基于通用生成函數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化

蔣國盛, 周金宇, 朱達(dá)偉, 莊百亮

(1. 江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 常州 213001; 2. 金陵科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院, 南京 211169;3. 機(jī)械科學(xué)研究總院江蘇分院有限公司, 江蘇 常州 213001)

可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)是不確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化的主要途徑, 可分為雙循環(huán)法、單循環(huán)法和解耦法．雙循環(huán)法是最直接的可靠性優(yōu)化方法,于明等[1]通過雙循環(huán)法將多學(xué)科優(yōu)化與可靠性分析相結(jié)合,以離心式壓氣機(jī)葉輪為研究對象, 綜合考慮環(huán)境和材料性能等隨機(jī)因素的影響,提高了設(shè)計(jì)方案的準(zhǔn)確性和可靠性．由于雙循環(huán)法包含2個依次進(jìn)行的循環(huán)過程, 計(jì)算效率較低,故研究人員在此基礎(chǔ)上提出解耦法．解耦法的本質(zhì)是將結(jié)構(gòu)優(yōu)化與可靠性分析分開, 將基于可靠性的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為確定性序列的優(yōu)化問題,從而提高計(jì)算效率．Yi等[2]對解耦法(sequential optimization and reliablity assessment, SORA)進(jìn)行改進(jìn), 在可靠性評估中采用了近似最可能目標(biāo)點(diǎn)和近似概率性能測度, 該方法比SORA和其他常用的可靠性優(yōu)化方法效率高、魯棒性強(qiáng); Ho-Huu等[3]發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)解耦法處理可靠性優(yōu)化問題的最優(yōu)結(jié)果依賴于初始點(diǎn),故提出一種將SORA算法與改進(jìn)的約束差分進(jìn)化算法相結(jié)合的SORA-ICDE算法, 其具有全局搜索機(jī)制,提高了算法適用性．但雙循環(huán)法和解耦法都是由優(yōu)化循環(huán)和可靠性分析循環(huán)構(gòu)成, 計(jì)算效率并無明顯提高．為此,人們使用單循環(huán)法將可靠性分析過程用確定性約束條件代替．Mansour等[4]提出一種基于響應(yīng)面法的單循環(huán)可靠性優(yōu)化算法, 避開了最可能點(diǎn), 具有較高的計(jì)算精度和效率．

通用生成函數(shù)(universal generating function, UGF)自1986年提出后便在可靠性領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用．21世紀(jì)初, 研究者提出了多種基于UGF的可靠性分析方法．Bisht等[5]提出一種利用UGF和歐文方法計(jì)算復(fù)雜橋梁網(wǎng)絡(luò)的可靠性指標(biāo)算法; 高貴兵等[6]為解決多狀態(tài)系統(tǒng)組合爆炸問題, 提出了一種基于UGF的混流制造系統(tǒng)脆弱性量化評價方法; 劉成龍等[7]利用UGF對復(fù)合材料層進(jìn)行可靠性分析,證明其適用于多變量、非線性、非正態(tài)功能函數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)．本文將通用生成函數(shù)引用到結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化中, 通過k-means聚類[8-9]和同類項(xiàng)合并方法抑制組合爆炸的發(fā)生,提高高度非線性問題的計(jì)算精度和效率,為結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化提供新的模型算法．

1 算法介紹

1.1 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要目的是在滿足可靠性要求的條件下使目標(biāo)函數(shù)最小或最大化．典型的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型[10-11]可表示為mind,μXf(d,μX,μP), s.t.Pr[Gi(d,P)≤0]≥R(i=1,2,…,n), 式中f為目標(biāo)函數(shù);d為確定性設(shè)計(jì)向量,X為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量的參數(shù)向量,P為隨機(jī)不確定變量的參數(shù)向量,μX,μP分別表示為X,P的均值向量;Gi(d,P)≤0表示結(jié)構(gòu)失效;Pr[]為失效概率向量;R為可靠性指標(biāo)．

1.2 k-means聚類算法

1.3 基于UGF的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程

傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)在處理復(fù)雜的工程問題時,往往因非正態(tài)、非線性功能函數(shù)等因素出現(xiàn)計(jì)算效率低、精度不高等問題．故將UGF法引入結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化中, 代替雙循環(huán)法中的一次二階矩法、二次二階矩法以及蒙特卡羅法等傳統(tǒng)算法,并在可靠性分析時加入k-means聚類和同類項(xiàng)合并以減少計(jì)算成本．圖2為基于UGF的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖,Uj表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的通用生成函數(shù),Pab表示與性能值對應(yīng)的概率值,gb表示隨機(jī)變量的性能值,a,b分別為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的元件個數(shù)和元件狀態(tài)的個數(shù)．

2 算例

2.1 數(shù)值算例

1) 線型極限功能函數(shù)數(shù)學(xué)模型．結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為minf=m1+m2, s.t.Pr[g(M,T)≤0]≤Φ′(-β), 線性極限功能函數(shù)為g(M,T)=t1+t2+m1+m2, 式中M=(m1,m2)是設(shè)計(jì)變量的向量;T=(t1,t2)是隨機(jī)變量的向量, 服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立;t1,t2的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為[5, 3]和[1.5, 0.9]; 可靠度指標(biāo)β為2.33;Φ′是可靠度指標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)．分別采用蒙特卡羅法、一次二階矩法、二次二階矩法以及UGF進(jìn)行可靠性優(yōu)化, 并以蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果作為檢測標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較,優(yōu)化結(jié)果見表1, 其中蒙特卡羅法的試驗(yàn)樣本數(shù)為106, UGF(1), UGF(2), UGF(3)分別表示聚類后樣本數(shù)為5, 10, 15的通用生成函數(shù)．由表1可知,UGF、一次二階矩法、二次二階矩法對于正態(tài)線性功能函數(shù)而言計(jì)算精度相近,但聚類后的樣本數(shù)過少會影響UGF的計(jì)算精度．

表2 非線性極限功能函數(shù)模型的可靠性優(yōu)化結(jié)果

2.2 工程實(shí)例

表3 復(fù)合材料層的可靠性優(yōu)化結(jié)果

3 結(jié)論

基于通用生成函數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化,相較于一次二階矩法等傳統(tǒng)可靠性方法,在解決非線性非正態(tài)問題時,依然保持較高的精度,具有廣泛的適用性;相較于蒙特卡羅法,在保證精度的條件下,計(jì)算成本大幅度減少,具有良好的工程實(shí)用性．運(yùn)用通用函數(shù)法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化時,通過同類項(xiàng)合并、k-means聚類算法簡化計(jì)算,可抑制組合爆炸的發(fā)生,提高計(jì)算效率．