基于改進(jìn)的全變分圖像去噪算法研究

談晶圩，楊 敏

(南京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院、人工智能學(xué)院，江蘇 南京 210023)

圖像去噪［1］是圖像處理中的基本問題，其中全變分正則化模型［2］是應(yīng)用最普遍的去噪模型，能很好地保護(hù)圖像邊緣信息，但容易產(chǎn)生梯階效應(yīng)。研究者在模型和數(shù)值計算上對全變分模型進(jìn)行改進(jìn)，如廣義全變分［3］、交疊組稀疏全變分［4］、分?jǐn)?shù)階全變分［5］等，這些方法在定義梯度時只局限于垂直和水平方向，忽略了圖像許多結(jié)構(gòu)特征，在圖像復(fù)原時紋理結(jié)構(gòu)容易丟失，Chambolle等［6］在有限差分基礎(chǔ)上提出了迎風(fēng)有限差分，從更多方向上定義梯度。

本文針對全變分模型梯階效應(yīng)明顯的問題，受文獻(xiàn)［7］的啟發(fā)，在經(jīng)典的全變分去噪模型的基礎(chǔ)上，將迎風(fēng)差分引入全變分正則項中，將迎風(fēng)全變分代替?zhèn)鹘y(tǒng)全變分去噪模型中的各向異性全變分部分，利用迎風(fēng)有限差分定義梯度，更充分地考慮鄰域梯度信息，從而改善去噪性能，減少偽影，提高提取邊緣能力。在模型計算時采用原偶混合梯度算法［8］迭代優(yōu)化求解，基于對偶理論，將全變分模型轉(zhuǎn)化為對偶求解，既改善了去噪效果，同時保持圖像邊緣。

這種全變分模型在結(jié)構(gòu)上與具有鞍點結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型可建立對應(yīng)關(guān)系，所以采用能有效求解鞍點問題的原偶混合梯度算法來求解新模型，這種數(shù)值求解算法收斂速度快，效果好。應(yīng)用對偶理論將原問題轉(zhuǎn)成鞍點問題來求解，分開求解原始變量和對偶變量，每步的計算量較其他算法較少，降低了計算難度。本文算法與一些優(yōu)化求解算法，如拉格朗日乘子法［9］、投影法［10］、Bregman分裂迭代算法［11］和交替近端梯度法（APGM）［12］等相比，結(jié)構(gòu)較為簡單。因為這些優(yōu)化算法均需做梯度的復(fù)合運(yùn)算，而本文采用的基于預(yù)解式的原始對偶算法只需做單一的梯度運(yùn)算，迭代復(fù)雜度較低。雖然ADM［13］方法是求解全變分圖像復(fù)原的有效算法，一般用于有約束凸優(yōu)化問題。但是，對于大型數(shù)據(jù)或者求解高維最小化問題時，原偶混合梯度算法更為簡單、有效。

1 全變分新定義

數(shù)字圖像中，更多的使用差分來近似導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)［14］使用向后差分法，把圖像看作二維離散函數(shù)，最簡單的x和y方向梯度近似表達(dá)式如下

圖像的梯度表示為

梯度的方向是圖像函數(shù)u（x，y）變化最快的方向，在圖像邊緣處一定有較大的梯度值，相反，圖像中較平滑的部分灰度值變化較小，則相應(yīng)的梯度也較小。

經(jīng)典的圖像梯度計算方法考慮圖像的每個像素在它周圍鄰域內(nèi)的灰度變化，利用相鄰邊緣的一階或二階導(dǎo)數(shù)變化規(guī)律，對原始圖像中像素某個鄰域進(jìn)行梯度計算。

通常使用全變分正則項為各向同性，其離散定義為

傳統(tǒng)全變分去噪模型中正則項是各向異性擴(kuò)散項，邊緣容易出現(xiàn)偽影，梯階效應(yīng)明顯。梯階效應(yīng)使得圖像的光滑區(qū)域趨于分片常值，偽邊緣的出現(xiàn)嚴(yán)重影響圖像的視覺效果。

各向同性全變分是離散全變分定義的一個有缺陷的定義，它的最小化傾向于水平和垂直結(jié)構(gòu)，只考慮兩個方向0°和-90°的梯度信息作為正則項約束，容易產(chǎn)生梯階效應(yīng)。在圖像復(fù)原過程中，圖像邊緣的傾斜結(jié)構(gòu)使全變分值也變得更大。傳統(tǒng)全變分正則項梯度方向信息選取示意圖如圖1所示。

基于圖像各向同性全變分的旋轉(zhuǎn)不變性，即經(jīng)過任意旋轉(zhuǎn)后，圖像各向同性全變分的值不改變，使得在圖像處理的過程中找不到一個特定方向使圖像各向同性全變分值最小，導(dǎo)致圖像紋理不能夠有效提取。

用迎風(fēng)全變分來定義更具有各向同性的全變分模型

其中，u+表示max（u，0），迎風(fēng)全變分相對于各向同性是更具各向同性的，并且容易產(chǎn)生尖銳的傾斜邊緣，有利于減少邊緣偽影。相對于上述傳統(tǒng)方法只考慮0°和90°方向，新定義的全變分將方向0°，90°，180°，-90°的梯度作為正則項約束，更充分考慮像素點的鄰域梯度。在圖像處理中，它能去除淺色背景下的小而暗的噪聲點。既能發(fā)揮各向同性的特征，同時具有較好的圖像邊緣提取效果，提高圖像去噪效果。迎風(fēng)全變分正則項梯度方向信息選取示意圖如圖2所示。

2 基于原偶混合梯度算法的模型求解

2.1 全變分模型

全變分去噪模型的無約束優(yōu)化形式為其中，X表示有限維向量空間，‖·‖v表示歐幾里得范數(shù)，表示梯度算子，λ表示正則化參數(shù)，u表示去噪后圖像，g表示觀測圖像。式中第一項為正則項，代表原始圖像的先驗信息，第二項為保真項，用于保證去噪后圖像與觀測圖像的相似性。正則化參數(shù)用來平衡模型中正則項與保真項，當(dāng)取最優(yōu)值時，才能使恢復(fù)圖像效果最佳。

圖像去噪是一個從噪聲圖像中復(fù)原清晰圖像的逆問題，在去噪方法中，變分方法將逆問題建模為能量泛函的優(yōu)化問題。

能量泛函的梯度下降方程為

初始值設(shè)置u=g，通過梯度下降法對圖像進(jìn)行反復(fù)迭代計算直到得到一個最優(yōu)解，從而獲得復(fù)原圖像u。

2.2 原偶恢復(fù)模型

圖像恢復(fù)模型是求取正則化函數(shù)的極小化，作為圖像復(fù)原的結(jié)果。

式（5）中變分項是凸的、不可微、非光滑的，使得求解具有一定復(fù)雜度。原始對偶算法是近幾年提出的最優(yōu)化算法，因其高效的迭代方式備受關(guān)注，被廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域。首先定義參數(shù)

一般鞍點問題即原始對偶模型表示為

一般優(yōu)化問題表示為

式（8）相應(yīng)的對偶問題表示為

新定義的全變分圖像恢復(fù)模型可與原始對偶問題建立對應(yīng)關(guān)系，并采用原偶混合梯度算法進(jìn)行求解。

原始模型

根據(jù)式（7），原始對偶公式為

其中，p∈Y是對偶變量，給定凸集P是對偶空間

其中，‖p‖∞表示離散無窮范數(shù)

集合P是點狀球L2上的點，函數(shù)δP是集合P的指示函數(shù)，是恢復(fù)模型正則項的拓?fù)鋵ε迹x為

原始全變分問題（7）和原始對偶全變分問題（8）可以等價于對偶全變分問題

2.3 原偶混合梯度算法求解

基于預(yù)解式的原偶混合梯度算法的計算方法還需詳細(xì)描述預(yù)解算子（I+?F*）-1和（I+τ?G）-1。

首先，令原始變量x固定，求解對偶變量y，可得y的預(yù)解式

然后，令對偶變量y固定，求解原始變量x，可得x的預(yù)解式

當(dāng)函數(shù)F*和G至少有一個為凸函數(shù)時算法如下。

原偶混合梯度算法

對偶變量為

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文算法的有效性，與相關(guān)文獻(xiàn)算法進(jìn)行比較，考慮如下具有約束的迎風(fēng)差分全變分范數(shù)正則模型

測試圖像如圖3所示，是標(biāo)準(zhǔn)的Lena（512×512），Barara（512×512），Beth（256×256），Soccer（512×480），Dollar（512×512），Girl（768×512）圖像。如圖4（a）所示為加入0.3的高斯噪聲的圖像。

實驗均在Lenovo Y7000筆記本進(jìn)行，處理器為Inter（R）Core（TM）i5-8300H CPU@2.30 GHz和8 GB內(nèi)存，操作系統(tǒng)為Windows1064位，同時仿真軟件為Matlab（2018）。過去已經(jīng)有證明各項同性全變分模型比各向異性模型復(fù)原效果好［15］。在本文實驗中使用對比的方法如下：

（1）全變分原始對偶去噪（TV-PD）；

（2）迎風(fēng)全變分交替近端梯度（TVu-APGM）；

（3）全變分交替近端梯度（TV-APGM）；

（4）全變分Bregman（TV-Bregman）

（5）本文迎風(fēng)全變分原始對偶去噪；

為了評價算法的性能，使用峰值信噪比PSNR，結(jié)構(gòu)相似性SSIM 和算法迭代時間作為相應(yīng)評價指標(biāo)。

峰值信噪比PSNR是基于誤差敏感的圖像質(zhì)量評價。給定一個大小m×n的干凈圖像I和噪聲圖像K，均方誤差（MSE）定義為：

PSNR的值越大，失真越小。

SSIM（structural similarity）結(jié)構(gòu)相似性，SSIM取值范圍為［0，1］，值越大，表示圖像失真越小。

如表1所示，在Lena圖像去噪算法對比中，迭代次數(shù)為500，4種不同的方法設(shè)置不同的參數(shù)λ，選取最優(yōu)去噪效果作比較，相關(guān)對比數(shù)據(jù)見表1。

表1 圖像去噪算法對比

如表1所示，4種方法的去噪效果不盡相同，本文提出的模型對圖像恢復(fù)時的PSNR值均高于其他幾種方法，SSIM 值也基本高于其他幾種方法，說明在噪聲的情況下，本文方法具有較好的去噪效果。在測試圖片Lena上，初始值λ設(shè)置為19，本文方法的PSNR，SSIM在4種方法中數(shù)值最高，去噪效果和紋理信息的提取也相對較好。綜上6張圖片的各項評價指標(biāo)的數(shù)值對比，本文方法數(shù)值效果值最優(yōu)。

如表2所示，基于六張測試圖像的PSNR和SSIM兩個圖像質(zhì)量指標(biāo)平均值顯示，本文算法的峰值信噪比是最高的，在圖像效果上有明顯的提升。

表2 各算法評價指標(biāo)數(shù)值平均值對比

4 結(jié)束語

本文在全變分去噪模型基礎(chǔ)上，對正則化項進(jìn)行新定義，更多考慮邊緣信息，提高了邊緣結(jié)構(gòu)的提取效果，并利用原偶混合梯度算法求解。相比ADM算法，子問題求解難度減小。仿真實驗結(jié)果表明：在信噪比、圖像一致性方面，本文方法都有所提升。但是本文算法計算時間較長，在后續(xù)的研究中，針對迭代時間過長的問題，研究如何提高優(yōu)化算法的運(yùn)行效率和提升圖像復(fù)原效果。