基于MATLAB的紙飛機(jī)飛行軌跡分析

劉浩　黨尹澤　宋杰　陳劍飛　宋超俊

摘 要：隨著科學(xué)技術(shù)和國內(nèi)外航模比賽的發(fā)展，紙飛機(jī)運(yùn)動模型因其可運(yùn)用到各類小型飛行器中而得到越來越多的關(guān)注，針對 Suzanne 折法的紙飛機(jī)，基于紙飛機(jī)的空氣動力學(xué)， 運(yùn)用微分分析方法對無動力滑翔的最佳投擲角度進(jìn)行了研究。

紙飛機(jī)整體飛行階段為周期震蕩衰減過程，在確定紙飛機(jī)重心的基礎(chǔ)上分階段進(jìn)行受力分析，基于能量守恒定律和微分分析得到其不同階段的運(yùn)動路徑分析公式，建立了其爬升、俯沖和滑翔軌跡的仿真模型。在仿真模型下，基于紙飛機(jī)受力分析與運(yùn)動方程，建立了紙飛機(jī)重心調(diào)整后的二維動力學(xué)模型。用 MATLAB 模擬了在不同拋射角度下的紙飛機(jī)的飛行軌跡，根據(jù)軌跡趨勢利用單向?qū)?yōu)搜素法得出紙飛機(jī)在，飛行距離最長。

最后在模型拓展部分，我們通過加膠帶等改變飛機(jī)重心，研究了重心位置對阻力系數(shù)的影響，在仿真模型下調(diào)整紙飛機(jī)重心，基于紙飛機(jī)受力分析與運(yùn)動方程，建立了紙飛機(jī)重心調(diào)整后的三自由度動力學(xué)模型。用MATLAB模擬了在不同重心位置和拋射角度下的紙飛機(jī)的飛行軌跡，根據(jù)軌跡趨勢利用單向?qū)?yōu)搜素法得出：紙飛機(jī)在原來的重心基礎(chǔ)上向x和y方向偏1mm，在投擲角度為20.8°時，紙飛機(jī)的飛行距離最遠(yuǎn);在22.4°時，紙飛機(jī)的滯空時間最長。

紙飛機(jī)飛行距離的影響因素：

（1）質(zhì)量因素：

1、熟練掌握折疊方法，力求每個折痕一次成功。

2、保持手指干凈、干燥。

3、按照折痕折疊。

4、折好的邊角和舵沒有翹起。通過多次飛行練習(xí)實(shí)驗(yàn)我發(fā)現(xiàn)在紙飛機(jī)折疊的質(zhì)量比較好而且新的時候飛得遠(yuǎn)，在紙飛機(jī)用了一段時間后，它飛的就沒以前飛得遠(yuǎn)，飛得好了。因此紙飛機(jī)質(zhì)量也決定著紙飛機(jī)的飛行距離。如果你想讓你的紙飛機(jī)的飛行距離會比較遠(yuǎn)，那么你首先要做的就是折疊的一架質(zhì)量比較好紙飛機(jī)，并學(xué)會保養(yǎng)并修理它的方法。

（2）人為因素：

影響紙飛機(jī)飛的遠(yuǎn)近還有人為因素，也就是紙飛機(jī)飛的距離遠(yuǎn)近，取絕于人用力大小等因素，通過大量的實(shí)驗(yàn)探究我總結(jié)出投擲紙飛機(jī)的時候一定要注意以下幾點(diǎn)。

1.用力適中：理論上投擲力量越大，飛得越遠(yuǎn)，但是實(shí)際上力量越大，越不容易做到“水平投擲”和“直線加力”。而且用力過大的話，還容易損壞紙飛機(jī)?，F(xiàn)場試飛應(yīng)該逐漸加力投擲，摸索出一個保證投擲技術(shù)前提下的最佳投擲力度。

2.放飛高度：站在不同高度放飛紙飛機(jī)，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)放飛高度也會在一定程度上影響紙飛機(jī)飛行距離。

我總結(jié)的影響紙飛機(jī)飛行距離的因素就以上兩大因素：一、質(zhì)量因素;二、人為因素。

MATLAB仿真建模：對紙飛機(jī)進(jìn)行受力分析，飛機(jī)受重力、空氣阻力、以及向上的升力。

空氣阻力的計(jì)算：根據(jù)空氣阻力的公式：F=（1/2）CρSV^2 計(jì)算.式中：C為空氣阻力系數(shù);ρ為空氣密度;S物體迎風(fēng)面積;V為物體與空氣的相對運(yùn)動速度.由上式可知，正常情況下空氣阻力的大小與空氣阻力系數(shù)及迎風(fēng)面積成正比，與速度平方成正比。

飛機(jī)升力計(jì)算：伯努利原理（又稱伯努利定律或柏努利定律）是流體力學(xué)中的一個定律，由瑞士流體物理學(xué)家丹尼爾·伯努利于1738年出版他的理論《Hydrodynamica》，描述流體沿著一條穩(wěn)定、非黏性、不可壓縮的流線移動行為。 伯努利原理往往被表述為p+1/2ρv2+ρgh=C，這個式子被稱為伯努利方程。式中p為流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng)，v為流體該點(diǎn)的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點(diǎn)所在高度，C是一個常量。它也可以被表述為 ：? p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。

由滿足庫塔條件所產(chǎn)生的繞翼環(huán)量導(dǎo)致了機(jī)翼上表面氣流向后加速，由伯努利定理可推導(dǎo)出壓力差并計(jì)算出升力，這一環(huán)量最終產(chǎn)生的升力大小亦可由庫塔-茹可夫斯基方程計(jì)算：

L（升力）=ρVΓ（氣體密度×流速×環(huán)量值）

根據(jù)海姆霍茲旋渦守恒定律，對于理想不可壓縮流體在有勢力的作用下翼型周圍也會存在一個與起動渦強(qiáng)度相等方向相反的渦，叫做環(huán)流，或是繞翼環(huán)量。

受力分析過后，飛機(jī)形狀、大小等對飛機(jī)飛行的影響都已知曉，就可以把飛機(jī)簡化成質(zhì)點(diǎn)，求出軌跡公式;水平方向飛機(jī)受阻力，豎直方向飛機(jī)受重力和升力。

由假設(shè)得：（1）飛機(jī)左右受力平衡，所以可以簡化為二維模型。（2）每次投擲的力相同，所以每次投擲的初速度v0相同，則：

vx0=v0*cosθ;（1）

vy0=v0*sinθ;（2）

由阻力公式：F=（1/2）CρSV^2、升力公式：L=ρVΓ、重力加速度g、牛頓第二定理F=ma，求出速度、位移公式：

vx=vx0+at;（3）

vy=vy+bt;（4）

x=vx0t+1/2at^2;（5）

y=vy0t+1/2bt^2。（6）

模型：

（1）將投擲角度θ∈[0°，90°]平均劃分為6個區(qū)間，從每個區(qū)間內(nèi)取出一個角度，導(dǎo)入MATLAB，仿真得出最大位移對應(yīng)的投擲角度區(qū)間。

（2）將上面得出的投擲角度區(qū)間再劃分為6個區(qū)間，從每個區(qū)間內(nèi)取出一個角度，導(dǎo)入MATLAB，仿真得出最大位移對應(yīng)的投擲角度區(qū)間。

（3）以此類推……直至得出最遠(yuǎn)位移，得到最佳投擲角度。

6、模型求解

下圖為投擲角度θ=0°、45°、90°的仿真圖（其余角度僅進(jìn)行仿真對比）：

（1）進(jìn)行模型仿真得出最大位移區(qū)間為[25°，45°]，

（2）以此類推進(jìn)行多次仿真，得出最大位移的投擲角度為29°。最大位移所得的仿真圖

（3）綜合以上優(yōu)化結(jié)果，可得到此題的答案：在高度和初速度一致的情況下，當(dāng)投擲角度為29°時，紙飛機(jī)的飛行距離最遠(yuǎn)約為65.5m.

7、模型優(yōu)缺點(diǎn)分析

優(yōu)點(diǎn)：運(yùn)用仿真，可以排除外界環(huán)境干擾，精確求值。

缺點(diǎn)：過程繁瑣。