黑體紅外波段輻射亮度響應(yīng)的通用公式

崔雙龍，孫博君，孫曉剛

哈爾濱工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

引 言

溫度是一個重要的物理參數(shù)。溫度測量一直是人們研究的熱點。紅外測溫技術(shù)是一種常用的光學(xué)測溫手段，具有響應(yīng)速度快、不破壞被測目標(biāo)溫度場等優(yōu)點。如何將探測器測得的能量更準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化為被測目標(biāo)的真實溫度一直是一個重要的研究方向，存在著許多未解的問題，黑體輻射在某波段探測器上引起響應(yīng)的理論計算也是其中之一。

紅外測溫中，一直使用f(T)≈CTn模型來描述黑體波段輻射亮度響應(yīng)，該模型中n值的準(zhǔn)確性直接影響測溫結(jié)果的準(zhǔn)確性。對于不同的探測器，不同的波長區(qū)間，不同的溫度范圍內(nèi)，有不同的C及n[1]。n值難以準(zhǔn)確獲取[2]，多數(shù)研究者都在使用Inagaki及Okamoto在1996年提出的三個擬合結(jié)果[3]，還不能很好的擴(kuò)展到任意波段的探測器。本文通過理論推導(dǎo)，提出了一種可以替代f(T)≈CTn模型的通用公式，通用公式與原模型f(T)≈CTn相比，最大的優(yōu)勢在于可以在任意波段內(nèi)，不需考慮溫度分區(qū)，直接計算求取黑體波段輻射亮度響應(yīng)f(T)，具有通用性。黑體波段輻射亮度響應(yīng)的通用公式進(jìn)一步完善了紅外測溫技術(shù)的基礎(chǔ)理論。

1 紅外測溫原理

紅外測溫中，探測器接收到的輻射能量包括三部分： 目標(biāo)自身發(fā)出的輻射，目標(biāo)反射環(huán)境的輻射和大氣輻射。測得的物體表面光譜輻射亮度為[4]

Lλ=τaλελLλ(Ts)+τaλρλLλ(Tu)+εaλLλ(Ta)

(1)

式(1)中，Lλ表示光譜輻射亮度，τaλ為光譜大氣透過率，ελ為被測目標(biāo)的光譜發(fā)射率，Ts為被測目標(biāo)表面溫度，ρλ為被測目標(biāo)的反射率，Tu為被測目標(biāo)周圍環(huán)境溫度，εaλ為大氣的光譜發(fā)射率，Ta為大氣溫度。在紅外測溫技術(shù)使用的窄波段范圍內(nèi)，ελ，τaλ，ρλ，εaλ可近似認(rèn)為與λ無關(guān)。當(dāng)被測目標(biāo)為朗伯體時，公式變化為[4]

f(Tr)=τaεf(Ts)+τaρf(Tu)+εaf(Ta)

(2)

式(2)中，Tr為探測器測得物體的輻射溫度。f(T)為某段波長范圍內(nèi)，黑體輻射亮度在探測器上引起的響應(yīng)，本文稱其為黑體波段輻射亮度響應(yīng)。f(T)可近似為f(T)≈CTn。

(3)

式(3)中，λ2及λ1為探測器響應(yīng)波段的上下限，Rλ為探測器的光譜響應(yīng)度，Mbλ(T)為黑體在波長λ處溫度T時的輻射出射度，由普朗克公式計算。若被測目標(biāo)為灰體，即ε=α=1-ρ，對大氣可認(rèn)為εa=αa=1-τa，通過將f(T)≈CTn代入可得[4]

(4)

式(4)即為常用的紅外測溫公式。根據(jù)文獻(xiàn)[3]，273～473 K范圍內(nèi)，有效波長2～5 μm的InSb探測器f(T)≈1.12×10-13×σT8.68，有效波長6～9 μm的HgCdTe探測器f(T)≈5.16×10-5×σT5.53，有效波長8～13 μm的HgCdTe探測器f(T)≈0.136×σT4.09，其中σ=5.6679×10-8[W·(m2·K4)-1]為斯蒂芬玻爾茲曼常數(shù)。

文獻(xiàn)[1-2]指出，f(T)≈CTn對于不同的探測器，不同的波長區(qū)間，不同的溫度范圍內(nèi)，有不同的C及n。且難以確定。針對此現(xiàn)象，對Planck公式的近似公式“維恩近似公式”進(jìn)行積分，通過理論推導(dǎo)給出了一種可以替代f(T)≈CTn模型的通用公式，該通用公式可通過探測器的光譜響應(yīng)范圍及溫度，計算黑體波段輻射亮度響應(yīng)。

2 f(T)推導(dǎo)

根據(jù)式(3)對Planck公式進(jìn)行積分，未能得到有效的解析解，因而退一步對“維恩近似公式”進(jìn)行積分。對于普朗克公式當(dāng)ec2/λT?1時，可近似為式(5)[5]

(5)

其中c1和c2為普朗克輻射常數(shù)，c1=2πhc3=3.741 5×108(W·μm4·m-2)，c2=hc/KB=1.438 79×104(μm·K)。式(5)即為維恩近似公式。實際應(yīng)用中，在誤差可接受的情況下，維恩近似公式可以替代普朗克公式使用。Rλ一般可擬合為λ的二次多項式，即Rλ=aλ2+bλ+c，則黑體波段輻射亮度響應(yīng)為

(6)

設(shè)x=c2/λT則

(7)

特別的，當(dāng)Rλ=c為常數(shù)，即式(7)中a=b=0時

(8)

式(7)即為本工作提出的計算黑體波段輻射亮度響應(yīng)的通用公式，可計算任意波段內(nèi)的f(T)，將f(T)帶入式(2)后可通過二分法或迭代法計算被測目標(biāo)溫度Ts。

3 通用公式仿真

3.1 Rλ為常數(shù)時全波段仿真

斯蒂芬玻爾茲曼定律是將普朗克公式在全波段積分所得，表達(dá)式為Mbb=σT4，其中σ為斯蒂芬波爾茲曼常數(shù)，σ=5.667 9×10-8[W·(m2·K4)-1]。黑體波段輻射亮度響應(yīng)公式按全波段計算，即x1=0，x2=∞得到的結(jié)果理論上是與斯蒂芬玻爾茲曼定律近似的，可用于仿真驗證。全波段積分得

Mbb=5.2385×10-8T4

(9)

σ′=5.238 5×10-8[W·(m2·K4)-1]與σ=5.667 9×10-8[W·(m2·K4)-1]接近，差值為0.429 4×10-8[W·(m2·K4)-1]，其偏差來自于維恩公式對普朗克公式的近似。將斯蒂芬玻爾茲曼定律與式(9)繪圖對比如圖1。

圖1 通用公式與斯蒂芬玻爾茲曼公式對比Fig.1 Comparison between the universal formula and the Stephen Boltzmann formula

3.2 Rλ為二次多項式時波段輻射仿真

文獻(xiàn)[3]給出了三種探測器在273～473 K內(nèi)f(T)≈CTn的擬合結(jié)果，取其中有效波長8～13 μm的HgCdTe探測器進(jìn)行仿真對比。文獻(xiàn)中探測器響應(yīng)曲線及擬合結(jié)果如圖2。

根據(jù)式(7)進(jìn)行求解并將之與文中給出的f(T)≈0.136×σT4.09進(jìn)行對比，如圖3。從圖中可以看出通用公式計算結(jié)果與參考文獻(xiàn)擬合結(jié)果基本一致。

圖2 文獻(xiàn)[3]中探測器響應(yīng)曲線及擬合結(jié)果Fig.2 Detector response curves and fitting results in [3]

圖3 通用公式與f(T)=CTn對比Fig.3 Comparison between the universal formula and f(T)=CTn

3.3 仿真小結(jié)

通過將通用公式與斯蒂芬玻爾茲曼定律及文獻(xiàn)[3]中擬合結(jié)果的對比，說明了通用公式的正確性。通用公式源于維恩近似公式，適用于ec2/λT?1的情況。在誤差允許的情況下，通過式(7)可計算任意波段內(nèi)黑體波段輻射亮度響應(yīng)，簡單易行更具通用性。

4 通用公式實驗驗證

4.1 實驗方法

為進(jìn)一步驗證通用公式的有效性，設(shè)計實驗進(jìn)行驗證。實驗方法為： 選取測量目標(biāo)，調(diào)節(jié)其表面溫度至某一定值且穩(wěn)定，通過鉑電阻測定其表面溫度Ts及環(huán)境溫度Tu，分別記錄。使用熱像儀對其進(jìn)行測量，將熱像儀發(fā)射率設(shè)置為1，測量目標(biāo)溫度，記錄示值為Tr。根據(jù)Ts，Tu及Tr可計算目標(biāo)發(fā)射率ε(近距離測量，大氣透過率τ近似為1； 被測目標(biāo)近似為灰體，即ρ=1-ε)[1]

(10)

調(diào)節(jié)熱像儀的發(fā)射率，使其示值溫度T=Ts，記此時發(fā)射率ε0為目標(biāo)發(fā)射率參考值[6-7]。若ε≈ε0，則通用公式可以用于紅外測溫技術(shù)的工程實踐之中。

4.2 面源輻射體實驗數(shù)據(jù)

以實驗室內(nèi)面源輻射體為目標(biāo)進(jìn)行實驗，已知該輻射體發(fā)射率高于0.9，按4.1所述實驗方法進(jìn)行實驗，連續(xù)測量22組數(shù)據(jù)，列于表1。

表1 面源輻射體實驗數(shù)據(jù)Table 1 Surface source radiator experimental data

圖4 實驗裝置Fig.4 Experimental device

5 結(jié) 論

紅外測溫技術(shù)中，多數(shù)研究者通過模型f(T)≈CTn來描述黑體波段輻射亮度響應(yīng)，式中n值準(zhǔn)確性直接影響測溫結(jié)果的準(zhǔn)確性，且難以準(zhǔn)確獲取。提出了一種黑體波段輻射亮度響應(yīng)的通用公式。并通過仿真說明了通用公式的正確性。進(jìn)一步通過實驗證明了，通用公式可以替代f(T)≈CTn模型，應(yīng)用于工程實踐。通用公式與原模型相比，最大的優(yōu)勢是可以在任意波段內(nèi)，不需考慮溫度分區(qū)，通過理論計算的方式求取f(T)，具有通用性。黑體波段輻射亮度響應(yīng)的通用公式進(jìn)一步完善了紅外測溫技術(shù)的基礎(chǔ)理論。