè)計(jì)前后翼身組合體外形及其遠(yuǎn)場(chǎng)聲爆波形對(duì)比[402]Fig.18 Comparison of shapes and far-field waveforms of baseline and optimum for low-boom design optimization for a wing-body configuration [402]

3.3 基于代理模型的氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

對(duì)于軍用飛行器而言，雷達(dá)隱身性能已成為先進(jìn)戰(zhàn)機(jī)的重要考量指標(biāo)。目前，實(shí)現(xiàn)雷達(dá)隱身的主要途徑有外形隱身技術(shù)、材料隱身技術(shù)和阻抗加載技術(shù)。其中，外形隱身技術(shù)是指通過(guò)改變飛行器的外形，從而在特定入射角范圍內(nèi)降低其RCS的設(shè)計(jì)技術(shù)。外形隱身技術(shù)是實(shí)現(xiàn)飛行器隱身的根本，是決定飛行器隱身性能的首要因素。然而，飛行器外形也是產(chǎn)生氣動(dòng)力和決定飛行器機(jī)動(dòng)性能的重要因素。一般而言，氣動(dòng)性能和隱身性能對(duì)飛行器外形的要求存在矛盾，例如只考慮隱身性能的F-117A攻擊機(jī)，其氣動(dòng)性能極差。

何開(kāi)鋒等[403-404]提出采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、模糊邏輯模型、Kriging模型等代理模型建立氣動(dòng)性能目標(biāo)函數(shù)、隱身性能目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的近似函數(shù)，從而無(wú)需使用面元法和物理光學(xué)法等數(shù)值方法求解氣動(dòng)性能和目標(biāo)雷達(dá)散射截面(RCS)值，提高了氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。王明亮等[405]開(kāi)展了氣動(dòng)與隱身性能計(jì)算精度對(duì)飛行器外形設(shè)計(jì)的影響研究，研究表明采用低精度計(jì)算模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的外形難以獲得最佳的性能，采用高精度計(jì)算模型優(yōu)化可以獲得性能更優(yōu)的外形但計(jì)算量較大，優(yōu)化效率需要提高。張彬乾[406]和焦子涵[407]等采用RBF模型進(jìn)行氣動(dòng)性能、隱身性能的預(yù)測(cè)，用Pareto多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行了飛翼布局內(nèi)外翼段翼型氣動(dòng)/隱身多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。張德虎等[227]發(fā)展了基于雙層代理模型(DSM)的飛翼布局無(wú)人機(jī)氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，將回歸型代理模型和插值型代理模型分別作為第1層和第2層代理模型，結(jié)合回歸型代理模型反映全局分布和插值型代理模型局部精確擬和的優(yōu)點(diǎn)，提高了代理模型預(yù)測(cè)精度。汪遠(yuǎn)[408]采用代理優(yōu)化方法對(duì)某飛翼布局無(wú)人機(jī)構(gòu)型開(kāi)展了氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)，包括內(nèi)翼段翼型與全機(jī)巡航構(gòu)型的設(shè)計(jì)。龍騰等[191]針對(duì)翼型氣動(dòng)/隱身多目標(biāo)優(yōu)化中存在的計(jì)算量大、權(quán)重難以確定等問(wèn)題提出了基于自適應(yīng)徑向基函數(shù)代理模型和高效多目標(biāo)規(guī)劃策略的優(yōu)化方法。

圖19～圖21[408]展示了采用代理優(yōu)化算法，對(duì)飛翼無(wú)人機(jī)內(nèi)翼段翼型進(jìn)行氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果。經(jīng)過(guò)兩輪優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終外形的氣動(dòng)性能和前向±30°角域內(nèi)的RCS分布都有明顯改善，展示了代理優(yōu)化算法在氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用潛力。

圖19 基于代理模型的飛翼無(wú)人機(jī)內(nèi)翼段翼型氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)收斂歷程[408]Fig.19 Convergence history of aerodynamic/stealth design optimization for inner-wing section airfoil of a flying-wing UAV using surrogate-based approach[408]

圖20 氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)前后翼型RCS對(duì)比(前向±30°照射，頻率=1 GHz，垂直極化)[408]Fig.20 Comparison of RCSs of baseline and optimum for aerodynamic/stealth design optimization (radar wave from ±30° angular region in the front, frequency=1 GHz, vertical polarization)[408]

圖21 氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)前后翼型散射電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)比(沿正前向照射，頻率=1 GHz，垂直極化)[408]Fig.21 Comparison of electric-fields scattering around baseline and optimum airfoil for aerodynamic/stealth design optimization (radar wave from the front of airfoil, frequency=1 GHz, vertical polarization)[408]

4 存在的問(wèn)題和未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)

本文以飛行器精細(xì)化氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題為背景，探討了基于代理模型的高效全局優(yōu)化設(shè)計(jì)方法這一前沿研究領(lǐng)域的現(xiàn)狀和最新進(jìn)展。首先，重點(diǎn)討論了基于新型代理模型和新優(yōu)化機(jī)制的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究進(jìn)展。其次，介紹了代理模型在飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域若干前沿問(wèn)題中的應(yīng)用研究。最后，綜述了基于代理模型的多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究進(jìn)展。

通過(guò)對(duì)400多篇文獻(xiàn)的綜述，認(rèn)為目前代理優(yōu)化所面臨的關(guān)鍵問(wèn)題及主要挑戰(zhàn)包括：

1) “維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題。近10年來(lái)，代理優(yōu)化算法在優(yōu)化效率、質(zhì)量和魯棒性方面取得了長(zhǎng)足進(jìn)步，已經(jīng)從最初只能解決20維左右的氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，發(fā)展到可以解決100維以內(nèi)機(jī)翼、翼身組合體和更復(fù)雜外形的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。但是對(duì)于超過(guò)100個(gè)設(shè)計(jì)變量的更高維優(yōu)化問(wèn)題，其效率顯著降低，仍然面臨巨大挑戰(zhàn)。

2) 氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的多極值特性問(wèn)題。氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)空間的多極值特性，對(duì)于算法選擇具有重要影響。例如，已有研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于超臨界翼型和變剖面的跨聲速機(jī)翼減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)(如ADODG的Case 4)，由于主要是減激波阻力，因而認(rèn)為它不是一個(gè)多極值問(wèn)題。但是，對(duì)于需要同時(shí)減小激波阻力和黏性阻力的問(wèn)題(如自然層流翼型或機(jī)翼設(shè)計(jì))，或變平面形狀(如ADODG的Case 6)，以及設(shè)計(jì)變量變化范圍較大的氣動(dòng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，多極值特性還是很明顯的。對(duì)于這些多極值優(yōu)化問(wèn)題，需要進(jìn)一步提高代理優(yōu)化算法的全局搜索能力。

3) 變可信度代理優(yōu)化算法的泛化問(wèn)題。實(shí)際工程設(shè)計(jì)都會(huì)采用不同可信度的分析方法，因而變可信度優(yōu)化設(shè)計(jì)無(wú)疑具有很大發(fā)展?jié)摿?。但是，現(xiàn)有方法的泛化能力明顯不足。雖然有大量文章發(fā)表，但對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題，如果使用不當(dāng)，優(yōu)化效果可能很不理想。正因如此，變可信度優(yōu)化方法目前還主要停留在實(shí)驗(yàn)室研究階段，并沒(méi)有在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中得到較廣泛應(yīng)用。如何提高其泛化能力，發(fā)展合理低可信度模型選擇方法、更高精度代理模型建模和更有效的變可信度優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則，是其中需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

4) 梯度增強(qiáng)代理模型的矩陣規(guī)模和條件數(shù)大的問(wèn)題。將Adjoint方法計(jì)算的低成本梯度信息與代理模型相結(jié)合，是一種解決高維優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題非常具有潛力的方法。雖然目前GEK模型的理論和算法已經(jīng)基本成熟，但在復(fù)雜外形氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面表現(xiàn)卻并不理想。主要有兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是相關(guān)矩陣規(guī)模過(guò)大，導(dǎo)致訓(xùn)練時(shí)間過(guò)長(zhǎng)；二是相關(guān)矩陣條件數(shù)大，導(dǎo)致優(yōu)化后期效果變差。

5) 大規(guī)模并行氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。多種加點(diǎn)準(zhǔn)則組合的并行優(yōu)化方法，可以在每一代優(yōu)化迭代時(shí)選擇任意多個(gè)新樣本。這些樣本之間可以并行計(jì)算，樣本自身也可以通過(guò)計(jì)算網(wǎng)格分區(qū)進(jìn)行CFD的并行求解，從而實(shí)現(xiàn)大規(guī)模的并行優(yōu)化。但目前該方法還處于發(fā)展初期，今后需要采用萬(wàn)核以上的大規(guī)模并行計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。同時(shí)優(yōu)化算法也還有較大的改進(jìn)空間。特別是對(duì)于設(shè)計(jì)空間呈超多極值、高度非線性、強(qiáng)烈振蕩等特性的復(fù)雜氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，還需要進(jìn)一步提高算法的效率和魯棒性。

6) 數(shù)值噪聲及如何濾除的問(wèn)題。由于不同樣本外形的CFD計(jì)算可能未充分收斂或各個(gè)樣本外形計(jì)算網(wǎng)格分布存在不一致性，使得CFD求解結(jié)果可能帶有不同幅值和頻率的數(shù)值噪聲。這將對(duì)代理優(yōu)化的效率和結(jié)果產(chǎn)生重要影響。另外，對(duì)于結(jié)合Adjoint方法的梯度增強(qiáng)代理模型，其梯度計(jì)算結(jié)果的數(shù)值噪聲將會(huì)對(duì)代理模型的建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)產(chǎn)生重要影響。

經(jīng)過(guò)大量文獻(xiàn)調(diào)研和分析，認(rèn)為今后在基于代理模型的高效全局氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法方面值得開(kāi)展的研究方向如下：

1) 針對(duì)“維數(shù)災(zāi)難”現(xiàn)象，結(jié)合代理模型和Adjoint方法是最具潛力的發(fā)展方向之一。其中，如何突破梯度增強(qiáng)代理模型在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)后期效果不理想的問(wèn)題，成為需要重點(diǎn)解決的問(wèn)題。例如，發(fā)展濾除函數(shù)和梯度數(shù)值噪聲的方法，發(fā)展基于梯度的新型加點(diǎn)準(zhǔn)則，發(fā)展大型相關(guān)矩陣的并行分解技術(shù)，都是非常有意義的研究方向。

2) 結(jié)合代理優(yōu)化和基于伴隨方法的梯度優(yōu)化方法各自的優(yōu)勢(shì)，發(fā)展混合優(yōu)化策略。如先采用較少的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行基于代理模型的全局優(yōu)化，然后進(jìn)一步在所得的最優(yōu)解基礎(chǔ)上提高設(shè)計(jì)變量數(shù)，并采用梯度方法進(jìn)行優(yōu)化，是一種值得研究的實(shí)用方法。

3) 研究發(fā)展具有更好泛化能力的變可信度優(yōu)化方法。例如，文獻(xiàn)[246]采用不同疏密網(wǎng)格的CFD計(jì)算作為高低可信度分析模型，如果再進(jìn)一步引入文獻(xiàn)[55]的變可信度加點(diǎn)方法，將可能形成一種具有很好泛化能力的“多層網(wǎng)格加速優(yōu)化方法”。

4) 引入最新發(fā)展的機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)融合等人工智能算法，結(jié)合數(shù)據(jù)庫(kù)技術(shù)，研究發(fā)展新型代理模型和新的優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則。

5) 發(fā)展更有效的多目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法?；趶埱喔唤淌谔岢龅腗OEA/D方法的思想，將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題分解成若干單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，從而可以采用目前發(fā)展比較成熟的單目標(biāo)代理優(yōu)化算法進(jìn)行求解，也是非常有前景的發(fā)展方向。

6) 針對(duì)穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)效率低的問(wèn)題，需要發(fā)展更有效的不確定性量化方法和基于代理模型的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

7) 將代理優(yōu)化算法應(yīng)用于復(fù)雜系統(tǒng)全局多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，包括具有大規(guī)模設(shè)計(jì)變量和大規(guī)模約束，且各學(xué)科之間具有復(fù)雜耦合關(guān)系的工程設(shè)計(jì)問(wèn)題。