雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列M IMO雷達(dá)DOD、DOA降維估計(jì)算法

周 圍，王 強(qiáng)，唐 俊，張 維

(1.重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院，重慶 400065 2.重慶郵電大學(xué) 移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)屬于陣列信號(hào)處理的范疇，主要應(yīng)用于無(wú)線通信、聲納、雷達(dá)、醫(yī)療、電子對(duì)抗等領(lǐng)域。其主要目的在于估計(jì)出信號(hào)入射至天線的角度，進(jìn)而完成測(cè)向和定位。自1979年Schmidt提出經(jīng)典的多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法使得波達(dá)方向估計(jì)進(jìn)入了超分辨時(shí)代以來(lái)，針對(duì)波達(dá)方向估計(jì)的研究層出不窮，極大地?cái)U(kuò)展了其深度和廣度。

多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷達(dá)［1］是2003年提出的新體制雷達(dá)，其特點(diǎn)在于發(fā)射陣列和接收陣列分別配置多根天線用于正交信號(hào)發(fā)射和遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)的回波接收，并依據(jù)收發(fā)陣列是否處于同一位置而分為收發(fā)共置單基地和收發(fā)單置雙基地兩種形式。MIMO雷達(dá)在空間分辨率、自由度以及參數(shù)的可識(shí)別性等方面均優(yōu)于傳統(tǒng)體制雷達(dá)，因而得到了學(xué)術(shù)界更多的關(guān)注。DOA估計(jì)以及離開(kāi)角（Direction of Departure，DOD）、DOA聯(lián)合估計(jì)則是MIMO雷達(dá)的重要研究?jī)?nèi)容，近年來(lái)已取得了一系列重要研究成果［2-7］。

互質(zhì)陣列是一種經(jīng)典的稀疏非均勻陣列，由于子陣陣元間距大于半波長(zhǎng)，因而在陣元數(shù)目受到限制下可擁有更大的陣列孔徑?；ベ|(zhì)陣列較于傳統(tǒng)均勻線陣具有以下的優(yōu)勢(shì)：（1）稀疏排布的陣元可實(shí)現(xiàn)對(duì)接收信號(hào)的欠采樣，進(jìn)而突破了奈奎斯特采樣定理對(duì)天線陣列陣元間距的物理限制；（2）擴(kuò)展的陣列孔徑可有效提高分辨率以及低信噪比情況下的性能；（3）可獲得遠(yuǎn)超陣元數(shù)目的自由度，從而使得該陣列結(jié)構(gòu)下的估計(jì)算法具有識(shí)別更多信源的能力。文獻(xiàn)［8］對(duì)經(jīng)典的互質(zhì)線陣、互質(zhì)面陣以及該陣列結(jié)構(gòu)下的DOA估計(jì)方法的研究進(jìn)展進(jìn)行了詳盡介紹。基于互質(zhì)陣列的DOA估計(jì)方法一般是通過(guò)兩個(gè)子陣得到各自的空間偽譜，譜峰重合的位置即為真實(shí)的DOA估計(jì)［9］，得益于更大的陣列孔徑，該陣列結(jié)構(gòu)下的DOA估計(jì)性能更佳，但是算法需要額外的解模糊操作，即找到重合的譜峰。此外亦有學(xué)者提出無(wú)需解模糊的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)，如文獻(xiàn)［10］提出了非圓信號(hào)下降維MUSIC算法的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)，直接使用全部陣列的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造空間協(xié)方差矩陣，最后利用降維思想得到DOA估計(jì)。展開(kāi)互質(zhì)陣列屬于互質(zhì)陣列的范疇，由文獻(xiàn)［11］首次提出，區(qū)別于傳統(tǒng)互質(zhì)陣列的地方在于兩個(gè)子陣是完全展開(kāi)的狀態(tài)，因而陣列孔徑得到進(jìn)一步的擴(kuò)展，基于展開(kāi)互質(zhì)陣列的DOA估計(jì)方法則使用全部陣列的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造協(xié)方差矩陣，進(jìn)而使用經(jīng)典DOA估計(jì)算法得到波達(dá)方向估計(jì)。文獻(xiàn)［12］利用展開(kāi)互質(zhì)L陣列結(jié)構(gòu)對(duì)非圓信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)，利用信號(hào)的非圓性，可將自由度擴(kuò)大至兩倍，并且獲得了更高的估計(jì)精度。文獻(xiàn)［13］利用展開(kāi)互質(zhì)L型陣列進(jìn)行二維DOA估計(jì)，可實(shí)現(xiàn)完全自由度，得益于擴(kuò)展的陣列孔徑，得到了更加精確的DOA估計(jì)。

傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)結(jié)構(gòu)則是將傳統(tǒng)互質(zhì)陣列分別作為收發(fā)陣列，由于更大的陣列孔徑以及MIMO雷達(dá)可獲得擴(kuò)展的虛擬陣列，該陣列結(jié)構(gòu)下的DOA估計(jì)和DOD、DOA聯(lián)合估計(jì)性能均優(yōu)于均勻陣列MIMO雷達(dá)下的估計(jì)。文獻(xiàn)［14］在談及展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)的同時(shí)，給出了傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)的具體結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)［15］則給出了展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)的結(jié)構(gòu)，并在該陣列下提出了combined-ESPRIT算法，直接求解閉式解得到DOD、DOA，避免了譜峰搜索使得運(yùn)算量大大降低。文獻(xiàn)［16］在該陣列結(jié)構(gòu)下提出了單基地下基于MUSIC算法以及傳播算子算法的DOA估計(jì)算法，得到極為優(yōu)異的DOA估計(jì)性能。

本文則進(jìn)一步地在文獻(xiàn)［16］的基礎(chǔ)上提出雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)DOD、DOA聯(lián)合降維估計(jì)算法。首先，由于MIMO雷達(dá)可虛擬出遠(yuǎn)大于陣元數(shù)目的虛擬陣列，其次，將展開(kāi)互質(zhì)陣列作為MIMO雷達(dá)的收發(fā)陣列，虛擬陣列的陣列孔徑得以極大地?cái)U(kuò)展?；诖?，算法獲得了顯著提升的分辨率，自由度提高至（M+N-1）2［16］以及低信噪比下更為優(yōu)異的估計(jì)性能。提出的算法首先將二維MUSIC算法中的搜索公式進(jìn)行重構(gòu)，隨后基于降維思想，增加了消除無(wú)意義解的約束方程，并構(gòu)造了基于約束條件下的求解最優(yōu)值的數(shù)學(xué)描述，利用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，先行解出DOA，然后將DOA回代解出DOD。算法獲得了優(yōu)異的性能，具體地，算法在信噪比低至-15 dB時(shí)仍能準(zhǔn)確識(shí)別多個(gè)信源的DOD、DOA；在信源數(shù)目高達(dá)57個(gè)時(shí)仍能準(zhǔn)確識(shí)別每個(gè)信源的DOD、DOA；在均方根誤差關(guān)于信噪比以及均方根誤差關(guān)于快拍數(shù)的性能比較上，算法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下的降維DOD、DOA估計(jì)算法，以及展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下的combined-ESPRIT算法，并且得益于降維思想無(wú)需二維窮盡搜索，因而計(jì)算量較于二維MUSIC算法大大降低。此外子陣數(shù)目的互質(zhì)消除了陣元間距大于半波長(zhǎng)可能導(dǎo)致的相位模糊問(wèn)題，本文亦給出了無(wú)相位模糊的數(shù)學(xué)證明。

1 系統(tǒng)模型

雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)包含異地放置的發(fā)射陣列和接收陣列，其幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。發(fā)射陣列與接收陣列各包含兩個(gè)稀疏均勻線陣的子陣1和子陣2，兩個(gè)子陣按照相反方向完全展開(kāi)排列，子陣1的最后一個(gè)陣元與子陣2的第一個(gè)陣元相重合。設(shè)子陣1和2的陣元數(shù)目分別為M，N，且M，N互質(zhì)，不失一般性設(shè)M＜N。子陣1陣元間距為Nλ/2，子陣2陣元間距為Mλ/2，其中λ為波長(zhǎng)，發(fā)射陣與接收陣各自的陣元數(shù)均為M+N-1。

發(fā)射陣列和接收陣列的陣元位置可表示為

其中，d0為半波長(zhǎng)。

現(xiàn)各個(gè)發(fā)射陣元同時(shí)發(fā)射同頻正交的周期相位編碼信號(hào)，發(fā)射信號(hào)滿足條件

其中，si，sj分別是第i個(gè)和第j個(gè)發(fā)射陣元的信號(hào)，L為每個(gè)重復(fù)周期的相位編碼個(gè)數(shù)。

假設(shè)存在K個(gè)互不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，且滿足K＜（M+N-1）2，發(fā)射角度分別為φ1，φ2，…，φK，目標(biāo)的回波波達(dá)角度分別為θ1，θ2，…，θK，因此發(fā)射陣以及接收陣關(guān)于第k個(gè)目標(biāo)的導(dǎo)向矢量可表示為

其中，at1（φk），at2（φk）分別是發(fā)射陣子陣1、子陣2的導(dǎo)向矢量，ar1（θk），ar2（θk）則分別是接收子陣1、子陣2的導(dǎo)向矢量，k=1，2，…，K。發(fā)射子陣與接收子陣的導(dǎo)向矢量表達(dá)式分別為

因此得到發(fā)射陣與接收陣的陣列流形At，Ar如下

進(jìn)而得到展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)的虛擬陣列流形

其中

?表示Khatri-Rao積，?表示Kronecker積。由此可得接收陣元經(jīng)過(guò)匹配濾波之后的接收數(shù)據(jù)

其中，s（t）是回波信號(hào)矢量

其中，βk為第k個(gè)點(diǎn)目標(biāo)的雷達(dá)截面系數(shù)（Radar Cross Section，RCS），fdk為第k個(gè)點(diǎn)目標(biāo)的多普勒頻率，fs為發(fā)射波形的脈沖重復(fù)頻率，n（t）是均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲矢量。

計(jì)算空間協(xié)方差矩陣Rxx

其中，Rss=E［s（t）sH（t）］=diag［σ21，σ22，…，σ2K］是信源的協(xié)方差矩陣，σ2k是第k個(gè)信源的功率，I是維度為（M+N-1）2×（M+N-1）2的單位矩陣。實(shí)際工程應(yīng)用中，空間協(xié)方差矩陣可用L個(gè)采樣快拍進(jìn)行估計(jì)，于是有

其中，t=1，2，…，L。

2 雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列M IMO雷達(dá)DOD、DOA聯(lián)合估計(jì)

2.1 基于二維MUSIC算法的雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列M IMO雷達(dá)DOD、DOA聯(lián)合估計(jì)算法

對(duì)空間協(xié)方差矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解

其中，Es是Rxx的K個(gè)主特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，即信號(hào)子空間，En是［（M+N-1）2-K］個(gè)其他特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，即噪聲子空間，Us和Un分別是K個(gè)主特征值以及［（M+N-1）2-K］個(gè)其他特征值所組成的對(duì)角矩陣。根據(jù)噪聲子空間與DOD、DOA對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量的正交性，可構(gòu)造二維空間譜的計(jì)算表達(dá)式

其中，a（φ，θ）=ar（θ）?at（φ）。K個(gè)譜峰所對(duì)應(yīng)的位置即為估計(jì)出的DOD、DOA。

2.2 雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列M IMO 雷達(dá)DOD、DOA聯(lián)合降維估計(jì)算法

上述的基于二維MUSIC算法的雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)DOD、DOA聯(lián)合估計(jì)算法涉及二維的窮盡搜索，因而運(yùn)算量極大，在實(shí)際的測(cè)向系統(tǒng)中應(yīng)用并不現(xiàn)實(shí)。針對(duì)該問(wèn)題，提出了該陣列結(jié)構(gòu)下基于降維MUSIC算法的DOD、DOA聯(lián)合估計(jì)算法。

首先定義V（φ，θ）

對(duì)式（18）重構(gòu)變形，表達(dá)為

為求得V（φ，θ）的極值點(diǎn)，首先增加約束條件eTat（φ）=1，其中e=［1，0，…，0］，以排除at（φ）為全0的無(wú)意義解。至此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束條件下求解最優(yōu)解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，描述如下

按照拉格朗日乘數(shù)法求解最優(yōu)值的標(biāo)準(zhǔn)方法，首先定義代價(jià)函數(shù)

其中，λ為常數(shù)，對(duì)式（21）求關(guān)于at（φ）的偏導(dǎo)，并使其為0

算法的步驟描述如下：

1.按照式（15）對(duì)接收信號(hào)求解空間協(xié)方差矩陣Rxx，并對(duì)該矩陣進(jìn)行特征值分解，得到噪聲子空間En。

2.按式（24）進(jìn)行峰值搜索，K個(gè)極大值所對(duì)應(yīng)的位置即為估計(jì)的DOA。

3.將步驟2中得到的DOA估計(jì)代入式（23），得到發(fā)射陣列下DOD所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量。

4.分別由式（26）、式（28）得到gk，ck，最后按照式（29）得到φ^k。

2.3 無(wú)相位模糊的證明

展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列以及接收陣列的陣元間距是半波長(zhǎng)的倍數(shù)，但是由于收發(fā)陣列的各自子陣的數(shù)目互質(zhì)，可避免陣元間距大于半波長(zhǎng)而可能導(dǎo)致的相位模糊問(wèn)題。

由于M，N互質(zhì)，根據(jù)文獻(xiàn)［10］定理1可知，不存在這樣的θak，使得式（33）成立。同樣的，可證明不存在φak，進(jìn)而無(wú)模糊問(wèn)題得證。

2.4 復(fù)雜度分析

本文提出的算法的復(fù)雜度主要與收發(fā)陣列的數(shù)目、信源數(shù)目K、快拍數(shù)L以及搜索次數(shù)n強(qiáng)相關(guān)。本部分主要對(duì)比該陣列結(jié)構(gòu)下二維MUSIC算法、combined-ESPRIT［15］算法、本文的降維算法的復(fù)雜度。首先，按照式（15）計(jì)算空間協(xié)方差矩陣C（M+N-1）2×（M+N-1）2，設(shè)a=M+N-1，則復(fù)雜度為L(zhǎng)a4。對(duì)進(jìn)行特征值分解的復(fù)雜度為O（a6）。本文算法在進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)使用譜峰搜索的方式，譜峰搜索部分復(fù)雜度為n［（a3+a2）（a2-K）+a2］。此外，在求解DOD的過(guò)程中只涉及輕量級(jí)的計(jì)算，因而將該部分復(fù)雜度忽略。因此本文算法總的復(fù)雜度近似為O｛La4+a6+n［（a3+a2）（a2-K）+a2］｝。同樣，可分析得到二維MUSIC算法以及combined-ESPRIT算法的復(fù)雜度并將其列于表1。此外，為了更直觀地表示各算法復(fù)雜度的差異，表1還給出了在搜索步進(jìn)為0.01°，M=4，N=3，快拍數(shù)L為1 000，信源數(shù)K為5時(shí)，各算法乘法次數(shù)的對(duì)比。由此可知，本文算法由于避免了二維的窮盡搜索，復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于二維MUSIC算法。在上述仿真條件下，具體的乘法次數(shù)僅有二維MUSIC算法的千分之一量級(jí)。但是本文算法仍需一維的窮盡搜索，因而其復(fù)雜度相較無(wú)需窮盡搜索、以求解閉式解為特征的combined-ESPRIT算法依舊是巨大的，combined-ESPRIT算法的乘法次數(shù)僅有本文算法的百分之一。但是需指出本文算法與combined-ESPRIT算法的復(fù)雜度上的顯著差異應(yīng)當(dāng)歸因于譜峰搜索算法，與直接求解閉式解算法存在基本原理上的差別。

表1 各算法復(fù)雜度以及某條件下的乘法次數(shù)對(duì)比

3 仿真結(jié)果分析

針對(duì)所提算法在MATLAB R2016a軟件上進(jìn)行了數(shù)值仿真，以驗(yàn)證其性能。默認(rèn)仿真條件為搜索步進(jìn)為0.01°，展開(kāi)互質(zhì)陣列以及傳統(tǒng)互質(zhì)陣列的子陣1、2的陣元數(shù)目均分別設(shè)為M=4、N=3，信源數(shù)目設(shè)為6，且6個(gè)信源的DOD、DOA角度對(duì)分別為［（-62°，-50°），（-55°，-35°），（-47°，-20°），（50°，48°），（65°，60°）］。

3.1 DOD、DOA聯(lián)合估計(jì)二維圖譜

信噪比SNR設(shè)置為-15 dB，快拍數(shù)L為500，其他仿真條件均為默認(rèn)。分別得到展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)、傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)以及均勻陣列MIMO雷達(dá)下的DOD、DOA聯(lián)合降維估計(jì)算法的二維圖譜，如圖2所示。該仿真條件下，展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下算法可準(zhǔn)確識(shí)別DOD和DOA，同時(shí)均勻陣列MIMO雷達(dá)下的估計(jì)已經(jīng)基本無(wú)法得到正確估計(jì)，而傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下的估計(jì)亦能夠識(shí)別DOD、DOA，但精確度不及展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下的算法。

進(jìn)行多信源數(shù)的空間譜圖的仿真，其他條件不變，子陣1、2的陣元數(shù)目分別設(shè)為M=7，N=5，信噪比設(shè)為0 dB，信源數(shù)設(shè)置為57，DOD以及DOA均設(shè)為在［-70°，70°］上以2.5°等間隔分布。得到空間二維圖譜如圖3所示，可見(jiàn)算法幾乎能夠準(zhǔn)確識(shí)別每個(gè)信源的DOD、DOA。

3.2 均方根誤差仿真

本部分對(duì)比雙基地傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)DOD、DOA聯(lián)合降維估計(jì)算法，雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)DOD、DOA聯(lián)合降維估計(jì)算法以及文獻(xiàn)［15］combined-ESPRIT算法的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）。均方根誤差的計(jì)算公式如下RMSE=其中，G是蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)，φ^k，i是第i次對(duì)φk的估計(jì)值，θ^k，i是第i次對(duì)θk的估計(jì)值。

3.2.1 均方根誤差隨SNR的變化關(guān)系

快拍數(shù)設(shè)為1 000，其他仿真條件均為默認(rèn)。每個(gè)信噪比下進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，得到RMSE關(guān)于SNR的變化關(guān)系如圖4所示。可見(jiàn)本文算法在信噪比較低時(shí)顯著優(yōu)于其他兩種算法，在SNR低至-14 dB時(shí)RMSE可達(dá)到小于0.2°，而combined-ESPRIT算法的RMSE幾乎達(dá)到了0.9°。在信噪比較高時(shí)，本文算法仍具備明顯優(yōu)勢(shì)。所以在RMSE關(guān)于信噪比變化中本文算法全面優(yōu)于其他兩種算法。

3.2.2 均方根誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系

設(shè)置信噪比SNR為0 dB，其他條件為默認(rèn)。同樣地，在每個(gè)快拍數(shù)下進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，得到RMSE隨快拍數(shù)的變化關(guān)系，如圖5所示?？梢?jiàn)本文算法RMSE在快拍數(shù)由100升至1 000的過(guò)程中均明顯優(yōu)于其他兩種算法。同樣可見(jiàn)本文算法的RMSE在快拍數(shù)大于300以后對(duì)快拍數(shù)的進(jìn)一步提高已不再敏感。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)雙基地展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下的DOD、DOA聯(lián)合估計(jì)進(jìn)行了深入的研究。首先，該陣列結(jié)構(gòu)將展開(kāi)互質(zhì)陣列作為MIMO雷達(dá)的收發(fā)陣列，獲得了大幅擴(kuò)展的陣列孔徑，其次MIMO雷達(dá)能夠獲得遠(yuǎn)超實(shí)際陣元數(shù)目的虛擬陣列，這在提高算法估計(jì)精度的同時(shí)亦使得自由度大幅提高，達(dá)到（M+N-1）2。基于該陣列，提出了基于降維MUSIC算法的DOD、DOA估計(jì)方法。該算法下DOD、DOA自動(dòng)配對(duì)，且子陣間距大于半波長(zhǎng)可能導(dǎo)致的相位模糊問(wèn)題可由子陣數(shù)目互質(zhì)得以消除。該算法獲得了顯著提升的分辨率、自由度以及低信噪比下更為優(yōu)異的估計(jì)性能。仿真結(jié)果表明算法在信噪比低至-15 dB時(shí)，對(duì)6個(gè)信源的估計(jì)仍有著優(yōu)異的估計(jì)性能，在識(shí)別信源數(shù)目高達(dá)57個(gè)的場(chǎng)景下亦優(yōu)勢(shì)明顯。在均方根誤差關(guān)于信噪比以及均方根誤差關(guān)于快拍數(shù)的性能比較上，算法亦顯著優(yōu)于傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下的降維DOD、DOA估計(jì)算法以及展開(kāi)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下的combined-ESPRIT算法?；谏鲜龇抡鎸?shí)驗(yàn)可得出結(jié)論，算法的估計(jì)性能全面優(yōu)于傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)下的估計(jì)算法以及文獻(xiàn)［15］中的combined-ESPRIT算法。但是，值得說(shuō)明的是本文算法優(yōu)于combined-ESPRIT算法是在復(fù)雜度呈指數(shù)級(jí)提升的前提下獲得的。