混合非凸非光滑正則化約束的模糊圖像盲復(fù)原

耿源謙，吳傳生，劉 文

（1. 武漢理工大學(xué)理學(xué)院，武漢430070； 2. 武漢理工大學(xué)航運(yùn)學(xué)院，武漢430063；3. 交通物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（武漢理工大學(xué)），武漢430063）

（?通信作者電子郵箱wenliu@whut.edu.cn）

0 引言

在圖像的成像過(guò)程中，由于成像設(shè)備與被拍攝物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)等原因，獲得的圖像會(huì)存在一定的模糊現(xiàn)象。近年來(lái)，隨著便攜式成像設(shè)備在日常生活、醫(yī)療、通信、視頻監(jiān)控、太空探索等各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，如何從捕獲到的模糊圖像中復(fù)原出清晰圖像，從而為其他領(lǐng)域提供高質(zhì)量的圖像成為了圖像處理領(lǐng)域亟待解決的問(wèn)題。因此，研究圖像復(fù)原有著重要意義。

圖像復(fù)原根據(jù)模糊核是否已知可分為非盲復(fù)原和盲復(fù)原。圖像非盲復(fù)原是已知模糊圖像和模糊核的情況下，估計(jì)出清晰圖像；而盲復(fù)原則是僅由觀測(cè)到的模糊圖像復(fù)原出清晰圖像。在實(shí)際生活中得到的模糊圖像的模糊核往往是未知的，所以圖像盲復(fù)原更加符合實(shí)際情況。圖像盲復(fù)原是一種病態(tài)的反問(wèn)題，為解決此類(lèi)不適定問(wèn)題，往往需要借助一些額外的先驗(yàn)知識(shí)對(duì)模糊核和清晰圖像進(jìn)行正則化約束。因此，建立合適準(zhǔn)確的正則項(xiàng)是正則化方法成功的關(guān)鍵。

早年間一些方法認(rèn)為，大多數(shù)清晰圖像的梯度近似服從一種嚴(yán)重的重尾分布，而模糊圖像梯度不具有這樣的分布，并將該性質(zhì)作為清晰圖像的正則化約束進(jìn)行圖像復(fù)原［1-2］。Fergus 等［1］在多尺度復(fù)原框架下提出一種零均值的混合高斯分布來(lái)近似圖像梯度重尾分布的特性；同時(shí)，采用混合指數(shù)分布來(lái)擬合模糊核的稀疏性。Shan等［2］提出一種分段函數(shù)的方法來(lái)近似這種重尾分布；然后對(duì)模糊核采用L1范數(shù)進(jìn)行稀疏約束。2011 年，Krishnan 等［3］利用L1/L2范數(shù)對(duì)自然圖像梯度添加正則化稀疏先驗(yàn)，而對(duì)于模糊核則采用與Shan 等［2］相似的方法來(lái)約束模糊核的稀疏特性。2016年，Pan等［4］發(fā)現(xiàn)模糊圖像的暗通道不具有稀疏性，提出了基于暗通道的圖像先驗(yàn)。隨后，Yan 等［5］在暗通道基礎(chǔ)上結(jié)合圖像亮通道，提出了混合亮暗通道先驗(yàn)。近年來(lái)，基于圖像梯度的稀疏性，常利用圖像梯度的L0范數(shù)［6-9］來(lái)加強(qiáng)模糊核估計(jì)的精度，這種方法模型簡(jiǎn)單，在保證精度的同時(shí)還提升了運(yùn)算速度。但進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，不僅一階圖像梯度存在稀疏性，二階情況下也同樣存在［10-13］。除了基于正則化的圖像復(fù)原方法，深度學(xué)習(xí)作為一種有效的工具已被應(yīng)用到模糊圖像復(fù)原問(wèn)題當(dāng)中［14-18］。這一方法需要大量的樣本數(shù)據(jù)，因不同場(chǎng)景下的模糊圖像復(fù)原問(wèn)題存在較強(qiáng)的特異性，很大程度上限制了深度學(xué)習(xí)方法在模糊圖像盲復(fù)原領(lǐng)域的應(yīng)用。同時(shí)，基于深度學(xué)習(xí)的模糊圖像復(fù)原方法不能夠有效處理模糊程度較大的情況。因此，本文將基于圖像先驗(yàn)的正則化方法開(kāi)展模糊圖像盲復(fù)原研究。

客觀地說(shuō)，研究“動(dòng)點(diǎn)路線問(wèn)題”就是追蹤點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線，這種路線就是符合某些條件的所有點(diǎn)的集合，本質(zhì)上就是軌跡問(wèn)題.初中“點(diǎn)的集合”體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一個(gè)方面是平面幾何中的“集合”，如角平分線、線段垂直平分線、圓(或圓弧);另一方面是“函數(shù)的圖像”，坐標(biāo)滿足一定函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)的集合就是該函數(shù)的圖像，初中主要有“一次函數(shù)—直線”、“反比例函數(shù)—雙曲線”和“二次函數(shù)—拋物線”.

綜上分析，現(xiàn)存方法大多對(duì)清晰圖像只進(jìn)行了單一的正則化約束，因此不能準(zhǔn)確地表達(dá)出其內(nèi)在特性，從而降低了復(fù)原圖像的質(zhì)量。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出一種混合正則化約束的模糊圖像盲復(fù)原方法。大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明所提方法在定量和定性評(píng)價(jià)指標(biāo)上都具有更好的性能。

1 混合正則化模糊核估計(jì)模型

圖像模糊退化過(guò)程的數(shù)學(xué)模型為:

其中:B 表示模糊圖像；I 為清晰圖像；k 為模糊核；n 為加性噪聲；“?”表示卷積算子。由于圖像盲復(fù)原是一類(lèi)病態(tài)反問(wèn)題，現(xiàn)存方法常利用圖像的先驗(yàn)知識(shí)來(lái)改善其不適定性。其中基于極大后驗(yàn)分布（Maximum a-Posteriori，MAP）框架下的模糊核估計(jì)模型為:

其中:γ，λ 為正則項(xiàng)參數(shù)；D(I，k，B)為數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)；Φk(k)和ΦI(I)分別為模糊核和清晰圖像的先驗(yàn)分布。由式（2）可知，如何正確選取模糊核和圖像的先驗(yàn)知識(shí)是基于MAP 框架下復(fù)原技術(shù)的關(guān)鍵。

1.1 模糊核估計(jì)模型

首先，結(jié)合模糊核稀疏性的特點(diǎn)，采用模糊核L0范數(shù)正則項(xiàng)對(duì)模糊核進(jìn)行稀疏約束，與現(xiàn)有的模糊核稀疏約束方法［2-3］相比，本文則采用L0范數(shù)進(jìn)行稀疏約束。眾所周知，L0范數(shù)可以很好地解釋稀疏性，但由于L0范數(shù)在優(yōu)化上存在非凸和非光滑的特性，現(xiàn)存很多方法都將L0范數(shù)轉(zhuǎn)化為它的最優(yōu)凸近似L1范數(shù)進(jìn)行求解。為解決L0范數(shù)最小化的NP問(wèn)題，本文采用交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）將其化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題，該算法能夠保證每個(gè)子問(wèn)題都有閉合解，進(jìn)而估計(jì)出準(zhǔn)確的模糊核。然后，基于圖像梯度的稀疏性，提出了混合梯度稀疏約束的方法，即混合一階和二階圖像梯度的L0范數(shù)。與單一的稀疏約束方法相比，本文算法能較好地保留圖像結(jié)構(gòu)特征和細(xì)節(jié)?；旌险齽t化的模糊核估計(jì)模型如下:

本文提出的模糊核估計(jì)方法基于傳統(tǒng)的MAP 框架，因此可分為如下兩步來(lái)計(jì)算:1）模糊核估計(jì)；2）清晰圖像梯度估計(jì)。

《燕丹子》以在秦漢之際流傳頗廣的荊軻刺秦故事為題材，敘述戰(zhàn)國(guó)燕太子丹為報(bào)質(zhì)秦之仇和解社稷之危，募得壯士荊軻入秦，陛刺秦王。主要情節(jié)可分為逃歸、募士、刺秦三節(jié)，涉及有名有姓的人物達(dá)10人之多，而以太子丹和荊軻為主。

上述樣品均加溶劑適量，機(jī)械振搖至分散均勻，再超聲處理10 min使溶解，放冷，用溶劑稀釋至刻度，搖勻，離心，濾過(guò)，取續(xù)濾液進(jìn)樣，記錄色譜圖。

1.2 數(shù)值計(jì)算

1.2.1 模糊核估計(jì)

國(guó)內(nèi)高校旅游管理專(zhuān)業(yè)中，重點(diǎn)本科院校以理論學(xué)習(xí)為主，旅游管理專(zhuān)業(yè)所涉及的管理類(lèi)課程較多，專(zhuān)業(yè)課程也基本以基礎(chǔ)課為主，注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)術(shù)科研思維，培養(yǎng)學(xué)生的管理能力，實(shí)踐環(huán)節(jié)所占的比重比較低，缺少實(shí)習(xí)過(guò)程，如華東師范大學(xué)、廈門(mén)大學(xué)等。招收普通本科的院?；径疾扇×死碚搶W(xué)習(xí)與實(shí)踐相結(jié)合的方式，人才培養(yǎng)方案當(dāng)中實(shí)踐教學(xué)所占比重在30%左右，多數(shù)學(xué)校采用“理論學(xué)時(shí)+實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)”的課程安排，注重實(shí)習(xí)尤其是頂崗實(shí)習(xí)的作用，讓學(xué)生走進(jìn)企業(yè)，直接參與企業(yè)的生產(chǎn)管理活動(dòng)，如臨沂大學(xué)、濰坊學(xué)院等。

對(duì)兩組患者在臨床治療過(guò)程中的血糖情況進(jìn)行檢測(cè)和比較，同時(shí)對(duì)患者的神經(jīng)疼痛度通過(guò)VAS評(píng)分[5]進(jìn)行評(píng)價(jià)，最高為10級(jí)，等級(jí)越高表示疼痛度越高[6]。同時(shí)對(duì)患者的血糖指標(biāo)情況進(jìn)行對(duì)比，從護(hù)理前后的餐后2小時(shí)進(jìn)行比較。對(duì)患者的用藥依從性進(jìn)行對(duì)比，其中用藥依從性采用本院自制依從性評(píng)定量表進(jìn)行評(píng)定，總分100分，依從性等級(jí)分為3級(jí)，分為完全依從（70～100分）、部分依從（40～70）和不依從（0～40分）三個(gè)等級(jí)，分?jǐn)?shù)越高表示患者的依從性越高，在臨床上能夠更好的按照醫(yī)生的要求來(lái)進(jìn)行相關(guān)的活動(dòng)。

在模糊核估計(jì)過(guò)程中，給出已知的?It，模糊核在第t + 1次的外部循環(huán)中的優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)于求解如下問(wèn)題:

為獲取此非凸非光滑優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解，采用ADMM［19］對(duì)其進(jìn)行求解。首先引入輔助變量w，將此無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題（4）轉(zhuǎn)化為如下的帶約束優(yōu)化問(wèn)題:

此時(shí)，可得此帶約束優(yōu)化問(wèn)題（13）的增廣拉格朗日函數(shù)為:

為適應(yīng)藥物制劑學(xué)的發(fā)展需要，本校在藥學(xué)、中藥學(xué)、臨床藥學(xué)三個(gè)本科專(zhuān)業(yè)同時(shí)開(kāi)設(shè)了藥用高分子材料學(xué)課程。本課程主要研究各種藥用高分子材料的來(lái)源、制備、結(jié)構(gòu)與性質(zhì)、應(yīng)用等內(nèi)容，為藥物新劑型設(shè)計(jì)與新劑型處方提供新型高分子材料和新方法。該課程在大四第一學(xué)期設(shè)置，旨在使學(xué)生了解藥用高分子材料學(xué)的基本理論和藥物研發(fā)、藥品生產(chǎn)中常用的高分子材料的性能和應(yīng)用，初步利用相關(guān)知識(shí)理解和研究高分子材料在一般藥物制劑、緩釋制劑、控釋制劑及新型藥物傳遞系統(tǒng)中的應(yīng)用；進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)藥劑學(xué)課程的學(xué)習(xí)與實(shí)踐，深入理解高分子材料在藥品研發(fā)和生產(chǎn)中的重要地位[3]。

其中:ζ表示拉格朗日乘子；ρ1為懲罰因子。

利用ADMM 將式（6）分解為兩大子問(wèn)題的優(yōu)化求解，即k子問(wèn)題和w子問(wèn)題。接下來(lái)，對(duì)k子問(wèn)題和w子問(wèn)題進(jìn)行交替求解，并更新拉格朗日乘子ζ直至結(jié)果按要求收斂到最優(yōu)解。

在第s+ 1 次潛在圖像梯度內(nèi)循環(huán)中，當(dāng)固定變量(Ys，Zs)和(ξs，φs)時(shí)，?I子問(wèn)題可表示為如下問(wèn)題:

在第s+ 1次的模糊核內(nèi)循環(huán)中，固定ws和ζs時(shí)，k的子問(wèn)題可表示為:

因此，針對(duì)w 子問(wèn)題，可通過(guò)硬閾值算子（Hard-Thresholding operator）Γ得到該子問(wèn)題的數(shù)值解為:

乙醇濃度對(duì)AB-8大孔樹(shù)脂解吸的影響：已吸附飽和的樹(shù)脂分別用體積分?jǐn)?shù)為20%、40%、60%、80%和100%的乙醇溶液進(jìn)行洗脫，靜態(tài)解析時(shí)用100 mL乙醇解析3 h，動(dòng)態(tài)解析時(shí)用100 mL乙醇以1 mL/min的流速?zèng)_柱洗脫，記錄洗脫的花色苷溶液的濃度。

其中:F表示傅里葉變換；F-1表示逆傅里葉變換。

2）w子問(wèn)題的求解。

當(dāng)固定變量kt，s+1和ζs時(shí)，w 子問(wèn)題是一類(lèi)典型的帶L0正則化項(xiàng)的最小二乘問(wèn)題:

其中:s= 0，1，…，Smax表示模糊核內(nèi)循環(huán)次數(shù)，并且每次內(nèi)循環(huán)中kt，0= kt，kt，Smax= kt+1。kt，s+1可通過(guò)最小二乘問(wèn)題解決:

其中:Γa，b(x)= sign(max(|x|- 2a b，0))°x 表示硬閾值算子；sign(?)表示符號(hào)函數(shù)。

3）ζ拉格朗日乘子更新。

在每一次交替迭代過(guò)程中，為保證數(shù)值求解過(guò)程的穩(wěn)定性，拉格朗日乘子更新如下:

其中:τ為迭代步長(zhǎng)，本文取τ = 1.618。

綜上所述，針對(duì)非凸非光滑的模糊核估計(jì)模型（4），本文提出了一種基于ADMM 的數(shù)值優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解。首先，通過(guò)引入輔助變量w，將無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶約束優(yōu)化問(wèn)題，并得到其增廣拉格朗日函數(shù)；然后，通過(guò)固定相應(yīng)的變量將原問(wèn)題分解為k 子問(wèn)題和w 子問(wèn)題；最后，利用快速傅里葉變換對(duì)k子問(wèn)題進(jìn)行迭代求解，并根據(jù)硬閾值算子求得w子問(wèn)題的數(shù)值解。

(3) 隨著圍巖彈性模量的增加，地表沉降值逐漸減小。圍巖彈性模量為 400 MPa、800 MPa 和1 200 MPa時(shí)，最大地表沉降值分別為 1.8 mm、3.5 mm 和 6.2 mm。

構(gòu)建一個(gè)線上展廳，此展廳涵蓋：新疆博湖縣大型節(jié)日的時(shí)間地點(diǎn)、安排節(jié)日期間需要展示的非遺商品，以視頻展示該節(jié)日當(dāng)日盛況。

中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究所出版的“中國(guó)科技論文統(tǒng)計(jì)源期刊”，又稱(chēng)“中國(guó)科技核心期刊”，學(xué)科范疇主要為自然科學(xué)領(lǐng)域，是目前國(guó)內(nèi)比較公認(rèn)的科技統(tǒng)計(jì)源期刊目錄。其受科技部委托，權(quán)威性名列國(guó)內(nèi)首位 。2018年11月，中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究所公布了《2018年版中國(guó)科技期刊引證報(bào)告(核心版)》，《中國(guó)安全生產(chǎn)科學(xué)技術(shù)》再次被收錄。

兒童來(lái)生信念與父母來(lái)生信念得分以及死亡話題親子談話的相關(guān)矩陣如表5所示。BA量表總分與兒童來(lái)生信念總分有顯著負(fù)相關(guān)，說(shuō)明父母越相信存在死后生活，他們的孩子越傾向認(rèn)為死后功能繼續(xù)。PDCA量表總分與知覺(jué)問(wèn)題、情緒問(wèn)題、愿望問(wèn)題以及兒童來(lái)生信念測(cè)量的總分有顯著負(fù)相關(guān)，說(shuō)明父母與兒童談?wù)撍劳鰰r(shí)的越多地使用描述死后生活、心理狀態(tài)的詞匯，他們的孩子越傾向認(rèn)為死后功能繼續(xù)。

同樣采用ADMM 算法對(duì)問(wèn)題（12）進(jìn)行求解，求解過(guò)程同1.2.1節(jié)。

首先引入輔助變量Y和Z，將此無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題（12）轉(zhuǎn)化為如下的帶約束優(yōu)化問(wèn)題:

此時(shí)，可得此帶約束優(yōu)化問(wèn)題（5）的增廣拉格朗日函數(shù)為:

其中:(ξ，φ)表示拉格朗日乘子；(ρ2，ρ3)為懲罰因子。

同理，利用ADMM 算法將問(wèn)題（14）分解為兩大子問(wèn)題的進(jìn)行優(yōu)化求解，即?I子問(wèn)題和(Y，Z)子問(wèn)題。接下來(lái)，將?I子問(wèn)題和(Y，Z)子問(wèn)題進(jìn)行交替求解，并更新拉格朗日乘子(ξ，φ)直至結(jié)果按要求收斂到最優(yōu)解。

1）?I子問(wèn)題的求解。

1）k子問(wèn)題的求解。

A段旋律是一條小小的拋物線，旋律從低到高，再?gòu)母叩降停罡咭羰枪潭ㄒ舾咝∽侄M的2，最低音到達(dá)固定音高的小字一組的2。A段旋律停在主音上。接著一個(gè)八度的大跳進(jìn)行到了B段的b1，b1在“沖開(kāi)封建家庭的牢籠，去尋求自由的愛(ài)情，去尋求自由的愛(ài)情”這三句是第三拍的節(jié)奏的后半拍開(kāi)始，節(jié)奏以八十六為主，增強(qiáng)了歌曲的力度，表現(xiàn)了子君沖破牢籠的決心。接下來(lái)節(jié)奏用長(zhǎng)音加三連音了歌曲的高潮部分，使樂(lè)曲節(jié)奏緊湊又舒緩，在這段中還加入了升下屬音，加強(qiáng)了力度上的變化和戲劇性。A1是再現(xiàn)樂(lè)段，使用了“同頭換尾”的手法，讓歌曲結(jié)束時(shí)意猶未盡，給人想象。

其中:s= 0，1，…，S′max表示潛在圖像梯度內(nèi)循環(huán)次數(shù)，且?It，0= ?It，?It，S′max= ?It+1。用 快 速 傅 里 葉 變 換 即 可 得 到?It，s+1的數(shù)值解:

在kt+1已知的情況下，潛在圖像梯度在第t + 1 次外部循環(huán)中可通過(guò)如下問(wèn)題求解:

其中:

2）(Y，Z)子問(wèn)題求解。

當(dāng)固定變量?It，s+1和(ξs，φs)時(shí)，(Y，Z)子問(wèn)題是一類(lèi)典型的帶L0正則化項(xiàng)的最小二乘問(wèn)題，可表示為:

采用與1.2.1節(jié)相同的硬閾值算子方法求得:

其中:τ為迭代步長(zhǎng)，本文取τ = 1.618。

1.2.2 清晰圖像梯度估計(jì)

本文模糊核估計(jì)模型（3）的數(shù)值求解過(guò)程如算法1所示。

2 清晰圖像復(fù)原

估計(jì)出模糊核后，采用非盲反卷積的方法復(fù)原清晰圖像。最簡(jiǎn)單的方法是RL算法，但RL算法對(duì)模糊核很敏感，一旦模糊核估計(jì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，復(fù)原出的圖像將會(huì)出現(xiàn)較為嚴(yán)重的振鈴效應(yīng)。本文采用L1范數(shù)數(shù)據(jù)擬合性項(xiàng)和全變分（Total Variation，TV）的方法進(jìn)行非盲反卷積:

印度外交部長(zhǎng)今年早些時(shí)候表示，印度不會(huì)接受美國(guó)的單方面制裁，但由于印度對(duì)美國(guó)金融體系的敞口，印度不得不減少對(duì)伊朗原油的依賴(lài)。印度是伊朗第二大石油客戶(hù)，僅次于中國(guó)。中國(guó)也表示將繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)伊朗原油。

其中數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)采用L1范數(shù)，與L2范數(shù)相比能夠克服奇異值對(duì)圖像復(fù)原過(guò)程的影響，更具有魯棒性［20］，有利于提升復(fù)原質(zhì)量。本文根據(jù)文獻(xiàn)［20］，采用交替最小化算法（Alternating Minimization Algorithm，AMA）求解式（23）。

綜上，本文模糊圖像盲復(fù)原算法流程分為兩個(gè)步驟，分別為模糊核估計(jì)和清晰圖像復(fù)原，如圖1 所示。模糊核估計(jì)部分對(duì)應(yīng)文中的式（3），得到模糊核之后用式（23）非盲反卷積的方法復(fù)原出清晰圖像。本文采用交替求解的方法來(lái)解決式（3）中的非凸非光滑問(wèn)題，即固定當(dāng)前潛在清晰圖像梯度的估計(jì)值，更新對(duì)模糊核的估計(jì)，然后在固定模糊核的基礎(chǔ)上更新圖像梯度，循環(huán)迭代直至結(jié)果收斂。

圖1 本文算法流程Fig. 1 Flowchart of the proposed algorithm

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文分別在合成模糊圖像和真實(shí)模糊圖像上進(jìn)行定量和定性分析，并且與當(dāng)前最為經(jīng)典的方法作比較，證明本文算法的有效性。

3.1 合成模糊圖像實(shí)驗(yàn)

本文合成圖像采用K?hler 等［21］公開(kāi)提供的圖像數(shù)據(jù)集:模擬人手持相機(jī)拍攝時(shí)手抖動(dòng)的環(huán)境，并記錄由抖動(dòng)而造成的相機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡，認(rèn)為這些運(yùn)動(dòng)軌跡充分接近真實(shí)情況下的模糊核。從中挑選出12種軌跡用于數(shù)據(jù)集的建立，即將12個(gè)模糊核分別作用于4 張真實(shí)的清晰圖像，得到48 張模糊圖像來(lái)模擬現(xiàn)實(shí)的模糊情況。本文首先選取常用的峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）和結(jié)構(gòu)相似性（Structural SIMilarity，SSIM）作為定量評(píng)價(jià)指標(biāo)。表1 給出了8 種盲復(fù)原算法［1-3，6-7，22-24］與本文算法的PSNR 和SSIM 的對(duì)比結(jié)果。從表1 的數(shù)據(jù)中可以看出，本文算法有著最高的PSNR 與SSIM的平均值，說(shuō)明本文算法的復(fù)原結(jié)果質(zhì)量更高，從顏色和結(jié)果上更加接近真實(shí)的清晰圖像；并且PSNR和SSIM標(biāo)準(zhǔn)差最小，說(shuō)明本文算法更加穩(wěn)定，對(duì)不同模糊核大小的模糊圖像都有著較好的復(fù)原結(jié)果。Zhang 等［25］比較了幾種全參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)算法，統(tǒng)計(jì)了每種全參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)算法的客觀值和主觀值之間的相關(guān)系數(shù)，驗(yàn)證了特征相似性（Feature SIMilarity，F(xiàn)SIM）的評(píng)價(jià)結(jié)果準(zhǔn)確性最高。表2 給出了FSIM（灰度圖像）及FSIMC（彩色圖像）的結(jié)果對(duì)比，結(jié)果顯示本文算法有著最高的FSIM 及FSIMC值，說(shuō)明本文算法復(fù)原出的圖像更接近真實(shí)的參考圖像。

表1 PSNR和SSIM的結(jié)果對(duì)比Tab. 1 Comparison of PSNR and SSIM

表2 FSIM和FSIMC的結(jié)果對(duì)比Tab. 2 Comparison of FSIM and FSIMC

為進(jìn)一步說(shuō)明本文提出的混合正則化約束模型的有效性，圖2 給出一張合成模糊圖像的復(fù)原結(jié)果對(duì)比圖，實(shí)驗(yàn)所用的模糊圖像來(lái)源于K?hler 等［21］提供的數(shù)據(jù)集，其圖像模糊核大小為145× 145。由圖2 可以看出，針對(duì)模糊核較大的合成圖像，本文算法也可以估計(jì)出較為準(zhǔn)確的模糊核，并且復(fù)原出的圖像質(zhì)量明顯提高。綜上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對(duì)合成的模糊圖像，本文算法在評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和視覺(jué)效果上都有顯著提升。

圖2 合成模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 2 Restoration results of synthetic blurred image

3.2 真實(shí)模糊圖像實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步評(píng)價(jià)本文算法的復(fù)原質(zhì)量，由3.1 節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中選取3 種結(jié)果較好且最為經(jīng)典的算法進(jìn)行真實(shí)模糊圖像實(shí)驗(yàn)分析。其中，真實(shí)的模糊圖像是拍攝過(guò)程中由于相機(jī)抖動(dòng)而產(chǎn)生的模糊圖像，本文實(shí)驗(yàn)所用的真實(shí)模糊圖像由Pan［6］、Xu［7］提供。圖3給出了7張真實(shí)模糊圖像的復(fù)原結(jié)果對(duì)比（模糊 核 大 小 分 別 為27× 27、31× 31、35× 35、35× 35、41×41、55× 55、55× 55）。為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的公平性，其他算法的復(fù)原結(jié)果均來(lái)自于其作者公開(kāi)提供的程序。從圖3 可以看出，本文算法針對(duì)不同大小模糊核的真實(shí)模糊圖像有著很好的復(fù)原效果。

針對(duì)模糊核較大情況下的模糊圖像復(fù)原是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，現(xiàn)存的有些方法無(wú)法估計(jì)出較為準(zhǔn)確的模糊核，從而降低了復(fù)原結(jié)果的質(zhì)量。圖4 為3 張較大模糊核的真實(shí)圖像復(fù)原結(jié)果對(duì)比（模糊核大小分別為59 × 59、95× 95、135×135），以此驗(yàn)證了本文算法的有效性。Krishnan算法［3］復(fù)原的結(jié)果有明顯的振鈴效應(yīng)，致使復(fù)原結(jié)果嚴(yán)重失真，為減輕振鈴效應(yīng)帶來(lái)的負(fù)面影響，本文在非盲反卷積部分采用L1數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)和TV 正則項(xiàng)，有效地抑制了振鈴效應(yīng)。Pan 算法［6］、Xu算法［7］的復(fù)原圖像細(xì)節(jié)部分不夠清晰并且估計(jì)出的模糊核中有異常值的存在，降低了復(fù)原圖像的質(zhì)量；而本文算法采用混合正則項(xiàng)對(duì)圖像邊緣細(xì)節(jié)進(jìn)行稀疏約束，對(duì)細(xì)節(jié)部分仍有著很好的去模糊效果。在對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，Krishnan算法［3］采用L1范數(shù)對(duì)模糊核進(jìn)行稀疏約束，而本文基于L0范數(shù)的特性對(duì)模糊進(jìn)行稀疏約束，有助于模糊核稀疏性的表達(dá)，從而估計(jì)出更加準(zhǔn)確的模糊核。與此同時(shí)，與Pan算法［6］采用的圖像一階梯度的稀疏正則化方法相比，本文改用混合圖像一階梯度和二階梯度的正則化方法有助于估計(jì)出更加準(zhǔn)確的模糊核，從而復(fù)原出更清晰的圖像。綜上，本文算法針對(duì)模糊核較大的真實(shí)模糊圖像仍有著很好的復(fù)原效果。

盡管目前有很多種盲復(fù)原算法被提出，但是這些方法主要都是基于自然圖像先驗(yàn)。由于文本圖像的分布不同于自然圖像，所以往往這些方法不能有效地處理文本圖像。又因人臉圖像含有比較少的紋理信息，現(xiàn)存的很多方法很難恢復(fù)其清晰的邊緣來(lái)幫助模糊核估計(jì)。為證得本文算法的實(shí)用性和靈活性，針對(duì)文本圖像、人臉圖像進(jìn)行復(fù)原并比較分析。圖5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Krishnan 算法［3］、Pan 算法［6］和Xu 算法［7］無(wú)法估計(jì)出準(zhǔn)確的模糊核，從而嚴(yán)重影響了復(fù)原結(jié)果；而本文算法的混合稀疏約束能夠得到準(zhǔn)確的模糊核，復(fù)原出更高質(zhì)量的文本圖像。

圖3 真實(shí)模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 3 Restoration results of real blurred images

圖4 模糊核較大的模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 4 Restoration results of blurred images with large-scale blur kernels

圖5 文本模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 5 Restoration results of text blurred images

針對(duì)人臉圖像，如圖6 所示，基于圖像梯度的混合約束，本文算法能夠較好地保留圖像結(jié)構(gòu)特征和細(xì)節(jié)，有著很好的去模糊性能。

除此之外，由于水上模糊圖像包含大片天空區(qū)域和水域，大量模糊圖像盲復(fù)原算法無(wú)法對(duì)其有效地去模糊。圖7 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文算法對(duì)水上模糊圖像仍具有較好的去模糊能力。

圖6 人臉模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 6 Restoration results of face blurred images

圖7 水上模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 7 Restoration results of ocean blurred images

綜上實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了本文提出的模糊圖像盲復(fù)原算法的有效性和魯棒性。

4 結(jié)語(yǔ)

為了實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的模糊圖像盲復(fù)原，本文基于模糊核的稀疏性，提出了L0范數(shù)的模糊核正則化約束，稀疏先驗(yàn)保持了模糊核估計(jì)的準(zhǔn)確性。同時(shí)采用混合圖像梯度的稀疏先驗(yàn)，即混合一階和二階圖像梯度的L0范數(shù)的正則化方法，保持了圖像梯度的稀疏性和顯著邊緣，有助于穩(wěn)定模糊核估計(jì)。并利用ADMM 算法解決了帶有L0范數(shù)的非凸非光滑問(wèn)題。最后通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)，不僅從客觀的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上驗(yàn)證了本文算法的有效性，而且在主觀視覺(jué)效果上也得到了很明顯的改善。