基于雙折線模型更新的橋梁框架墩混合試驗

馬天宇，田石柱

(蘇州科技大學土木工程學院， 江蘇蘇州215011)

0 引言

擬動力試驗又可稱為混合試驗，是廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)抗震中的一種試驗方法?；旌显囼炇菍?shù)值模擬與物理試驗相結(jié)合的新型試驗方法，數(shù)值模擬部分在計算機中通過有限元軟件進行模擬，物理試驗部分則通過合適的硬件方案進行試驗，并由恰當?shù)能浻布肀ＷC二者的變形協(xié)調(diào)和力的平衡[1-4]。因此完整的混合試驗系統(tǒng)包含軟件和硬件兩部分?；旌显囼灴梢越鉀Q實際試驗中試驗設(shè)備的限制問題，可將整體結(jié)構(gòu)拆分成兩部分，具有代表性或復雜部分作為試驗子結(jié)構(gòu)進行實際試驗，其余部分作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)在計算機軟件中進行模擬運算，子結(jié)構(gòu)間力、位移等參數(shù)的傳遞構(gòu)成整體試驗系統(tǒng)。由于混合實驗的特性，試驗對于硬件要求較小，實驗部分尺寸也較小，可以起到經(jīng)濟且易于操作的效果。

傳統(tǒng)混合試驗中數(shù)值子結(jié)構(gòu)選取后的恢復力模型已事先假定，在試驗過程中其恢復力模型并未發(fā)生改變，均等同于初始的模型，最終會導致試驗的進一步偏差。自適應(yīng)擬動力子結(jié)構(gòu)混合試驗方法簡稱模型更新混合試驗方法可通過更新算法對數(shù)值子結(jié)構(gòu)進行智能識別和更新，能夠有效提升混合試驗的精度和魯棒性。現(xiàn)于混合試驗中運用最多的有最小二乘法[5]，卡爾曼濾波器法，粒子濾波器法，UKF法等。本文基于最小二乘法，采用雙折線模型，對橋梁框架墩結(jié)構(gòu)進行更新并與傳統(tǒng)混合試驗進行比較。

1 基于最小二乘法的雙折線模型識別方法

1.1 最小二乘法

最小二乘法(Least-squareestimation，LSE)是一種識別結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法，通過最小預測輸出和測量觀測的誤差平方和即可預估識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的未知參數(shù)，由于其基本理論較為簡單而被廣泛應(yīng)用。1991年，Loh和Tou采用最小二乘法對高層建筑的三階阻尼比和頻率進行了識別。SHING等[6]采用最小二乘法對三自由度結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)和剛度進行了識別。由于標準的最小二乘法只能對線性結(jié)構(gòu)的參數(shù)進行識別，并不能直接用于非線性結(jié)構(gòu)參數(shù)識別問題，在識別非線性結(jié)構(gòu)前需要對模型先進行線性化。2011年，針對Bouc-Wen模型[7-8],BELLANTONI等[9]使用最小二乘法推導出相應(yīng)的識別算法，該方法用實際測量的恢復力代替理想彈塑性Bouc-Wen 模型的滯變位移，并且在識別滯回模型參數(shù)時運用了隱式4 階Adam Moulton積分規(guī)則的線性方程，實現(xiàn)了在線識別Bouc-Wen模型的參數(shù)與最小二乘法相結(jié)合，但其在識別初期精度不高，且該方法并未經(jīng)過試驗的驗證。而EKF與UKF等方法[10-11]也是基于最小二乘法衍生而出的其他算法。

1.2 雙折線模型識別方法

雙折線模型識別方法[12]是在基于最小二乘法的基本原理之下，假定有定向量

x=[x1,x2,…,xn]T，

(1)

將其中真實值前的參數(shù)整理為矩陣形式可得：

yk=Hkxk+wk，

(2)

而由最小二乘法的優(yōu)化目標：

(3)

(4)

(5)

接下來考慮如何將雙折線模型放入到如上最小二乘法之中。在每一試驗步不考慮剛度與強度退化的前提下，兩組斜率不同的直線組成雙折線模型，模型中k1，k2，fy分別為第一剛度，第二剛度與屈服力。在具體試驗過程中需要已知的恢復力和試驗位移來對上述三個參數(shù)進行識別，但是恢復力模型是關(guān)于上述三個參數(shù)的非線性函數(shù)，并不能由線形的最小二乘法進行在線識別，下面闡述將模型線性化過程：

第一剛度段上的恢復力可表達為：

r1,k=r1,k-1+k1(d1,k-d1,k-1);

(6)

第二剛度段上的恢復力可表達為：

r2,k=r2,k-1+k2(d2,k-d2,k-1)。

(7)

兩式中k代表的是加載步數(shù)，由圖1可以清晰表達。圖中fy為模型屈服力，dy為屈服位移，b為第二剛度段與縱軸的截距，由幾何關(guān)系可得下式：

(8)

第二剛度段的恢復力可表達如下式：

(9)

至此在雙折線模型中的非線性參數(shù)已可由其他參數(shù)表示，由上述最小二乘法可知k1,k2為一維常數(shù)，當k1,k2為一維常數(shù)時，需要識別的fy也為一維常數(shù)，即公式(6),(7),(9)均可由各一維參數(shù)線性表示，所以就將非線性問題轉(zhuǎn)化為有兩個線型的線性問題。

圖1 雙折線模型示意圖Fig.1 Sketch of bilinear hysteretic model

由上述過程可知，可通過每一步的數(shù)據(jù)自動更新恢復力模型確定k1,k2。將數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型中試驗數(shù)據(jù)分為兩類，一類為有效數(shù)據(jù)點，一類為無效數(shù)據(jù)點，通過算法篩選除有效數(shù)據(jù)點后經(jīng)由算法進一步篩選出屬于各剛度段的數(shù)據(jù)點，而后進行擬合。本文借鑒文獻[12]中的計算方法，計算在第k試驗步時的點瞬時切線剛度，設(shè)立四個識別控制參數(shù)，對試驗數(shù)據(jù)點進行剛度段確定后，可擬出雙曲線模型的兩段剛度，即可得所需要的k1,k2,如圖1所示。

2 基于ABAQUS的模型更新混合試驗?zāi)M

2.1 模型參數(shù)

延性設(shè)計橋梁在地震中的破壞形式主要為墩柱破壞。為驗證上述算法在橋梁墩柱模型更新混合試驗中的精度，選取框架墩進行建模。左右墩均高12 m，截面直徑為2 m，中間使用一橫梁進行連接，長度為5 m，截面為2.2×1.6 m2，采用C40型混凝土。鋼筋部分縱筋直徑為32 mm，配筋率為2.49 %；箍筋直徑為14 mm，體積配筋率為0.931 %。

2.2 基于Abaqus的有限元分析

在Abaqus中進行建模，鋼筋使用桿件單元，鋼筋的本構(gòu)關(guān)系見表1。

表1 鋼筋本構(gòu)模型參數(shù)Tab.1 The parameter of steel constitutive model

混凝土使用實體單元，本構(gòu)模型采用塑形損傷模型，由于選取的為C40等級混凝土，故彈性模量為3.25×1010N/m2，泊松比為0.2，密度取2 400 kg/m3。下面確定單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

① 混凝土單軸受壓的應(yīng)力應(yīng)變曲線方程：

當x≤1時：

y=αax+(3-2αa)x2+(αa-2)x3;

(10)

當x>1時:

(11)

② 混凝土單軸受拉的應(yīng)力應(yīng)變曲線方程：

當x≤1時：

y=1.2x-0.2x6;

(12)

當x>1時:

(13)

式中：

αa、αd為單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變曲線上升段與下降段的參數(shù)值，詳見規(guī)范[13]中表C.2.1；

αt為單軸受拉應(yīng)力應(yīng)變曲線下降段的參數(shù)值，詳見規(guī)范中表C.2.2；

fc、ft為混凝土的單軸抗壓/拉強度；

εc為與fc相應(yīng)的混凝土峰值壓應(yīng)變，詳見規(guī)范中表C.2.1;

εt為與ft相應(yīng)的混凝土峰值拉應(yīng)變，詳見規(guī)范中表C.2.2。

得到的C40混凝土拉壓屈服后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系見表2。

混合試驗關(guān)鍵在于試驗子結(jié)構(gòu)與數(shù)值子結(jié)構(gòu)間的力、位移等參數(shù)實時交互。取單側(cè)柱為試驗子結(jié)構(gòu)，橫梁與剩余一柱為數(shù)值子結(jié)構(gòu)進行混合試驗，如圖2所示。Bouc-wen模型為擬動力實驗中較為常用且較為精確的模型，試驗子結(jié)構(gòu)采用Bouc-wen模型[14]進行代替；數(shù)值子結(jié)構(gòu)中由于連梁與柱的接觸面為不規(guī)則弧面，選取楔形積分單元(C3D4),并將單元邊長縮小為0.3 m以減小C3D4單元帶來的誤差。

邊界條件設(shè)置分為兩個部分：自重因素與試驗加載因素。首先計算自重對于結(jié)構(gòu)的軸向變形影響，預先加載重力產(chǎn)生的力與位移；進行試驗加載時將運動曲線加載于兩柱的底部。

數(shù)值子結(jié)構(gòu)識別的精確程度是衡量混合試驗成功與否的關(guān)鍵，通過Abaqus中的重啟動(Restart)功能，可以將上一步的試驗結(jié)果與模型的本構(gòu)進行保存并延續(xù)到下一步中繼續(xù)試驗，并且在下一步中可通過輸入?yún)?shù)完成混合試驗子結(jié)構(gòu)間力與位移交互的過程。

首先選取物理子結(jié)構(gòu)中連梁與其接觸面上中心處的五個點，將其與柱外一點進行耦合。數(shù)值子結(jié)構(gòu)部分選取連梁側(cè)面外一點與連梁側(cè)面進行耦合。取0.1s為積分步長，設(shè)置動力分析步對兩個子結(jié)構(gòu)進行初始步加載，0.1 s后的每一步通過重啟功能將對應(yīng)耦合點上反饋的力與位移進行交互傳輸，以完成混合試驗?zāi)M。

表2 混凝土拉壓屈服應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Tab.2 Yield stress and strain of concrete under tension and compression

(a) 試驗子結(jié)構(gòu)

(b) 數(shù)值子結(jié)構(gòu)

(c) 整體結(jié)構(gòu)

圖2 整體結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)建模圖
Fig.2 Modeling of structure

3 結(jié)果分析

為了分析基于雙折線法的模型更新混合試驗的精度，并討論其與傳統(tǒng)混合試驗間的區(qū)別，本文通過Abaqus有限元軟件，基于三種不同模型算法進行比較：

① 基于Bouc-wen模型的混合試驗：由于本文并未對算法進行實際試驗驗證，將數(shù)值子結(jié)構(gòu)與試驗子結(jié)構(gòu)均進行基于Bouc-wen的模擬。本文借鑒論文[14]中的Bouc-wen模型參數(shù)并進行數(shù)值模擬，其結(jié)果與實際試驗值的誤差小于7 %，可將其近似視為實際試驗值，圖3、圖4為基于Bouc-wen模型的混合試驗的數(shù)值子結(jié)構(gòu)柱頂恢復力時程曲線與應(yīng)力云圖：

圖3 Bouc-wen模型恢復力時程曲線
Fig.3 Time history curve of numericalsubstructure under bouc-wen model

圖4 Bouc-wen模型應(yīng)力云圖
Fig.4 Stress nephogram of numericalsubstructure under bouc-wen model

② 傳統(tǒng)混合試驗：對試驗子結(jié)構(gòu)采取Bouc-wen模型，而數(shù)值子結(jié)構(gòu)的本構(gòu)在模擬過程中其本構(gòu)并未發(fā)生改變，將其通過模擬直接輸出為雙折線模型，圖5、圖6為傳統(tǒng)混合試驗中的數(shù)值子結(jié)構(gòu)柱頂恢復力時程與應(yīng)力云圖：

圖5 傳統(tǒng)混合試驗恢復力時程曲線
Fig.5 Time history curve of numericalsubstructure under hybrid testing

圖6 傳統(tǒng)混合試驗應(yīng)力云圖
Fig.6 Stress nephogram of numericalsubstructure under hybrid testing

③ 基于雙折線模型更新的混合試驗：于傳統(tǒng)混合試驗的基礎(chǔ)上，通過雙折線模型更新算法，輸入第k步時的位移輸入dk與試驗子結(jié)構(gòu)反饋的恢復力rk與上一步識別的兩段剛度與屈服力，即可輸出第k步雙折線的兩段剛度與屈服力，實現(xiàn)混合試驗?zāi)M進行過程中不斷對數(shù)值子結(jié)構(gòu)的更新。圖7、圖8為基于雙折線模型更新混合試驗中數(shù)值子結(jié)構(gòu)的柱頂恢復力時程曲線與應(yīng)力云圖：

圖7 模型更新混合試驗恢復力時程曲線
Fig.7 Time history curve of numericalsubstructure under model renewal hybrid testing

圖8 模型更新混合試驗應(yīng)力云圖
Fig.8 Stress nephogram of numericalsubstructure under model renewal hybrid testing

從上述不同三種算法下的柱頂恢復力時程曲線可得出：在彈性變形階段，三種情況下數(shù)值子結(jié)構(gòu)的本構(gòu)均未發(fā)生改變，所以在屈服之前Bouc-wen模型，傳統(tǒng)混合試驗，模型更新混合試驗各數(shù)值子結(jié)構(gòu)恢復力與時程的關(guān)系非常相近。當結(jié)構(gòu)進入非線性階段，由于傳統(tǒng)混合試驗的本構(gòu)并未更新，雖然恢復力下降，但是其材料強度仍舊大于實際情況，恢復力較真實情況更大，且隨著試驗?zāi)M進行其誤差會越來越大。而模型更新混合試驗通過更新剛度，其恢復力時程曲線較傳統(tǒng)混合試驗更加貼近于實際情況。從應(yīng)力云圖也可看出，三種情況下雖應(yīng)力較為集中的分布于節(jié)點與柱頂處，但傳統(tǒng)混合試驗的應(yīng)力更大，誤差也更大。

圖9、圖10為三種不同模型算法下的混合試驗各試驗子結(jié)構(gòu)滯回曲線圖，可清晰表明各子結(jié)構(gòu)間力與位移的關(guān)系：試驗子結(jié)構(gòu)部分模型恢復力絕對值最大值(經(jīng)過篩選過后)分別為1 978、1 982、1 960 kN，三者非常接近且滯回曲線也較為吻合，說明于試驗子結(jié)構(gòu)模擬部分的誤差很小。數(shù)值子結(jié)構(gòu)部分Bouc-wen模型下的模型恢復力絕對值最大值可視為參考值為2 044 kN，在模擬進行過程中傳統(tǒng)混合試驗數(shù)值子結(jié)構(gòu)本構(gòu)并未發(fā)生改變，但實際情況中隨著試驗加載的位移不斷增大，結(jié)構(gòu)本身強度下降，由此產(chǎn)生了誤差，其恢復力絕對值最大值達到了2430kN，與Bouc-wen參考值相比有12.18 %的誤差；雙折線模型更新混合試驗中數(shù)值子結(jié)構(gòu)由于兩段剛度實時的識別更新，在模型本構(gòu)方面縮小了誤差，其恢復力絕對值最大值為1 985 kN，與參考值相比誤差僅為2.7 %。從上述結(jié)果可表明，基于雙折線的模型更新混合試驗方法較傳統(tǒng)混合試驗有明顯的精度提升。

圖9 試驗子結(jié)構(gòu)滯回曲線
Fig.9 Hysteretic curve of physical substructure

圖10 數(shù)值子結(jié)構(gòu)滯回曲線
Fig.10 Hysteretic curve ofnumerical substructure

4 結(jié)論

① 基于雙折線更新的混合試驗方法可將恢復力參數(shù)識別問題由非線性轉(zhuǎn)為線性化，簡化了數(shù)值模型，使模型參數(shù)更易于識別。

② 通過傳統(tǒng)混合試驗與基于雙折線模型更新混合試驗進行對比，模型更新混合試驗的精度更高。雙折線模型更新試驗方法具有較好精度與魯棒性，與傳統(tǒng)混合試驗方法相比具有明顯優(yōu)勢。

③ 模型更新混合試驗中數(shù)值子結(jié)構(gòu)部分需要給定一個初始剛度開始計算，本文中選定的初始剛度與實際值相比有14.29 %的誤差，對應(yīng)在實際試驗中，若測點布置有誤差，雙折線模型更新混合試驗可保證一定精度。