基于Web的動態(tài)幾何軟件領(lǐng)域模型及其應(yīng)用

管 皓，秦小林*，饒永生，曹 晟

（1. 中國科學院大學計算機科學與技術(shù)學院，北京100049； 2. 中國科學院成都計算機應(yīng)用研究所，成都610041；3. 廣州大學計算科技研究院，廣州510006； 4. 電子科技大學信息與軟件工程學院，成都610054）

（?通信作者電子郵箱qinxl2001@126.com）

0 引言

動態(tài)幾何軟件用于在計算機上交互地繪制幾何圖形，構(gòu)造約束關(guān)系。在計算機屏幕上做出的幾何圖形，如果在變化和運動過程中能保持其幾何關(guān)系（如線段的長度相等，相互垂直、平行等）不變，就叫動態(tài)幾何圖形。有關(guān)動態(tài)幾何圖形的理論和應(yīng)用的學科，就是“動態(tài)幾何”［1］。在數(shù)學教學過程中運用諸如動態(tài)幾何軟件的信息技術(shù)，可構(gòu)建形象靈活的可操作工作環(huán)境，從而提高思考層次，獲得更好解決問題的技能［2］。有相關(guān)實驗表明在學習幾何知識時，與動態(tài)幾何軟件進行交互探索有利于降低學生學習過程中的認知負荷，提升學習效果［3］。

Cabri 是最早出現(xiàn)的動態(tài)幾何軟件。20 世紀80 年代在美國國家科學基金支持下，設(shè)計并研發(fā)了幾何畫板（The Geometer's Sketchpad，GSP）。這兩款動態(tài)幾何軟件對數(shù)學教育提供了有力支持，其教育價值很快得到了世界各國的肯定。爾后，歐美等發(fā)達國家研發(fā)了數(shù)十種動態(tài)幾何軟件［4］，代表性的軟件包括:GeoGebra、Cinderella 等。從20 世紀90 年代開始，國內(nèi)學者為我國基礎(chǔ)數(shù)學教育研發(fā)了超級畫板（Supper SketchPad，SSP），對動態(tài)幾何軟件的設(shè)計和實現(xiàn)也做了大量工作［5-8］，其教育價值也得到了充分的挖掘和研究，對于推動學科信息化起到了重要作用。

動態(tài)幾何軟件經(jīng)過30 年多的發(fā)展，研究重點大多在其數(shù)學及算法基礎(chǔ)理論［9-10］、交互設(shè)計［11］、應(yīng)用實證［12-13］等方面。至今尚未從領(lǐng)域工程角度對其進行討論設(shè)計，導致上述得到的模型不能完整有效地反映動態(tài)幾何領(lǐng)域，使得大多的動態(tài)幾何軟件局限于特定的操作系統(tǒng)及終端設(shè)備。復用是軟件開發(fā)過程中重要的原則，然而缺乏對領(lǐng)域內(nèi)可復用的抽象描述，往往只能在構(gòu)建級或代碼級等較低層次進行，無法保證用戶概念模型、設(shè)計模型與系統(tǒng)實現(xiàn)的統(tǒng)一。亟須使用相應(yīng)的軟件方法對動態(tài)幾何類軟件進行分析設(shè)計，對其合理地分層以支持可持續(xù)穩(wěn)定演進，以適應(yīng)不斷更新的技術(shù)環(huán)境及應(yīng)用場景。從基礎(chǔ)圖形中，再不斷往下派生出由不同幾何約束定義的子類，子類包含了幾何約束信息及其求解算法，例如中點、兩條直線的交點等。當鼠標拖動自由對象后，通過遍歷得到與之相關(guān)聯(lián)的對象，并放進需要更新的列表中，再依次對列表中的對象進行計算更新。該過程看起來很直觀，然而實現(xiàn)卻頗具挑戰(zhàn)，文獻［23］對此做了更為詳盡的描述。

德國著名動態(tài)幾何軟件Cinderella 的作者Kortenkamp［24］拋棄了上述經(jīng)典的繼承體系，在其博士論文中提出另一種面向?qū)ο蟮脑O(shè)計方法，核心模型如圖1所示。

圖1 Cinderella 核心模型設(shè)計Fig. 1 Core model design of Cinderella

1 相關(guān)工作

如何有效利用各種Web 技術(shù)來輔助教育教學已成為了重點研究方向［14］?；赪eb 技術(shù)的動態(tài)幾何軟件具有很多技術(shù)上的優(yōu)勢和教育教學上的價值。早期Web 技術(shù)運行效率較低，無法滿足動態(tài)幾何密集計算的性能要求，也無法處理多媒體圖形圖像數(shù)據(jù)，需要借助Web 擴展技術(shù)或是插件。Richter-Gebert 等［15-16］研 發(fā) 的Cinderella 在 早 期 就 支 持 導 出Web 頁面可交互的動態(tài)數(shù)學內(nèi)容，之后利用Java Applet 研發(fā)了交互性更好的平臺，適用于在支持Java Applet 的特定瀏覽器上運行。 GSP 也利用 Java Applet 研發(fā)出了JavaSketchpad［17］，支持在Web 頁面上演示動態(tài)數(shù)學內(nèi)容。另一種較為通用解決的方案是利用可縮放矢量圖形（Scalable Vector Graphics，SVG）技術(shù)，Wang 等［18］研制的GeoSVG 就利用SVG 技術(shù)在瀏覽器上實現(xiàn)了動態(tài)繪圖，并支持用戶創(chuàng)建個人的文件空間；Ehmann 等［19］利用SVG 研發(fā)了JSXGraph 動態(tài)幾何庫，基于該庫開發(fā)的Sketchometry，支持在觸碰設(shè)備上利用手勢進行繪圖，得到較為廣泛的應(yīng)用。然而Java Applet 無法滿足在所有瀏覽器上運行，特別是在日益普及的各種手持設(shè)備，Oracle 公司也宣布不再維護該技術(shù)。SVG 采用XML 格式描述圖形，可利用JavaScript 語言操作文檔對象模型（Document Object Model，DOM）來操作圖形，但DOM 的操作性能較低，無法實現(xiàn)復雜的圖形。隨著HTML5 標準的普及，現(xiàn)代瀏覽器都已經(jīng)支持更為高效的圖形接口Canvas，同時支持二維及三維圖形，其中三維圖形底層技術(shù)WebGL 可借助高效的GPU，達到十分可觀的性能。GeoGebra［20］利用Canvas，實現(xiàn)了真正意義的跨平臺、在現(xiàn)代瀏覽器上都能無縫運行的動態(tài)幾何軟件；Von Gagern 等［21］研發(fā)的CindyJS 是在Cinderella的基礎(chǔ)之上，利用WebGL 技術(shù)實現(xiàn)的一款高效的動態(tài)幾何庫。

在已有的研究中，雖然沒有運用到領(lǐng)域工程的相關(guān)方法對動態(tài)幾何軟件進行領(lǐng)域建模，但也從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方面做了一定工作，部分反映了其領(lǐng)域知識。在現(xiàn)有動態(tài)幾何軟件中，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)大多都采用單一經(jīng)典的面向?qū)ο罄^承體系［22］。

所有的幾何對象都從基類GeometryElement 繼承派生而來。該基類包含了公有的方法和屬性，如顏色、標簽、顯示、隱藏等。由該類直接派生而來的有Point、Line、Conic 等，包含相應(yīng)的幾何屬性用以表示不同類型的基礎(chǔ)幾何圖形:例如Point包含了坐標信息，Conic 包含了圓錐曲線的一般方程系數(shù)等。

從圖1 中可以看出兩種主要的對象:Element 與Algorithm。其中:Element 經(jīng)過派生細化為PGPoint、PGLine、PGConic 等少數(shù)幾種基礎(chǔ)幾何圖形；Algorithm 中包含多個輸入（input）及一個或多個輸出（output）對象，描述了由輸入圖形到輸出圖形某種約束關(guān)系。相對于經(jīng)典的繼承體系，將Algorithm 復合關(guān)聯(lián)至Element 中具有更高的靈活性，支持方便地實現(xiàn)修改某個圖形的定義。另一個好處是在性能上會有一定提升，例如InsesectLCAlgorithm 類描述了直線與圓錐曲線的交點這樣的幾何約束，該約束對應(yīng)了兩個output 幾何圖形（PGPoint）。直線與圓錐曲線的交點至多有兩個，在更新兩個交點時實際上只需一次運算，這樣的設(shè)計有利于提高計算結(jié)果的重用，提高軟件的運行效率、增強穩(wěn)定性。

2 基于Web的動態(tài)幾何軟件領(lǐng)域建模

Arango［25］提出領(lǐng)域的內(nèi)聚性和穩(wěn)定性是獲取和表示領(lǐng)域內(nèi)可復用信息的前提。對于相關(guān)軟件系統(tǒng)的共性進行系統(tǒng)分析和利用是成功的軟件復用的基礎(chǔ)。目前已經(jīng)出現(xiàn)了多種領(lǐng)域工程方法，適用于不同的目標、產(chǎn)品和過程。Kang 等［26］提出的面向特征的領(lǐng)域分析（Feature-Oriented Domain Analysis，F(xiàn)ODA）方法引入特征模型用于抽象描述需求。其他諸如FOOM［27］、產(chǎn)品線分析（Product Line Analysis，PLA）［28］等方法，也都利用多種模型對領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用的共性和特性進行描述。由王千祥等［29］提出的“青鳥領(lǐng)域工程方法”，是一種面向?qū)ο蟮念I(lǐng)域工程方法，明確規(guī)定了領(lǐng)域工程中各個階段的活動，并對每個階段給出操作指南。

利用領(lǐng)域工程的相關(guān)方法，通過特征描述、領(lǐng)域術(shù)語詞典、可復用構(gòu)件等技術(shù)，將問題域和方法域的描述有機地結(jié)合在一起［30］，在保持領(lǐng)域內(nèi)聚性和穩(wěn)定性的前提下，使系統(tǒng)能夠快速而準確地反映外部環(huán)境（如用戶需求、展現(xiàn)技術(shù)、交互方式等）的變化，保證實現(xiàn)系統(tǒng)的可用性。具體表現(xiàn)在以下幾個方面:劃分問題空間，降低單個系統(tǒng)的復雜度；建立統(tǒng)一的業(yè)務(wù)語言即術(shù)語庫，用于理解和消化業(yè)務(wù)知識，避免出現(xiàn)理解誤差；對系統(tǒng)進行合理的分層，隔離業(yè)務(wù)邏輯及展現(xiàn)層，使得系統(tǒng)可在保持業(yè)務(wù)邏輯不變的前提下滿足不同的設(shè)備界面布局及交互手段。

領(lǐng)域模型的建立分為3 個階段:用于確定領(lǐng)域邊界的領(lǐng)域分析、用于領(lǐng)域內(nèi)問題描述的領(lǐng)域設(shè)計以及提供方法域上層結(jié)構(gòu)描述的體系結(jié)構(gòu)建模。

下面以“網(wǎng)絡(luò)畫板（NetPad）”為例，對基于Web 的動態(tài)幾何軟件進行領(lǐng)域建模。

2.1 領(lǐng)域分析

領(lǐng)域分析用于確定領(lǐng)域邊界，具體涉及如何劃分和定義問題空間。傳統(tǒng)桌面應(yīng)用一般以單體應(yīng)用的形式研發(fā)、下載及安裝。與此不同，基于Web 的動態(tài)幾何軟件無需下載安裝，所創(chuàng)建的資源作品也都存儲在云端，隨時隨地都可使用分享，給用戶帶來了極大的便利。同時也給設(shè)計跟實現(xiàn)帶來更多挑戰(zhàn)，就系統(tǒng)復雜度而言比單體應(yīng)用要復雜得多，因此在做領(lǐng)域設(shè)計之前，有必要對該系統(tǒng)涉及到的問題空間進行合理的劃分隔離復雜度，對不同的問題空間分而治之，而問題空間對應(yīng)的領(lǐng)域設(shè)計即是對該問題空間的解決方案。經(jīng)過分析識別并劃分出最基本的上下文邊界:1）身份與訪問領(lǐng)域。涉及到用戶訪問時，對用戶進行鑒權(quán)及身份識別，管理相關(guān)的訪問權(quán)限等問題，具有一定的通用性，因此也往往被識別為通用域，作為系統(tǒng)重要的基礎(chǔ)設(shè)施。2）資源交互領(lǐng)域。涉及到用戶使用動態(tài)幾何軟件制作的作品相關(guān)操作，例如作品如何存儲、分類管理、檢索、設(shè)置其他用戶對其作品的使用權(quán)限等。其涉及的問題空間并非是動態(tài)幾何軟件核心問題，但卻是整個系統(tǒng)十分必要的業(yè)務(wù)支撐，領(lǐng)域中被識別為支撐域。3）動態(tài)數(shù)學領(lǐng)域:動態(tài)幾何軟件為組態(tài)軟件，用戶通過類似“搭積木”的簡單方式來完成自己所需要的軟件功能，而不需要編寫計算機程序，有時候也稱為“二次開發(fā)”，組態(tài)軟件就稱為“二次開發(fā)平臺”。利用該軟件提供的工作環(huán)境，允許用戶使用軟件提供的基礎(chǔ)功能，或是編程接口自由組織并進行創(chuàng)作幾何作圖、變換等動態(tài)數(shù)學內(nèi)容。該上下文對應(yīng)的問題空間主要涉及到如何組織動態(tài)幾何的相關(guān)元素、幾何約束、變換等。在該系統(tǒng)中，應(yīng)被識別是核心域，是整個系統(tǒng)的核心價值所在。

2.2 領(lǐng)域模型設(shè)計

Norman［31］曾提出了用以描述“設(shè)計概念模型”與“用戶理解模型”之間的關(guān)系的框架，在理論上，兩個模型之間應(yīng)能夠完全相互映射。領(lǐng)域設(shè)計是領(lǐng)域工程的第2 階段，此階段的主要目的是，針對領(lǐng)域分析獲得的領(lǐng)域邊界及問題空間的認識開發(fā)出相應(yīng)的設(shè)計模型，并顯式地表示出來，認識并對其進行合理的領(lǐng)域設(shè)計是關(guān)鍵問題所在。

對于動態(tài)幾何軟件而言，其核心需求是實現(xiàn)二維或三維的動態(tài)圖形、解析幾何及函數(shù)曲線的繪制及變換。無論以什么樣的形式展現(xiàn)在用戶面前，其幾何元素及其約束關(guān)系涉及到領(lǐng)域模型都適用，具有在領(lǐng)域知識層面的復用性。動態(tài)幾何軟件都具有“拖動模式”（Drag Mode）:即拖動自由元素，受約束的元素在保持其幾何約束的前提下自動求解并調(diào)整其幾何屬性。其中元素（Element）領(lǐng)域中的核心概念，對于建立領(lǐng)域知識十分必要。

經(jīng)過上述分析，設(shè)計了如圖2所示的模型設(shè)計。

圖2 領(lǐng)域設(shè)計Fig. 2 Domain design

其 中 元 素（Element），包 括Geometry_3D_Elements、Geometry_2D_Elements、Assit_Elements，是 聚 合 約 束 關(guān) 系（Constrain）和約束對象（ConstrainObject）的聚合根，其主要目的是便于動態(tài)修改元素輸出的幾何圖元類型，當幾何圖形在退化情況下仍能夠正確定義，包含正確的幾何性質(zhì)。ConstrainObject是該元素確定的具體圖形類型，該對象可細化為不同類型的幾何圖元。例如在二維中常見的幾何圖元為:點、直線、圓、圓錐曲線、多邊形、曲線等，在三維中常見的幾何圖元為點、直線、圓、平面、曲線、曲面及球、多面體等實體。Constrain 則確定了具體的幾何或代數(shù)約束，涉及到約束元素、相關(guān)參數(shù)、被約束關(guān)系及約束關(guān)系具體的計算規(guī)則等。約束關(guān)系也是動態(tài)幾何軟件領(lǐng)域模型中高度抽象的對象，適用于二維或三維的動態(tài)幾何模型。跟幾何圖元類型較少不同，約束關(guān)系具有更多樣性，例如在約束點的約束關(guān)系有:兩點確定的中點、線段確定的中點、三點確定的三角形的中心、圓確定的圓心，等等。設(shè)計約束關(guān)系時，應(yīng)特別注意到前面所述的幾何中臨界位置時遇到的退化情況，諸如三點確定的圓當三點共線時圓即退化為直線；圓錐曲線在也可能退化為兩條直線。

當自由點經(jīng)過通過或變量驅(qū)動發(fā)生變化后，系統(tǒng)必須將與之依賴的幾何元素的約束關(guān)系進行重新計算，在具體計算某個元素時應(yīng)根據(jù)其父元素的狀態(tài)動態(tài)地選擇計算方法，并生成新的ConstainObject。這一過程反映了動態(tài)幾何軟件的核心流程。

2.3 體系結(jié)構(gòu)建模

創(chuàng)建出能夠處理復雜任務(wù)的軟件，需要將不同的關(guān)注點分開考慮，使設(shè)計中的每個部分都得到單獨的關(guān)注。在分離的同時，還需要維持系統(tǒng)內(nèi)部復雜的交互關(guān)系。然而分割軟件系統(tǒng)有各種各樣的方式，普遍都采用分層架構(gòu)，分層的價值在于每一層代表軟件中的某特定方面，這種限制使得每個方面都更具有內(nèi)聚性，便于理解。

隨著技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)用于教學的各種終端設(shè)備屏幕尺寸不一（電子白板、一體機、平板電腦、智能手機等），鼠標、鍵盤、觸屏、視點等輸入設(shè)備層出不窮。如何結(jié)合不同設(shè)備特點，有針對性地設(shè)計界面展現(xiàn)及交互方式，實現(xiàn)界面與領(lǐng)域知識的解耦，是體系建模重要目的之一。從應(yīng)用角度而言，老師用于演示與學生自主探究，也對軟件的交互方式提出了不同需求?；谇懊娴念I(lǐng)域分析、領(lǐng)域模型設(shè)計，結(jié)合軟件分層的相關(guān)理論與技術(shù)，本文設(shè)計了如圖3所示的分層體系結(jié)構(gòu)。

圖3 分層體系結(jié)構(gòu)Fig. 3 Hierarchical architecture

1）UI 層（UI Layer）。負責對幾何圖形的繪制，包括二維與三維圖形；同時還應(yīng)針對不同的設(shè)備（如PC、手機及平板）對界面進行合理的布局，兼容不同的交互方式（鼠標、觸屏手勢、輸入筆甚至VR 可穿戴設(shè)備）。該層次的重要性主要體現(xiàn)在用戶交互的便利、直觀性，旨在給用戶呈現(xiàn)簡潔美觀的交互界面及合理便利的交互方式。

2）應(yīng)用層（Application Layer）。在動態(tài)幾何軟件中主要涉及到帶約束元素的創(chuàng)建、修改、刪除、復制粘貼以及這些操作的撤銷重做；標記圖形變換中心、向量及對稱軸等動態(tài)幾何中常用的功能，是為了讓變換操作更為便捷并不涉及到動態(tài)數(shù)學業(yè)務(wù)規(guī)則，因此也是屬于應(yīng)用層。

3）領(lǐng)域?qū)樱―omain Layer）。負責表達業(yè)務(wù)概念、業(yè)務(wù)狀態(tài)信息及業(yè)務(wù)規(guī)則。領(lǐng)域?qū)又械膭討B(tài)數(shù)學維護了動態(tài)幾何圖形及其約束關(guān)系，確定了元素的更新機制。

4）基礎(chǔ)設(shè)施層（Infrastructure）。為上面各層提供通用技術(shù)能力，為應(yīng)用層傳遞消息，為領(lǐng)域?qū)犹峁┏志没瘷C制等。因此基礎(chǔ)設(shè)施層主要包含了數(shù)據(jù)持久化、消息通信等基礎(chǔ)模塊，其他諸如代數(shù)運算等，為動態(tài)幾核心域提供了數(shù)值或符號運算的支持。

上述的分層方法是基于領(lǐng)域驅(qū)動設(shè)計的分層的經(jīng)典架構(gòu)，其中上層依賴于下層，其關(guān)系為直接調(diào)用；下層為上層提供必要的服務(wù)，下層無需感知上層的存在，但可以通過消息或事件等方式與上層進行間接通信。每層內(nèi)的模塊劃分是基于這樣兩個依據(jù):1）面對變化進行解耦；2）基于關(guān)注點進行內(nèi)聚。

通過縱向與橫向兩個維度對復雜軟件進行解耦，可在保證穩(wěn)定的前提下，持續(xù)演進。

面對不同的終端設(shè)備，為適應(yīng)操作習慣和界面布局，可能需要有不同的UI層，此時僅需要調(diào)用下層提供的接口或是監(jiān)聽下層的事件，對UI層進行獨立開發(fā)。

面對不同的應(yīng)用場景時，也需要對功能進行合理的拆分或重組。例如在某些場景下，僅需要代數(shù)功能、2D 作圖功能或是3D 作圖，等等。通過對層次內(nèi)部的模塊的抽離，剝離出不必要的模塊，再重新組合編譯，即可實現(xiàn)具有在特定領(lǐng)域的完整功能可獨立運行的軟件。

3 應(yīng)用實例與實驗

基于該領(lǐng)域模型，研發(fā)的基于Web 技術(shù)的動態(tài)幾何軟件“網(wǎng)絡(luò)畫板（Netpad）”具有多終端、高效及穩(wěn)定等特點，并有效保證了該軟件持續(xù)穩(wěn)定的地演進。

3.1 支持在多終端中運行

領(lǐng)域模型給出的分層結(jié)構(gòu)將核心領(lǐng)域與UI 展現(xiàn)隔離開來，可以對不同尺寸設(shè)備上的展現(xiàn)及交互方式做針對性的設(shè)計。在PC、平板電腦屏幕空間足夠的環(huán)境下可作為創(chuàng)作空間，提供完整的功能組件；而在智能手機上，則以預覽體驗為主，提供有限的交互。在使用鼠標交互為主的場景中，實現(xiàn)鼠標雙擊、單擊、右鍵配合鍵盤操作習慣；而在觸屏設(shè)備上則又充分利用了手勢的便利性。圖4 分別給出了在PC 與智能手機環(huán)境下的布局與交互示例。

圖4 多終端的布局與交互Fig.4 Multi-terminal layout and interaction

3.2 統(tǒng)一實現(xiàn)二維及三維動態(tài)幾何

二維與三維的動態(tài)幾何圖形，具有相同的幾何約束特點，其領(lǐng)域知識和模型具有統(tǒng)一性，主要區(qū)別在于元素的具體定義、幾何約束的實際算法及圖形繪制技術(shù)。在領(lǐng)域模型中，很容易復用現(xiàn)有的領(lǐng)域知識，擴展出三維幾何圖形定義及添加相應(yīng)的約束算法。而體系建模給出的合理分層，將數(shù)據(jù)模型與UI層隔離，降低了耦合度。可在不影響已有的二維動態(tài)幾何功能的前提下，快速迭代和開發(fā)出三維的UI 層，實現(xiàn)完整的三維動態(tài)幾何工作環(huán)境。圖5 給出了基于該領(lǐng)域模型創(chuàng)建的三維動態(tài)幾何的工作環(huán)境，圖6 給出了使用該三維工作環(huán)境創(chuàng)建的各種有趣的案例。

圖5 三維動態(tài)幾何工作環(huán)境Fig. 5 3D dynamic geometry working environment

圖6 三維動態(tài)幾何案例舉例Fig.6 Examples of 3D dynamic geometry

3.3 探究臨界點

動態(tài)幾何系統(tǒng)一個重要的應(yīng)用場景是探究，通過移動自由元素探究各種不同情況下的一般規(guī)律或是特殊的臨界點。為探究在何時三角形的垂心、外心、內(nèi)心共線，繪制任意三角形，并分別構(gòu)造出三角形的垂心、外心和內(nèi)心。

通過拖動或是動畫按鈕可方便地將一般三角形ABC變成特殊的等腰三角形，可看到此時EFD 三點共線，且由EFD 構(gòu)造的三點圓退化為一條直線。

圖7 分別展示Netpad、SSP、Cinderella 對于上述構(gòu)圖探究案例的實驗對比，包含起始實例，中間關(guān)鍵幀實例及終止實例。其中SSP 在三點共線時，圓EFD 無法定義；Cinderella 在三點共線時，圓EFD 出現(xiàn)了定義錯誤，呈現(xiàn)出一條水平直線。通過對比實驗，可看出利用本文提出的模型，能有效展示在臨界點時三點圓退化的情形，更好地呈現(xiàn)直線與圓的幾何性質(zhì)的統(tǒng)一，有利于教學的探究和演示。

圖7 探究等腰三角形的垂心、外心、內(nèi)心共線Fig.7 Study of collineation of orthocenter，circumcenter and incenter of isosceles triangle

4 結(jié)語

領(lǐng)域模型的建立是不斷補充，不斷求精逐步演進的過程。在未來工作中，將繼續(xù)應(yīng)對外部使用場景的變化、技術(shù)設(shè)備的更新，尋求更加接近事物本質(zhì)的領(lǐng)域模型。當前已經(jīng)完整實現(xiàn)了二維及三維動態(tài)幾何，包括平面幾何、解析幾何及函數(shù)曲線的動態(tài)繪制及其變換，支持在使用鼠標、觸屏手勢等交互，廣泛應(yīng)用于數(shù)學、物理等學科教學過程中。截至目前“網(wǎng)絡(luò)畫板”注冊用戶超過300 000，為幾十所中小學及各大教育云平臺提供服務(wù)，已進入常規(guī)的課堂教學活動。如何結(jié)合虛擬現(xiàn)實、增強現(xiàn)實等技術(shù)，將動態(tài)幾何與沉浸式的穿戴設(shè)備結(jié)合起來，進一步輔助教育教學是后續(xù)重點研究的方向。