不同截面形狀下彈性支撐多跨梁振動特性分析

鮑四元，周靜

蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011

0 引 言

梁結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于各種工程，例如建筑、航空航天、船舶領(lǐng)域等。船舶由板和梁構(gòu)成，在船舶的振動分析中，需要用到梁的振動特性。黃強(qiáng)等[1]將船體簡化成了一根兩端完全自由、質(zhì)量和剛度沿長度分布不均勻的變截面梁，并針對其振動時(shí)的彈性變形進(jìn)行了研究。

許多學(xué)者都對梁結(jié)構(gòu)的振動問題進(jìn)行過研究和分析。Abbas[2]使用有限元法對含彈性邊界的Timoshenko 梁的自由振動問題進(jìn)行了求解。Chung[3]綜合利用傅里葉級數(shù)和拉格朗日乘子，提出了一種在經(jīng)典邊界條件下梁固有頻率和模態(tài)的計(jì)算方法。鄒佩等[4]通過擬小波-精細(xì)時(shí)程積分方法，針對結(jié)構(gòu)離散后將單跨梁振動問題轉(zhuǎn)化為常微分方程組的問題進(jìn)行了求解。曾文平等[5]提出采用多辛Hamilton 形式分析梁的振動方程，最后運(yùn)用數(shù)值例子說明了理論分析的正確性。王其申等[6]采用差分法對多跨梁差分離散系統(tǒng)固有振動的基本振蕩特性予以了推導(dǎo)。劉向堯等[7]建立了3 種常見梁（歐拉梁、瑞利梁和Timoshenko 梁）的自由振動模型，并應(yīng)用參數(shù)變易法進(jìn)行分析，推導(dǎo)出了自由振動的頻率方程。Zhang 等[8]基于有限差分模型建立了Hencky 鏈桿模型（Hencky Bar-chain Model，HBM）并推導(dǎo)出了HBM 法的頻率公式，首次提出采用HBM 法和有限差分法（Finite Difference Mthod，F(xiàn)DM）分析帶有內(nèi)部彈性彈簧的屈曲載荷和振動頻率。張振果等[9]采用變量分離結(jié)合傳遞矩陣的方法導(dǎo)出了梁的特征方程，闡述了具有不等跨度、可變橫截面以及不連續(xù)性任意性梁的幾何特征。陳小超等[10]建立了廣義函數(shù)空間內(nèi)軸向力作用彈性基礎(chǔ)下不連續(xù)歐拉梁的振動微分方程，研究了附加質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動慣量對梁—質(zhì)量塊系統(tǒng)的影響。

然而，以上所研究的有關(guān)自由振動問題的方法大多具有一定的局限性，例如有些只能作定性研究，有些只能求解特定的邊界條件等。Li[11]提出了一種函數(shù)的改進(jìn)傅立葉級數(shù)形式，即在傳統(tǒng)的傅里葉級數(shù)形式中添加4 項(xiàng)正弦函數(shù)，該形式的優(yōu)勢在于能夠完全消除函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在端點(diǎn)的不連續(xù)問題。周渤等[12]基于改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法(IFSM)進(jìn)行了連續(xù)多跨梁結(jié)構(gòu)的振動特性分析。周海軍等[13]運(yùn)用IFSM 方法對軸系的橫向振動特性進(jìn)行了研究。史冬巖等[14]基于IFSM方法，研究了正交各向異性薄板的橫向自由振動問題。Bao 等[15-16]基于IFSM 方法，對環(huán)扇形板和矩形板的面內(nèi)自由振動問題予以了研究。

為了研究多跨梁的自由振動問題，本文擬采用一種異于文獻(xiàn)[12]的新型IFSM 方法來表示梁位移函數(shù)，以避免彈性邊界下多跨梁端部不連續(xù)的問題。首先，將位移函數(shù)代入拉格朗日方程，結(jié)合瑞利—里茲方法，將自由振動問題化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣特征值形式；然后，利用Mathematica 軟件進(jìn)行編程，求得各階的頻率和振型。

1 含彈性支撐多跨梁振動的計(jì)算模型

1.1 幾何模型

圖1 所示為跨內(nèi)含彈性支撐多跨梁振動的計(jì)算模型圖。梁總長度為L，跨數(shù)為p。在梁的左、右兩端分別設(shè)置了橫向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧用來模擬邊界條件，并通過設(shè)定橫向彈簧的剛度系數(shù)來模擬中間彈性支撐條件。左端邊界的橫向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧分別為k1和K1，右端邊界的橫向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧分別為kp+1和Kp+1，從左至右中間彈性支撐的橫向彈簧的剛度系數(shù)分別為k2，k3，…，kp。當(dāng)邊界條件為固支邊界時(shí)，需將橫向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度值同時(shí)設(shè)為無窮大（例如，取1014EI，其中EI為截面的彎曲剛度）；當(dāng)邊界條件為自由邊界時(shí)，將橫向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度值取0 即可；當(dāng)橫向彈簧和旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度系數(shù)取有限值時(shí)，即可模擬彈性約束邊界條件。

圖 1 含彈性支撐的多跨梁模型Fig. 1 Multi-span beam model with elastic supports

1.2 位移函數(shù)的表示

對于含彈性支撐的梁結(jié)構(gòu)，因?yàn)榱旱恼駝臃匠虨樗碾A微分方程，所以采用傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)表示的位移函數(shù)在邊界處會出現(xiàn)不連續(xù)的問題。為了消除梁端各力學(xué)變量的不連續(xù)性，文獻(xiàn)[12]基于無窮項(xiàng)余弦函數(shù)疊加4 項(xiàng)正弦函數(shù)，采用改進(jìn)傅里葉級數(shù)來表示彎曲位移函數(shù)。

不同于文獻(xiàn)[12]，本文將采用無窮項(xiàng)正弦函數(shù)疊加4 項(xiàng)余弦函數(shù)的形式，即適用于任意彈性支撐條件梁撓度的新型改進(jìn)傅里葉級數(shù)為

式中：x∈[0,L]；an為待定常數(shù)； λn=nπ/L。

式（1）可稱為改進(jìn)的傅里葉正弦級數(shù)，現(xiàn)有的文獻(xiàn)在改進(jìn)傅里葉正弦級數(shù)方面研究較少。文獻(xiàn)[11]指出，用傅里葉正弦級數(shù)或傅里葉余弦級數(shù)展開位移函數(shù)時(shí)均收斂，故本文基于改進(jìn)傅里葉正弦級數(shù)來研究多跨梁的振動問題。

對于圖1 所示含有p段的多跨梁，一般應(yīng)將各段梁撓度假設(shè)成不同的撓度函數(shù)[7-9,12-13]，但為簡便起見，本文采用適合于整段梁的撓度函數(shù)。經(jīng)分析可知，當(dāng)采用式（1）時(shí)，中間彈性支撐處的位移和轉(zhuǎn)角都是連續(xù)的；且當(dāng)中間彈性支撐兩側(cè)的剛度EI相同時(shí)，彎矩和剪力也是連續(xù)的。

在物理意義上，由于橫向彈簧的存在會導(dǎo)致中間彈性支撐處的梁剪力出現(xiàn)不連續(xù)的情況，因此本文模型引入了整段梁的彎曲位移函數(shù)w（x），而未采用分段函數(shù)，這是一種近似處理。如果w（x）在整段梁上處處連續(xù)，則其一階導(dǎo)數(shù)（對應(yīng)于截面轉(zhuǎn)角）和二階導(dǎo)數(shù)（對應(yīng)于截面彎矩）均能在整段梁上處處連續(xù)，這與實(shí)際情況是一致的。實(shí)際上，模型中w（x）的三階導(dǎo)數(shù)（對應(yīng)于截面剪力）也是處處連續(xù)的，但中間彈性支撐處的梁剪力有突變，這種與實(shí)際情況不一致所導(dǎo)致的頻率值誤差較小。后文的算例結(jié)果也能反映出，采用適合整段梁的撓度函數(shù)能夠較好地求解多跨梁的自由振動問題。

對于圖1 所示的彈性支撐多跨梁結(jié)構(gòu)，存在如下3 部分勢能：

式中：Vp為多跨梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能；Vs1為多跨梁結(jié)構(gòu)邊界處模擬彈簧的彈性勢能；Vs2為多跨梁結(jié)構(gòu)中間彈性支撐處支撐彈簧的彈性勢能；E為彈性模量；I為截面慣性矩。

不考慮約束彈簧的質(zhì)量，含彈性支撐的多跨梁的動能最大值為

式中：S為梁的橫截面面積；ρ為梁的質(zhì)量密度；ω為圓頻率。

多跨梁結(jié)構(gòu)的拉格朗日函數(shù)[17]定義為

式中：Vmax為多跨梁結(jié)構(gòu)的總勢能最大值；Tmax為多跨梁結(jié)構(gòu)的總動能最大值。

將式（1）～式（5）代入拉格朗日函數(shù)中，由瑞利—里茲法，拉格朗日函數(shù)應(yīng)對式（1）中的各待定系數(shù)取極值，即

在實(shí)際計(jì)算中，式（1）中的位移級數(shù)不可能取無窮大，現(xiàn)將式（1）中n的最大值取為m。由式（7）可得到m+5 個線性方程組，矩陣化得

式中：K為剛度矩陣；M為質(zhì)量陣；A為式（1）所示新型改進(jìn)傅里葉級數(shù)中由未知系數(shù)組成的列向量，即

式（8）非零解的條件為

求解該矩陣特征值問題，即可得到任意邊界約束條件下帶有彈簧支撐的多跨梁結(jié)構(gòu)的固有頻率。將每個固有頻率所對應(yīng)的特征向量代入式（1），即可得多跨梁的模態(tài)。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

采用Mathematica 軟件進(jìn)行編程求解。在以下敘述中，將簡支邊界記為S，自由邊界記為F，固支邊界記為C。

2.1 新型改進(jìn)傅里葉級數(shù)下單跨梁收斂性

算例1。由于在新型改進(jìn)傅里葉級數(shù)中，位移級數(shù)在計(jì)算過程中不可能取無窮大，因此截?cái)鄶?shù)m的取值大小關(guān)系到本文結(jié)果的收斂性。為保證收斂性，選取S-S 邊界下單跨梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行收斂性分析。其中，無量綱固有頻率定義如下：

表1 給出了單跨梁隨截?cái)鄶?shù)m變化時(shí)的前6 階無量綱頻率。根據(jù)表1，圖2 示出了截?cái)鄶?shù)與頻率之間的折線圖。

由圖2 可知，為保證本文方法的收斂性，單跨梁的截?cái)鄶?shù)一般取m=8 即可。由下文的算例可知，截?cái)鄶?shù)的合理值與跨數(shù)p和頻率階數(shù)有關(guān)，其取值隨跨數(shù)和階數(shù)頻率的增加而增大。在下文的算例中，3 跨梁時(shí)取m=10，5 跨梁時(shí)取m=12，8 跨梁時(shí)取m=18，10 跨梁時(shí)取m=22。

表 1 S-S 邊界不同截?cái)鄶?shù)時(shí)的前6 階頻率Table 1 The first six frequencies for different truncation numbers under the S-S boundary

圖 2 截?cái)鄶?shù)與頻率之間的折線圖Fig. 2 Line chart between truncation numbers and frequencies

2.2 不同截面下雙跨梁的振動特性分析

算例2?？紤]在中點(diǎn)處設(shè)置支撐的雙跨懸臂梁，此時(shí)p=2，模型圖如圖3 所示。梁的長度為1 m，梁的截面為實(shí)心矩形截面，截面的寬和高為b×h=0.1 m×0.1 m，材料密度為7 850 kg /m3，彈性模量E=2.06 ×1011Pa。為模擬鏈桿，式（4）中，支撐橫向彈簧的剛度值取為1014。計(jì)算得到含中間鏈桿支撐的前9 階固有頻率如表2 所示，并與文獻(xiàn)[7]中的數(shù)值解進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示，誤差在1.5%之內(nèi)，驗(yàn)證了本文方法的正確性。圖4所示為中點(diǎn)鏈桿支撐的雙跨懸臂梁的前2 階模態(tài)圖。

另外，為考察其他形狀截面梁的振動特性，選取了工字形和T 形2 種截面，分別如圖5 和圖6所示。當(dāng)工字形截面的B×H=0.05 m×0.12 m，b×h=0.04 m×0.08 m，T 形截面的B=0.05 m，H=0.12 m，b/2=0.02 m，h=0.02 m 時(shí)，其前9 階頻率也列于表2 中。由式（10）可知，對同種材料組成的多跨梁結(jié)構(gòu)，如果改變截面形狀，則其振動的固有頻率與成正比。

圖 3 矩形截面雙跨梁模型Fig. 3 Double-span beam model of rectangular section

表 2 C-F 邊界梁含中間鏈桿支撐前9 階固有頻率Table 2 The first nine natural frequencies of C-F boundary beam with intermediate chain support

圖 4 雙跨懸臂梁模態(tài)Fig. 4 The modal of double-span cantilever beam

圖 5 工字形截面Fig. 5 I-shaped sectionn

圖 6 T 形截面Fig. 6 T-shaped section

當(dāng)雙跨懸臂梁的中間鏈桿支撐從最左端移動到最右端，即鏈桿支撐離最左端邊界的距離a從0 m 變化到1 m 時(shí)，其前2 階固有頻率的變化情況如表3 所示，并與已有結(jié)果（根據(jù)文獻(xiàn)[7]提供的解析頻率方程計(jì)算）進(jìn)行了比較，誤差在允許范圍內(nèi)。由表3 可以看出：隨著a的不斷增大，懸臂梁的第1 階固有頻率不斷增大，當(dāng)a增大至接近右端邊界時(shí)，固有頻率開始逐漸減小；第2 階固有頻率在到達(dá)中間位置前不斷增大，過了中間位置以后，開始逐漸減小。

表4 給出了兩端簡支和兩端固支邊界條件下，含中間鏈桿的支撐梁隨鏈桿位置a變化時(shí)其前2 階固有頻率變化情況。圖7 所示為以上2 種邊界雙跨梁自由振動的前2 階固有頻率隨鏈的支撐位置變化的折線。

從圖7 可以看出：對于兩端簡支和兩端固支的梁，同懸臂梁類似，其第1 階固有頻率也是隨著a的增加而不斷增大，但當(dāng)a＞0.5 m 時(shí)，隨著a的增加，第1 階固有頻率逐漸減小；而第2 階固有頻率在鏈桿位于左半側(cè)時(shí)，是隨著a的增加先增大后減小，當(dāng)鏈桿位于梁的右半側(cè)時(shí)則是隨著a的增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。

表 3 C-F 邊界雙跨梁的前2 階固有頻率隨鏈桿位置的變化Table 3 Variation of the first two natural frequencies of C-F boundary double-span beam with the location of chain bar

表 4 S-S 和C-C 邊界雙跨梁前2 階固有頻率隨鏈桿位置的變化Table 4 Variation of the first two natural frequencies of S-S and C-C boundaries double-span beam with location of chain bar

圖 7 雙跨梁前2 階固有頻率隨支撐位置變化圖Fig. 7 Variation of the first two natural frequencies of double-span beam with location of chain support

2.3 不同截面下多跨梁的振動特性分析

算例3。研究含中間彈性支撐多跨梁的固有頻率。選取邊界條件為簡支邊界，梁的總長度L=1 m，等截面直徑d=0.01 m，質(zhì)量密度ρ=0.5 kg/m3，彈性模量E=2.02×1011Pa；彈性支撐彈簧分別取2，4，7，9 個，并恰好把梁分為若干相等段。圖8 所示為10 跨梁示意圖。表5 給出S-S 邊界梁的若干固有頻率，其中彈性支撐的橫向彈簧剛度值均取107。同時(shí)，表5 還給出了當(dāng)p=3 或5 時(shí)其前6 階固有頻率，以及當(dāng)p=8 或10 時(shí)其前10 階固有頻率。經(jīng)對比，可知表5 所示結(jié)果與文獻(xiàn)[18]中的頻率結(jié)果一致。工字形和T 形截面選取算例2 的截面尺寸。圖9 和圖10 分別為3 跨與5 跨圓形截面前2 階模態(tài)示意圖。

圖 8 圓形截面10 跨梁模型圖Fig. 8 The model of a ten-span beam with circular section

表 5 S-S 邊界多跨梁的前10 階固有頻率Table 5 The first ten natural frequencies of S-S boundary multi-span beam

圖 9 3 跨梁模態(tài)圖Fig. 9 The modal of a three-span beam

采用算例3 中梁的數(shù)據(jù)。在C-C 邊界多跨梁下，p=3，5，8，10 時(shí)其前2 階頻率隨彈性支撐剛度值變化的固有頻率如表6 所示。由表6 可知，任意p跨梁的前2 階頻率都是隨著中間彈性支撐剛度值的增大而不斷增加的，當(dāng)增大達(dá)到一定限值（即鏈桿支撐）后，頻率基本保持不變；隨著跨數(shù)p的增加，彈性支撐梁的前2 階固有頻率逐漸減小。

圖 10 5 跨梁模態(tài)Fig. 10 The modal of a five-span beam

表 6 不同彈性支撐剛度值時(shí)C-C 邊界多跨梁的前2 階固有頻率Table 6 The first two natural frequencies of C-C boundary multi-span beam with different elastic support stiffness values

3 結(jié) 論

本文基于改進(jìn)傅里葉級數(shù)法，通過瑞利—里茲法對含有多個彈性支撐的多跨梁的振動特性予以了求解，所提方法具有如下特點(diǎn)：

1） 本文采用的是梁位移函數(shù)的新型傅里葉級數(shù)形式，即在傅里葉正弦級數(shù)的基礎(chǔ)上疊加若干項(xiàng)余弦函數(shù)。

2） 本文方法的優(yōu)勢在于不需要針對各分段子梁分別假設(shè)撓度函數(shù)，只需對全梁假設(shè)一個近似位移函數(shù)即可，大大簡化了振動分析時(shí)的計(jì)算。

3） 本文方法不局限于特定邊界，對任意彈性邊界梁均適用。

本文所提方法程序編制簡單、計(jì)算精度高，與已有文獻(xiàn)結(jié)果間的誤差一般在1.5%以內(nèi)，對工程應(yīng)用中多跨梁的振動特性分析具有良好的參考價(jià)值。