基于改進(jìn)粒子群算法的PID參數(shù)整定分析

禹威威 申 遠(yuǎn) 王園園

（合肥師范學(xué)院電子信息系統(tǒng)仿真設(shè)計(jì)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 安徽合肥 230601）

一、引言

由于比例-積分-微分（Proportional，Integral and，Differential，PID）控制器[1-2]擁有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制效果好、參數(shù)調(diào)整靈活以及魯棒性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)[3]，因此，近年來被廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制和自動(dòng)化生產(chǎn)中。在工況條件滿足且確定采用的控制規(guī)律為P、I、D這種線性組合控制的情況下，其控制方法的主要表現(xiàn)形式為利用三個(gè)單元的校正作用對(duì)待測(cè)量參數(shù)的偏差進(jìn)行整合運(yùn)算，然后通過控制運(yùn)算所得的輸出量以控制被控對(duì)象。

由此可知，PID控制受到參數(shù)選取、被控對(duì)象系統(tǒng)參數(shù)以及工況的影響。但在控制器設(shè)計(jì)和應(yīng)用過程中，PID參數(shù)選取具有較大難度，參數(shù)的波動(dòng)影響系統(tǒng)的控制效果，因此，研究PID參數(shù)優(yōu)化具有重要的理論和工程意義[4]。

目前，研究學(xué)者針對(duì)PID控制器參數(shù)優(yōu)化已開展了較多研究[5-9]。在文獻(xiàn)[7]中，無需改變現(xiàn)有控制回路的正常運(yùn)行狀態(tài)，只要對(duì)通過控制回路的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，即可獲得重要臨界頻率響應(yīng)特性，然后在線辨識(shí)過程對(duì)象并采用基于Z-N的方法更新PID控制器參數(shù)。所提方法性能比傳統(tǒng)的Z-N法優(yōu)越，曲線更理想，但仍具有一定的局限性，需要事先確定期望值和相角，不具靈活性，缺乏優(yōu)化空間。文獻(xiàn)[8]提出了基于梯形隸屬函數(shù)的模糊切換算法及仿人智能思想的優(yōu)化改進(jìn)算法，并將其應(yīng)用于溫度控制系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)的模糊PID參數(shù)整定。此算法結(jié)合了二者的優(yōu)點(diǎn)，使系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性、無靜差等優(yōu)點(diǎn)，但缺點(diǎn)也比較明顯，主要體現(xiàn)在隸屬函數(shù)規(guī)則復(fù)雜，算法過程復(fù)雜，精度不高。文獻(xiàn)[9]用改進(jìn)遺傳算法對(duì)PID控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其中所做的改進(jìn)包括分別對(duì)算法程序中的交叉、變異環(huán)節(jié)做自適應(yīng)處理，用來提高算法效率和系統(tǒng)性能。所做改進(jìn)在優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量與執(zhí)行效率方面都具有較好的控制效果，但同時(shí)也增加了過程的計(jì)算量，解碼過程也相當(dāng)復(fù)雜。

基于以上分析可知，PID參數(shù)優(yōu)化既要使調(diào)整出來的控制器具有理想的效果，又不希望優(yōu)化過程復(fù)雜，計(jì)算量大，且耗時(shí)耗力。因此，粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法因其過程簡(jiǎn)單，易收斂，速度快等諸多優(yōu)點(diǎn)[10-11]進(jìn)入了研究者的視野。但同時(shí)也因其存在易早熟收斂陷入局部最優(yōu)的問題，文獻(xiàn)[12-13]的作者提出了雜交PSO算法的概念，在整定過程中引入隨機(jī)雜交概率；文獻(xiàn)[14]則引用了變異概率來克服算法易陷入局部最優(yōu)的缺陷。雖然文獻(xiàn)[12-14]中針對(duì)PSO算法的改進(jìn)擴(kuò)大了粒子的多樣性，提高了全局搜索的能力，但并未考慮引入的雜交和變異算子對(duì)算法穩(wěn)定性的影響。

因此，本文在借鑒遺傳算法中交叉和變異機(jī)制的同時(shí)引入精英保留的思想，保留最優(yōu)個(gè)體，避免引入雜交和變異操作引起的算法的不穩(wěn)定性，提高全局搜索能力的同時(shí)，提高全局收斂速度。

二、基于改進(jìn)PSO的PID控制器的設(shè)計(jì)

（一）適應(yīng)度函數(shù)選取。通過選取絕對(duì)誤差時(shí)間積分(integral time absolute error，ITAE)指標(biāo)作為適應(yīng)度目標(biāo)函數(shù)，以體現(xiàn)PID 控制器的優(yōu)化效果，即

式中，Jmin為ITAE性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，越小代表系統(tǒng)性能越好；e(t)為輸出與輸入之間的誤差；t為時(shí)間。

（二）基于改進(jìn)PSO的PID控制器設(shè)計(jì)。通過選取絕對(duì)誤差時(shí)間積分(integral time absolute error，ITAE)指標(biāo)作為適應(yīng)度目標(biāo)函數(shù)，以體現(xiàn)PID控制器的優(yōu)化效果，即

圖1 基于PSO的PID控制器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

其中，改進(jìn)粒子群算法將在下一章節(jié)詳述，此處不再贅述。而典型的PID控制器一般形式可表示為

式中，r(t)、u(t)和y(t)分別為輸入、控制器輸出以及系統(tǒng)輸出；Kp、Ki和Kd分別為比例、積分和微分系數(shù)。

在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也經(jīng)常寫成傳遞函數(shù)形式：

其中，Ti為積分時(shí)間常數(shù)，Td為微分時(shí)間常數(shù)。

三、基于改進(jìn)PSO的PID控制器的優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

（一）標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法。標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法是Shi.Y等人于1998年在最初版的PSO基礎(chǔ)上提出的增加了慣性權(quán)重系數(shù)w的改進(jìn)算法，其目的主要是平衡局部?jī)?yōu)化和全局優(yōu)化能力[15-16]。這主要是因?yàn)閣設(shè)置得較小時(shí)局部搜索能力更強(qiáng)，而較大是全局搜索能力更突出。如公式（5）所示

其中，vt和vt+1分別表示粒子更新前/后的速度；c1、c2為加速常數(shù)；r1、r2為產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)；分別為粒子的個(gè)體最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置；xt表示粒子x更新前的位置，其更新公式可表示為

若將w設(shè)定為某一固定值，則需要根據(jù)實(shí)際情況判斷，若小了容易陷入局部?jī)?yōu)化，若大了則不利于極值收斂。因此，為解決這一問題，提出了線性遞減慣性權(quán)重（linear decreasing inertia weight，LDIW），w隨著優(yōu)化迭代增加而改變，其公式為

式中，wmax、wmin、iter和Maxiter分別為最大權(quán)重值、最小權(quán)重值、當(dāng)前迭代代數(shù)和最大迭代數(shù)。

（二）粒子群算法的改進(jìn)。改進(jìn)粒子群算法是在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的基礎(chǔ)上引入遺傳算法中的雜交和變異概率以擴(kuò)大種群的多樣性，防止算法過早陷入局部收斂；同時(shí)為避免引入的雜交和變異操作影響算法的穩(wěn)定性，不利于算法的全局收斂，采用精英保留策略，對(duì)個(gè)體適應(yīng)度值進(jìn)行排序，優(yōu)先選擇個(gè)體適應(yīng)度值較高的個(gè)體。

具體的過程如下：

1）賦予每個(gè)粒子隨機(jī)數(shù)r1和r2，通過判斷隨機(jī)數(shù)是否小于等于雜交概率和變異概率決定當(dāng)前粒子是否進(jìn)行雜交、變異操作；

2）被選中的雜交個(gè)體，隨機(jī)選擇群體中的另一個(gè)粒子進(jìn)行雜交，子代粒子的位置由父母代進(jìn)行公式（8）操作來計(jì)算；

3）被選中的變異粒子通過變異以產(chǎn)生更優(yōu)秀的個(gè)體，變異操作方法為：

4）對(duì)通過交叉和變異之后的粒子進(jìn)行邊界檢測(cè)，對(duì)于超出邊界的粒子位置，在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中一般直接將其限制在邊界位置，偽代碼如式（11）所示。但在本文中，對(duì)于交叉變異操作后超出邊界的粒子，不以邊界對(duì)其約束，而是以式（12）所示的方式產(chǎn)生新變異的粒子替代超出搜索區(qū)域的粒子。當(dāng)進(jìn)化過程出現(xiàn)停滯或出現(xiàn)早熟收斂時(shí)，就能夠跳出當(dāng)前的位置，進(jìn)入其他區(qū)域進(jìn)行搜索。

5）以上交叉和變異操作的粒子因?yàn)槠涮S性搜索而使種群的多樣性得以維持，但也可能會(huì)造成最終收斂到全局最優(yōu)比較困難，因此作者將精英保留的思想應(yīng)用到此改進(jìn)PSO算法中，以避免最優(yōu)個(gè)體的信息丟失。假設(shè)種群的精英個(gè)體數(shù)為種群的1/4，在迭代進(jìn)化過程中，對(duì)迭代更新變化后種群和精英種群合并排序，剔除排序靠后的1/4個(gè)體，并將排序靠前的1/4個(gè)體的速度、位置以及適應(yīng)度值替代舊的精英個(gè)體。

（三）優(yōu)化設(shè)計(jì)過程?；诟倪M(jìn)PSO對(duì)PID控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，具體流程如圖2所示，主要步驟為：

步驟1）設(shè)置算法初始參數(shù)（c1、c2、w、交叉概率pc、變異概率mut、精英數(shù)目elitnum、總?cè)簲?shù)pop、參數(shù)范圍等），初始化個(gè)體的位置和速度。

步驟2）調(diào)用Simulink部分的PID_model文件，將算法程序中的未知參數(shù)依次傳遞給PID控制器的三個(gè)參數(shù)Kp，Ki，Kd；然后運(yùn)行控制系統(tǒng)的PID_model模型；最后，輸出絕對(duì)誤差時(shí)間積分ITAE，傳遞至PSO算法程序中。

步驟3）初始適應(yīng)度值極值排序，確定初始個(gè)體最優(yōu)粒子和初始全局最優(yōu)粒子；確定初始種群精英個(gè)體。

步驟4）執(zhí)行（4）（5）速度和位置更新操作，使用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法常用方法限制粒子更新速度和優(yōu)化范圍，調(diào)用步驟2）部分，計(jì)算個(gè)體ITAE。

步驟5）然后選擇父母粒子進(jìn)行雜交和變異操作，若交叉變異后的子代計(jì)算得到的個(gè)體適應(yīng)度值優(yōu)于父母粒子的適應(yīng)度值，則直接替換父母代粒子，否則重新進(jìn)行交叉變異操作。

步驟6）對(duì)更新后的粒子和精英粒子組合排序，選取前pop個(gè)粒子作為下一代粒子，選取前elitnum個(gè)粒子作為當(dāng)前精英粒子，并更新個(gè)體的最優(yōu)粒子和全局最優(yōu)粒子。

步驟7）最后根據(jù)ITAE是否滿足條件或是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若滿足條件，則退出算法，得到最優(yōu)解集；若不滿足，則按順序執(zhí)行步驟4）至步驟7）。

四、仿真分析及實(shí)驗(yàn)對(duì)比

通過仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)所提方法進(jìn)行測(cè)試，在仿真分析軟件Matlab上編寫改進(jìn)PSO算法程序，同時(shí)在Simulink系統(tǒng)中搭建PID模型文件。選取二階純滯后被控對(duì)象，傳遞函數(shù)如下：

設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的初始參數(shù)如下所示：粒子數(shù)pop為40；最大迭代次數(shù)為100；Kp，Ki，Kd三個(gè)參數(shù)的位置搜索范圍為[0，5]，速度范圍為[-0.1，0.1]；學(xué)習(xí)因子c1=c2=2；慣性權(quán)重從0.95到0.1線性下降。改進(jìn)的PSO算法在標(biāo)準(zhǔn)粒子算法的基礎(chǔ)上增加雜交概率pc為0.75，變異概率為0.08，精英個(gè)體數(shù)設(shè)定為10。另外，再將改進(jìn)的PSO算法與普通遺傳算法的PID控制效果相比較，設(shè)定其雜交概率為0.9，變異概率為0.1。

圖2 PID仿真模型

PID仿真模型如圖2所示，輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，設(shè)置的采樣時(shí)間間隔為0.001s，仿真時(shí)間為20s。經(jīng)過100次迭代后的三種方法的PID參數(shù)收斂圖以及單位階躍響應(yīng)比較圖分別如圖2、圖3所示。

從圖2的三種不同控制算法的函數(shù)收斂趨勢(shì)曲線圖可得出，由于交叉和變異概率的引入使得改進(jìn)粒子群算法雖然收斂速度不如標(biāo)準(zhǔn)PSO，但還是比遺傳算法的收斂速度更快，能有效找到最優(yōu)結(jié)果，且其目標(biāo)函數(shù)ITEA的搜索結(jié)果明顯優(yōu)于其他兩種算法的整定結(jié)果。

圖3 適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線

圖4 單位階躍曲線圖

表1 不同算法的PID參數(shù)對(duì)比

表2 不同算法的PID控制性能對(duì)比

表1為四種不同控制算法的Kp、Ki、Kd三個(gè)整定參數(shù)；表2為性能指標(biāo)超調(diào)量、整定時(shí)間和ITAE（絕對(duì)誤差）的比較。

由上圖和上表可知，與其他三種方法整定的控制效果相比較，改進(jìn)PSO的PID方法得到的系統(tǒng)最大偏差最小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值+2%的時(shí)間最短，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)的速度更快，控制性能最優(yōu)。

五、結(jié)論

本文基于改進(jìn)PSO對(duì)PID控制器參數(shù)進(jìn)行整定分析與研究。通過將交叉、變異概率應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)PSO算法中，能有效克服未改進(jìn)前的早熟陷入局部收斂的問題。同時(shí)為避免引入的雜交和變異操作影響算法的穩(wěn)定性，作者引入精英保留思想，提高算法的穩(wěn)定性和最終結(jié)果的全局收斂性。最后，通過實(shí)驗(yàn)證明此改進(jìn)PSO算法的整定控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)的ZN整定以及標(biāo)準(zhǔn)PSO以及遺傳算法，具有一定的推廣價(jià)值和應(yīng)用前景。