多項(xiàng)式X2m-1 在環(huán)Z(2m-1)k 上的因式分解

楊建生， 孫亞南

(上海大學(xué) 理學(xué)院, 上海 200444)

迄今為止，準(zhǔn)循環(huán)碼已經(jīng)發(fā)展50 多年[1-3]。1993 年，Conan等[4]在研究有限域上的準(zhǔn)循環(huán)碼時(shí)，通過多項(xiàng)式在有限域的分解形式給出了準(zhǔn)循環(huán)碼在有限域上的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。2001 年，Ling等[5]通過多項(xiàng)式在有限域上的分解形式，結(jié)合中國(guó)剩余定理研究了有限域上準(zhǔn)循環(huán)碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)，得到了準(zhǔn)循環(huán)碼的直和分解形式，并且根據(jù)離散傅里葉變換構(gòu)造了準(zhǔn)循環(huán)碼的跡表達(dá)式，從而得到了一類(u+v｜u-v)結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)循環(huán)碼。2003 年，Ling等[6]又通過研究多項(xiàng)式在鏈環(huán)上的因式分解，得到了鏈環(huán)上的準(zhǔn)循環(huán)碼的直和分解，進(jìn)而得到了一類(a+x｜b+x｜c(diǎn)+x)結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)循環(huán)碼。

多項(xiàng)式的因式分解在研究環(huán)上準(zhǔn)循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)形式中起著重要的作用。本工作主要研究了多項(xiàng)式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解，并給出X2m-1 不可約因式系數(shù)之間的約束關(guān)系，以及m=4，6 時(shí)X2m-1-1 的不可約因式分解。

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)m，k為正整數(shù)，2m-1 為素?cái)?shù)；對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)Zn={0,1,··· ,n-1}表示模n的剩余類環(huán)。

如果A是一個(gè)交換環(huán)，只存在一個(gè)極大理想M，則稱A為局部環(huán)，此時(shí)商環(huán)A/M為域。

當(dāng)2m-1 是素?cái)?shù)時(shí)，剩余類環(huán)Z(2m-1)k是局部環(huán)，其中極大理想由元素2m-1 生成，商環(huán)Z(2m-1)k/(2m-1)為含有2m-1 個(gè)元素的有限域。

對(duì)于整數(shù)上一元多項(xiàng)式環(huán)Z[X]而言，如果p(X)∈Z[X]，且p(X)在Z[X]中只有因式c ∈Z和cp(X)，則p(X)為環(huán)Z上的不可約多項(xiàng)式[7]。

設(shè)q是素?cái)?shù)，F(xiàn)qn為含有qn個(gè)元素的域，則Fq是Fqn的子域，F(xiàn)q同構(gòu)于剩余類環(huán)Zq。對(duì)于a ∈Fqn，F(xiàn)q上以a為根，首項(xiàng)系數(shù)為1，并且次數(shù)最低的非零多項(xiàng)式稱為a在Fq上的極小多項(xiàng)式，它是Fq上不可約多項(xiàng)式。

若a ∈Fqn，為Fqn的一個(gè)本原元，即Fqn非零元形成的乘法循環(huán)群的生成元，那么a在Fq上的極小多項(xiàng)式稱為a在Fq上的本原多項(xiàng)式。

定理1[8]設(shè)s是滿足0 ≤s ＜2m-1 的正整數(shù)，則ξs在Z(2m-1)上的極小多項(xiàng)式為

引理1[9]設(shè)R是含有單位元的交換環(huán)。對(duì)于γ ∈R，設(shè)Dn(x,γ)是R中的n次Dickson多項(xiàng)式，

式中：D0(x,γ)=2。

設(shè)x1，x2∈R，則

2 Z(2m-1)k 上多項(xiàng)式X2m-1 的因式分解

由于k的取值不同時(shí)X2m-1 的分解性質(zhì)不同，因此，當(dāng)k=1 和k ＞1 時(shí)，分別采用不同的方法討論多項(xiàng)式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解。

2.1 k=1

設(shè)ξ是F(2m-1)2上的2m次本原單位根，即ξ ∈F(2m-1)2，且ξ2m= 1，ξt /= 1,1 ≤t≤2m-1。若s是滿足0 ≤s ＜2m-1 的正整數(shù)，則s模2m的分圓陪集Us={s(2m-1)i(mod 2m)｜i ∈Z}。

性質(zhì)1 設(shè)s是滿足0 ≤s ＜2m-1 的正整數(shù)，則

并且

其中Q1,Q2,··· ,Qm-1是Z(2m-1)中兩兩不同的元素。

證明 由于2m-1≡-1(mod 2m)，有

通過定理1，可知

且Mξs(X)∈Z(2m-1)[X]。

設(shè)Qs=ξs+ξ-s，則Qs ∈Z(2m-1)，且Mξs(X)=X2-QsX+1。

因?yàn)閁i /=Uj(i/=j)，可得Mξi(X)/=Mξj(X)，所以有Qi /=Qj(i/=j)。

為了得到多項(xiàng)式X2m-1 在Z(2m-1)上的因式分解，需要討論Qi(i=1,2,··· ,m-1)的取值計(jì)算方法。

假設(shè)Q0=2，Qm=-2。由引理1 可知，Qi=Di(Q1,1)∈Z(2m-1)(i=2,3,··· ,m)。

性質(zhì)2Qi滿足關(guān)系式

且

證明 當(dāng)i≥2 時(shí)，有

相似地，ξ-i-1=Qiξ-1-ξi-1，則

通過引理1，可知式(2)成立。

通過性質(zhì)2，可知當(dāng)Q1∈Z(2m-1)是固定數(shù)時(shí)，能求出Qi(i=2,3,··· ,m-1)的值。因此，需要討論確定Q1值的計(jì)算方法。

推論1Q1是如下方程的根，

證明 當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，由于ξm=-1，則。于是有，即；當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，則有

由于ξ-m=1，有ξ-m+1=-ξ,ξ-m-1=ξ-1。因此，

通過式(2)，可知m ≡0(mod 2)，

當(dāng)m ≡1(mod 4)時(shí)，有

當(dāng)m ≡3(mod 4)時(shí)，由于

則有，

因此，Q1是方程(3)的解。

設(shè)S是方程(3)的根的集合。對(duì)于Q1∈S，通過式(1)計(jì)算出Q2，Q3，···，Qm-1。如果存在Qi，Qj(i /=j)，使得Qi=Qj，則選擇S中的其他元素再次計(jì)算Q2，Q3，···，Qm-1。重復(fù)該過程，直到得到的Q1，Q2，···，Qm-1是兩兩不同的元素，結(jié)束該過程，從而得到X2m-1 的不可約因式分解。

例1 當(dāng)m=4 時(shí)，設(shè)

其中Qi ∈Z7(i=1,2,3)是兩兩不同的。

由于m ≡0(mod 2)，通過方程(3)，有

則Q1≡±3(mod 7)。

通過式(1)，得出Q2=0，Q3=?3。因此，多項(xiàng)式X8-1 在Z7上的不可約因式分解為

例2 當(dāng)m=6 時(shí)，設(shè)

其中Qi ∈Z11(i=1,2,3,4,5)是兩兩不同的。

由于m ≡0(mod 2)，通過方程(3)，有Q31-3Q1≡0(mod 11)。因此，Q1≡±5(mod 11)。

由式(1)可知，Q2=1，Q3=0，Q4=-1，Q5=?5。因此，多項(xiàng)式X12-1 在Z11上的不可約多項(xiàng)式分解為

例3 當(dāng)m=7 時(shí)，設(shè)

其中Qi ∈Z13(i=1,2,3,4,5,6)是兩兩不同的。

因?yàn)閙 ≡3(mod 4)，通過方程(3)，有

因此，Q1∈{3,5,6,11}。若Q1= 3，可得Q2=-6，Q3= 5，Q4=-5，Q5= 6，Q6=-3。

因此，多項(xiàng)式X14-1 在Z13上的不可約因式分解為

若Q1=11，通過式(1)可得，Q2=2，Q3=11，與Q1/=Q3矛盾。因此，Q1/=11。進(jìn)一步驗(yàn)證可知，Q1可取3、5、6。

2.2 k ＞1

引理2[10]設(shè)k是正整數(shù)，f(X)∈Z[X]，f(X)≡g1(X)g2(X)(mod(2m-1))，則存在多項(xiàng)式f1(X)，f2(X)∈Z[X]，使得

并且滿足

通過引理2，可知存在二元不可約多項(xiàng)式X2- Qk,iX+ 1(k≥2,Qk,i ∈Z)，使得fk,i(X)≡X2-QiX+1(mod(2m-1))，且多項(xiàng)式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約分解為

下面，討論當(dāng)m=4 和6 時(shí)，多項(xiàng)式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解。

性質(zhì)3 設(shè)ak ∈Z，滿足a1=3,，則X4+1 在Z7k上的不可約因式分解為

證明 首先證明ak ≡a1(mod 7)，1+2ak ≡0(mod 7)，a2k ≡2(mod 7k)。

當(dāng)k=1 時(shí)，結(jié)論顯然成立。

對(duì)于k-1 ≥1，假設(shè)結(jié)論成立，即ak-1≡a1(mod 7),1+2ak-1≡0(mod 7)，≡2(mod 7k-1)?，F(xiàn)在證明對(duì)于k，結(jié)論也成立。對(duì)于k，有

因此，對(duì)于k≥1，結(jié)論成立。

下面證明命題成立。

由例1 可知，X4+1 在Z7上的不可約分解為

由上述分析可知，

且有

因此，由引理2 可得，X2+akX+1，X2-akX+1 是Z7k上的不可約多項(xiàng)式。所以X4+1在Z7k上的不可約分解為

由性質(zhì)3，顯然有下列推論。

推論2設(shè)ak ∈Z，a1=3，ak=a2k-1+ak-1-2(k≥2)，則X8-1 在Z7k上的不可約多項(xiàng)式分解為

性質(zhì)4 設(shè)ak ∈Z，滿足a1=5，ak=a2k-1+ak-1-3(k≥2)，則X4-X2+1 在Z11k上的不可約因式分解為

證明 首先證明ak ≡a1(mod 11)，1+2ak ≡0(mod 11)，

當(dāng)k=1 時(shí)，顯然結(jié)論成立。

對(duì)于k-1 ≥1，假設(shè)結(jié)論成立，即ak-1≡a1(mod 11)，1+2ak-1≡0(mod 11)，a2k-1≡3(mod 11k-1)?，F(xiàn)證明對(duì)于k，結(jié)論也成立。

對(duì)于k，有

因此，對(duì)于k≥1，結(jié)論成立。

下面，證明命題成立。

由例2 可知，多項(xiàng)式X4-X2+1 在Z11上的不可約因式分解為

通過以上的證明，可得

并且

通過引理2 可知，X2+akX+1，X2-akX+1 是Z11k上的不可約多項(xiàng)式。因此，X4-X2+1在Z11k上的不可約因式分解是

由性質(zhì)4，可得出如下推論。

推論3設(shè)ak ∈Z，a1=5，ak=a2k-1+ak-1-3(k≥2)，則X12-1 在Z11k上的不可約因式分解為

例4 設(shè)m=4，k=1，2，3，4，5，多項(xiàng)式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解如表1 所示。

表1 X8-1 在Z7k 上的因式分解Table 1 Factorization of X8-1 over Z7k

例5 設(shè)m=6，k=1，2，3，4，5。多項(xiàng)式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解如表2 所示。

表2 X12 -1 在Z11k 上的因式分解Table 2 Factorization of X12 -1 over Z11k

3 結(jié)束語(yǔ)

本工作主要研究了多項(xiàng)式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解，分別研究了X2m-1在Z(2m-1)上和在Z(2m-1)k上不可約分解因式系數(shù)之間的關(guān)系，最后根據(jù)系數(shù)之間的關(guān)系給出了m=4 和6 時(shí)X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解形式。