白 杰,朱日興,王 偉,馬 振
(中國民航大學(xué)適航學(xué)院,民用航空器適航審定技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300300)
比例-積分-微分控制(PID)在控制工程中一直占據(jù)著主導(dǎo)地位。然而,實(shí)際中導(dǎo)數(shù)不能直接測(cè)量或直接測(cè)量會(huì)造成較大的代價(jià)。所以工程控制領(lǐng)域大部分是采用PI控制器[1]。為解決此問題,韓京清[2-3]率先提出用跟蹤微分器來提取微分信號(hào)。此后,于1998年提出自抗擾控制(ADRC)思想,即以跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和非線性狀態(tài)反饋共同組成自抗擾控制器[4]。自抗擾控制作為一種新型的控制策略,吸取了經(jīng)典PID控制精髓,且不依賴系統(tǒng)模型。因此,得到中外學(xué)者廣泛關(guān)注,但由于ADRC的參數(shù)個(gè)數(shù)過多導(dǎo)致參數(shù)整定困難,在工程應(yīng)用中一直未能廣泛推廣。為此,Gao[5]于2003年提出將非線性ADRC轉(zhuǎn)化為線性ADRC(LADRC),從而使ADRC調(diào)整參數(shù)得以簡(jiǎn)化,物理意義更為直觀,同時(shí)LADRC又繼承了ADRC不依賴系統(tǒng)模型和抗干擾能力強(qiáng)等特性。研究表明[6],利用LADRC技術(shù)可使系統(tǒng)達(dá)到兩個(gè)目標(biāo):首先,使閉環(huán)系統(tǒng)具有收斂性;其次,通過調(diào)整線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)的帶寬,使得閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能逼近參考指令。
目前,LADRC在工程應(yīng)用中得到良好推廣,在過程控制領(lǐng)域中,如冶金、化工、電廠等,同時(shí)在運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域,如汽車、機(jī)電、航海、航空航天等也有涉及,這體現(xiàn)出LADRC良好的工程應(yīng)用前景和寬廣的適應(yīng)能力。例如在航空領(lǐng)域中,近年來采用LADRC技術(shù)的研究成果逐年增多,如直升機(jī)軌跡跟蹤[7]、艦載飛機(jī)短距起飛[8]、飛行控制系統(tǒng)[9],導(dǎo)彈飛行制導(dǎo)[10]等。航空發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)定點(diǎn)控制器設(shè)計(jì),常用發(fā)動(dòng)機(jī)壓比(EPR)和風(fēng)扇轉(zhuǎn)速(Nf)來進(jìn)行設(shè)定點(diǎn)控制。相比于傳統(tǒng)的PID控制,LADRC具有的超調(diào)小、收斂速度快、精度高和抗干擾能力強(qiáng)等特點(diǎn)[11],特別適合航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制所要求的超調(diào)小、無穩(wěn)態(tài)誤差及響應(yīng)速度快的設(shè)定點(diǎn)控制器設(shè)計(jì)。
將LADRC控制器經(jīng)參數(shù)整定后,應(yīng)用到風(fēng)扇轉(zhuǎn)速中進(jìn)行設(shè)定點(diǎn)控制,同時(shí)與其他傳統(tǒng)的發(fā)動(dòng)機(jī)控制方法所設(shè)計(jì)的控制器作對(duì)比,以突出LADRC控制器優(yōu)良的控制性能。
LADRC基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。LADRC主要由兩部分組成:LESO和PD線性組合控制律。LESO通常是以連續(xù)狀態(tài)空間模型來呈現(xiàn),LESO的輸入為對(duì)象輸出y、控制輸出u,其輸出為對(duì)象輸出y的觀測(cè)值z(mì)1、y的一階微分的觀測(cè)值z(mì)2以及總擾動(dòng)f的觀測(cè)值z(mì)3。PD則是LESO觀測(cè)輸出z1、z2的線性組合,控制器輸入為z1、z2以及給定的參考輸入R,輸出為控制器輸出u。整個(gè)連續(xù)LADRC輸入為對(duì)象輸出y以及給定R,輸出為控制器輸出u。
LESO是LADRC的主要結(jié)構(gòu),連續(xù)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)的狀態(tài)方程為
(1)
(2)
式(2)中:uc=[uy]T是組合輸入,yc是輸出,A、B、C的取值見式(1),L為需要設(shè)計(jì)的觀測(cè)器增益矩陣。取觀測(cè)器的增益矩陣為
(3)
使得:
λ(s)=|sI-(A-LC)|=(s+ω0)3
(4)
式(4)中:I為單位矩陣。觀測(cè)器增益矩陣與觀測(cè)器的帶寬唯一相關(guān),使得連續(xù)LESO的設(shè)計(jì)變得簡(jiǎn)單。采用經(jīng)典的PID組合,即線性狀態(tài)誤差反饋控制律來簡(jiǎn)化ADRC控制器設(shè)計(jì)。鑒于ESO能夠?qū)崟r(shí)估計(jì)并補(bǔ)償外部與內(nèi)部擾動(dòng),因此PID中為消除穩(wěn)態(tài)誤差而采用的積分器已不再需要。控制器得以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為PD組合的控制律設(shè)計(jì)。經(jīng)過參數(shù)化,選擇:
(5)
式(5)中:ωc為控制器帶寬。使得PD控制器參數(shù)能夠唯一與控制器帶寬相聯(lián)系,進(jìn)一步簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)。對(duì)于常見的大部分工程對(duì)象,ωc與ω0可按ω0=(3~5)ωc的關(guān)系選擇,這進(jìn)一步減少了所需整定的LADRC參數(shù)。
由于最小相位系統(tǒng)下的階躍響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)負(fù)調(diào)現(xiàn)象,這嚴(yán)重影響系統(tǒng)快速性和穩(wěn)定性。因此,在實(shí)際工程中,針對(duì)非最小相位系統(tǒng)是存在控制難點(diǎn)的。然而,利用自抗擾控制思想可有效解決該問題[6]。文獻(xiàn)[12]也通過仿真證明了自抗擾控制技術(shù)可用于不穩(wěn)定對(duì)象和非最小相位系統(tǒng)的控制。
鑒于LADRC不依賴于系統(tǒng)模型且具有強(qiáng)抗干擾的特性。將設(shè)計(jì)的LADRC控制器在最小相位系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)整定,選取合適參數(shù),以期望在嚴(yán)苛的系統(tǒng)中能夠滿足較好性能的控制器,在應(yīng)用到發(fā)動(dòng)機(jī)模型時(shí)依舊滿足良好性能。為滿足線性化發(fā)動(dòng)機(jī)模型的基本形式,設(shè)某被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型如式(6)所示,并以此為基礎(chǔ),為L(zhǎng)ADRC控制器選取合適的控制參數(shù)。
(6)
根據(jù)上述LADRC控制器設(shè)計(jì),參考文獻(xiàn)[13]對(duì)LADRC參數(shù)調(diào)整的方法,為加快調(diào)節(jié)速度及減小偏差,以期望得到更好的控制性能,將控制器的增益作了如下調(diào)整。
(7)
式(7)中:系數(shù)K為待優(yōu)化的動(dòng)態(tài)調(diào)整系數(shù)。因此,LADRC控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)只需調(diào)整三個(gè)參數(shù),分別為控制器帶寬ωc、控制器的控制增益b0和動(dòng)態(tài)調(diào)整系數(shù)K。式(7)為被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型,將所設(shè)計(jì)的LADRC控制器應(yīng)用于該系統(tǒng)中,以研究控制器參數(shù)ωc、b0和K對(duì)系統(tǒng)輸出性能的影響,圖2為控制器各參數(shù)變化后輸出的曲線變化。
如圖2所示是各參數(shù)變化后對(duì)LADRC控制性能的影響變化曲線圖??梢钥闯鲈趫D2(a)中,控制器帶寬ωc和動(dòng)態(tài)調(diào)整系數(shù)K保持不變,即取ωc=1,取K=10。而控制器的控制增益b0在5~10范圍進(jìn)行調(diào)整,以判斷b0對(duì)該系統(tǒng)控制性能的影響。仿真結(jié)果表明,當(dāng)b0取值相對(duì)較小時(shí),如取b0=8時(shí)控制輸出會(huì)出現(xiàn)小幅度的超調(diào)現(xiàn)象,隨著b0取減小,負(fù)調(diào)的幅度增大。當(dāng)取b0=10時(shí)則無超調(diào),且負(fù)調(diào)最小,但調(diào)節(jié)時(shí)間延長(zhǎng)。在圖2(b)中ωc和b0保持不變,即取ωc=1、b0=10,K=4~5,從而判斷K對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響。結(jié)果表明,K取值較大時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)速度更快。在圖2(c)中,保持K與b0不變,即取K=1、b0=10、ωc=1.5~2,以判斷ωc對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響。仿真結(jié)果展示,ωc取值越大,系統(tǒng)響應(yīng)的快速性明顯更快,但負(fù)調(diào)的幅度也相對(duì)較大。從圖2可看出,參數(shù)ωc、b0、K相互影響,只有當(dāng)三個(gè)參數(shù)配合得當(dāng)才能達(dá)到良好的控制效果。依照三個(gè)參數(shù)選擇對(duì)系統(tǒng)控制效果影響的規(guī)律,取值合適的控制參數(shù)用于LADRC控制器以控制風(fēng)扇轉(zhuǎn)速設(shè)定點(diǎn)控制中。
目前,通常使用EPR或Nf作為表征推力測(cè)量的替代變量。實(shí)質(zhì)上,控制器可依據(jù)ΔNf或ΔEPR所給定的設(shè)定點(diǎn)信息概況進(jìn)行設(shè)計(jì)。因此,ΔWF到ΔNf的傳遞函數(shù)可從適當(dāng)飛行條件的線性化發(fā)動(dòng)機(jī)模型中獲取,其形式為
(8)
分子系數(shù)在式(8)中沒有任何假設(shè),使得傳遞函數(shù)零點(diǎn)具有正實(shí)部(非最小相位零點(diǎn))成為可能[14]。根據(jù)文獻(xiàn)[14]在FC01飛行條件下,采用CMAPSS-1 90K級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì),可由狀態(tài)空間模型矩陣得到ΔWF(磅/s)到ΔNf(r/min)的傳遞函數(shù):
(9)
FC08飛行條件下的發(fā)動(dòng)機(jī)模型,同樣可得到傳遞函數(shù)為
(10)
選取了三種經(jīng)典單輸入單輸出設(shè)計(jì)方法,分別為根軌跡、頻域回路成形及模型匹配方法,將其與經(jīng)參數(shù)整定后的LADRC控制器作對(duì)比。要求設(shè)計(jì)的控制器需滿足風(fēng)扇轉(zhuǎn)速增加100 r/min,并同時(shí)達(dá)到以下要求:穩(wěn)態(tài)誤差為零;超調(diào)量小于5%;調(diào)節(jié)時(shí)間1 s左右。根據(jù)文獻(xiàn)[14],根軌跡法、頻域回路法及模型匹配法設(shè)計(jì)的控制器分別為
(11)
(12)
(13)
為了驗(yàn)證LADRC控制器具有優(yōu)良的控制性能,采用經(jīng)參數(shù)整定后的線性自抗擾控制器與上述經(jīng)典設(shè)計(jì)方法所設(shè)計(jì)的控制器作對(duì)比,分別應(yīng)用于完全不同的兩種飛行條件中(FC01與FC08)。如圖3所示為在FC01飛行條件下,其在風(fēng)扇轉(zhuǎn)速增加100 r/min后,采用LADRC、根軌跡、頻域回路成形及模型匹配等方法設(shè)計(jì)的控制器的階躍響應(yīng)比較。
由圖3可知,在滿足相同的燃油流量情況下,相比于其他經(jīng)典方法設(shè)計(jì)的控制器均有較小超調(diào)的出現(xiàn),LADRC控制器響應(yīng)速度快且無超調(diào)發(fā)生。如圖3所示,為將FC01飛行條件下設(shè)計(jì)的控制器應(yīng)用到完全不同的FC08飛行條件中。
由圖4所示,在滿足相同的燃油流量的控制作用條件下,根軌跡法、頻域回路成形法及模型匹配法所設(shè)計(jì)的控制器,在完全不同的FC08飛行條件下都出現(xiàn)了不同程度的控制性能變差,超調(diào)量明顯加劇。然而LADRC控制器依舊表現(xiàn)出良好的控制性能,幾乎無超調(diào)產(chǎn)生。通過上述的仿真分析可知,相較于經(jīng)典的發(fā)動(dòng)機(jī)控制方法,LADRC控制具有良好的控制性能。
圖4 在FC08條件下各控制器的階躍響應(yīng)比較
利用LADRC技術(shù)進(jìn)行航空發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)定點(diǎn)控制器設(shè)計(jì),并對(duì)比經(jīng)典的發(fā)動(dòng)機(jī)控制方法,通過仿真最終得出以下結(jié)論。
(1)采用LADRC技術(shù)進(jìn)行設(shè)定點(diǎn)控制器設(shè)計(jì),控制器經(jīng)選取合適參數(shù)后,應(yīng)用于兩種完全不同飛行條件下的發(fā)動(dòng)機(jī)模型。仿真結(jié)果表明LADRC設(shè)定點(diǎn)控制器依舊滿足無穩(wěn)態(tài)誤差、無超調(diào)且調(diào)節(jié)時(shí)間小于1 s。
(2)相比于根軌跡、頻域回路成形、模型匹配等傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所設(shè)計(jì)的設(shè)定點(diǎn)控制器,在滿足同等燃油流量控制的基礎(chǔ)上,LADRC控制器明顯擁有更好的控制性能。