冪函數(shù)變換的GM(1,1)模型在BDS衛(wèi)星鐘差預報中的應用研究

蔣玉祥

(西寧市測繪院,青海 西寧 810001)

0 引 言

精密單點定位(PPP)是全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)(GNSS)發(fā)展史上又一重大技術(shù)革命[1],由于其對于衛(wèi)星精密星歷軌道誤差和鐘差有極高的要求,所以精密星歷中的軌道誤差和鐘差就成為了PPP一個主要的誤差來源[2]．根據(jù)國際GNSS服務(IGS)提供的15 min或者5 min間隔的精密衛(wèi)星軌道和鐘差加密得到用戶所需要的精度成為一個很現(xiàn)實的問題．與此同時我國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)也在迅速發(fā)展．根據(jù)IGS發(fā)布的精密星歷,利用已有的方法對BDS鐘差進行插值以及預報成為一個熱點問題．

隨著BDS的快速發(fā)展,針對精密星歷的插值方法也在迅速發(fā)展,目前主要的內(nèi)插方法包括了拉格朗日(Lagrange)插值、牛頓插值、三次樣條插值、三角函數(shù)擬合、勒讓德擬合、廣義延拓逼近法等[3-8]．而衛(wèi)星鐘差預報模型目前主要的方法有灰色理論模型[9-11]、時間序列模型[12]、卡爾曼濾波模型[13]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型[14-15]、小波變換模型[15-16]、以及各種組合模型[17-22]．這些預報模型針對使用情形的不同進行一定程度的改進和組合對鐘差預報具有很好的實際應用價值．

為實現(xiàn)BDS高精度精密定位,根據(jù)BDS原子鐘的特點:頻率高、非常敏感、極易受到外界及其本身因素的影響,從而很難掌握其復雜細致的變換規(guī)律,而這些特點符合將系統(tǒng)行為特征的信息累加或者累減建立微分方程,并將累計數(shù)據(jù)還原的灰色模型．而針對普遍使用的傳統(tǒng)GM(1,1)模型對原始數(shù)列的光滑度要求高且預測結(jié)果誤差較大的問題,對BDS鐘差數(shù)據(jù)用冪函數(shù)進行處理,進而提高了預測精度．本文結(jié)合BDS鐘差數(shù)據(jù)利用MATLAB編程對GM(1,1)模型和冪函數(shù)變換的GM(1,1)模型進行驗證,以改進傳統(tǒng)模型的缺點和不足．

1 Lagrange插值法原理

目前,IGS只提供采樣間隔為15 min或者5 min的精密衛(wèi)星鐘差,根據(jù)其變化的規(guī)律一般使用低階的Lagrange插值方法即可獲得滿足精度要求的觀測歷元的衛(wèi)星鐘差．

首先構(gòu)造n次插值多項式:

(1)

式中:lk(x)(k=0,1,…,n)都是n次多項式,稱為Lagrange插值基函數(shù)．將插值基函數(shù)簡化為

P(x0)=y0,P(x1)=y1,…,P(xn)=yn.

(2)

(3)

lk(x)需滿足:

(4)

由此,根據(jù)n個節(jié)點xi(i≠k)都是n次多項式lk(x)的零點,故有：

(5)

式中,Ak為待定系數(shù),再由式(4)得到

從而得到最終結(jié)果：

(6)

式(6)就是Lagrange多項式插值的基本原理,利用BDS鐘差進行插值時,自變量x為觀測時刻, 因變量y為精密星歷給出的該時刻的鐘差．故想要獲得任意時刻衛(wèi)星鐘差的n階拉格朗日插值,必須至少有n+1個時刻的衛(wèi)星鐘差．當插值點位于插值區(qū)間的中央時,可以保證最佳的內(nèi)插效果．

BDS鐘差進行高精度預報時,首先用Lagrange插值根據(jù)需要進行插值,其次利用預報模型進行預報,即可得出需要的歷元時刻對應的衛(wèi)星鐘差．

2 冪函數(shù)變換的GM(1,1)模型

針對傳統(tǒng)GM(1,1)模型的缺陷,利用冪函數(shù)變換法對模型進行改進,以提高原始數(shù)據(jù)數(shù)列的光滑度,進而降低預報結(jié)果的預測誤差．

冪函數(shù)變換的GM(1,1)模型的建模過程如下:

首先,設原始數(shù)據(jù)列為

y(0)(t)={y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}.

(7)

對原始數(shù)據(jù)做基于冪函數(shù)的變換:

x(0)(t)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，

(8)

式中,x(0)(t)=[y(0)(t)]-a,t=1,2,…,n,0

其次,對x(0)(t)進行一次累加(1-AGO)生成一次累加序列:

x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}，

(9)

(10)

(11)

yn=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T.

(12)

將求得的參數(shù)α、u值代入時間響應函數(shù),即可得.

(13)

累減還原后得到的預測模型為

(14)

最后,將函數(shù)還原后即可得到預測數(shù)據(jù):

(15)

式中：k表示BDS衛(wèi)星的某時刻；x表示對應時刻衛(wèi)星鐘差的冪函數(shù)變換；y表示該時刻的衛(wèi)星鐘差．

式(15)為利用冪函數(shù)變換改進的灰色理論模型.

3 BDS精密鐘差預報算例分析

3.1 數(shù)據(jù)來源以及統(tǒng)計

數(shù)據(jù)選自NASA(National Aeronautics and Space Administration)數(shù)據(jù)分析中心(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/products/mgex/)發(fā)布的多模混合數(shù)據(jù)中篩選出的2018年7月30日的采樣率為5 min的BDS精密星歷．數(shù)據(jù)中包含了14顆BDS衛(wèi)星,其中地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星5顆(C01-C05)、傾斜地球同步軌道(IGSO)衛(wèi)星5顆(C06-C10)、中圓地球軌道(MEO)衛(wèi)星4顆(C11-C14)．歷元總數(shù)為288,采樣區(qū)間為0:0:0到23:55:0．將10 min歷元間隔的偶數(shù)歷元衛(wèi)星鐘差作為將要插值的實際值,將10 min歷元間隔的奇數(shù)歷元衛(wèi)星鐘差作為插值節(jié)點,首先采用Lagrange插值,然后利用傳統(tǒng)灰色理論模型和冪函數(shù)變換改進的灰色模型進行預報．并且將預報結(jié)果與原始觀測值進行對比分析,得出最終的預測結(jié)果精度．

圖1～3分別示出了2018年7月30日的BDS衛(wèi)星GEO、IGSO、MEO三種衛(wèi)星的偶數(shù)歷元鐘差統(tǒng)計．得出GEO衛(wèi)星可利用1、4、5號衛(wèi)星進行計算對比,而2、3號衛(wèi)星鐘差有問題,無法使用;IGSO衛(wèi)星都可以作為計算對比數(shù)據(jù);MEO衛(wèi)星中12、13、14可以作為計算對比數(shù)據(jù),而11號衛(wèi)星鐘差存在問題,無法使用．

圖1 GEO衛(wèi)星鐘差統(tǒng)計

圖2 IGSO衛(wèi)星鐘差統(tǒng)計

圖3 MEO衛(wèi)星鐘差統(tǒng)計

3.2 BDS精密星歷鐘差插值分析

利用Lagrange插值將BDS星歷中的三種鐘差分別選擇一顆衛(wèi)星進行插值計算,GEO衛(wèi)星選擇1號、IGSO衛(wèi)星選擇8號、MEO衛(wèi)星選擇14號,并且將0 min,10 min,20 min，…，110 min作為插值節(jié)點,選擇10階插值,可以得到5 min,15 min,25 min，…，105 min的插值結(jié)果,如圖4所示,插值與實際值保持一致;并且將插值結(jié)果與實際值做差可以得到如圖5所示結(jié)果,包含端點龍格現(xiàn)象在內(nèi)的所有插值均滿足小于10-10的結(jié)果．

圖4 三種衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘差插值

圖5 三種衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘差之差

3.3 BDS精密星歷預報值分析

根據(jù)上文的插值結(jié)果剔除端點值后,利用傳統(tǒng)灰色理論模型和冪函數(shù)變換改進的灰色理論模型分別進行鐘差預報．可以得到GEO01、IGSO08和MEO14衛(wèi)星的灰色模型鐘差預測值如圖6～8所示.并且得出預測值與實際值的差值,如圖9所示,1號衛(wèi)星的差值在10-8左右,8號衛(wèi)星的差值在10-9左右,14號衛(wèi)星的差值可以達到10-10左右,精度滿足鐘差預測精度．

圖6 GEO衛(wèi)星灰色理論傳統(tǒng)方法預測值 圖7 IGSO衛(wèi)星灰色理論傳統(tǒng)方法預測值

圖8 MEO衛(wèi)星灰色理論傳統(tǒng)方法預測值 圖9 傳統(tǒng)灰色模型預測值與實際值之差

利用冪函數(shù)改進的灰色理論模型進行預報可以得到GEO01、IGSO08和MEO14衛(wèi)星的改進預測結(jié)果，如圖10～12所示,可以看出1號衛(wèi)星鐘差預測值與實際值之差在10-8左右,8號衛(wèi)星的鐘差預測值與實際值之差在10-9左右,14號衛(wèi)星鐘差預測值與實際值之差在10-10左右,均滿足預報精度要求；并且得出冪函數(shù)變換改進的灰色模型預測值與實際值的差值,如圖13所示，1號衛(wèi)星的差值在10-8左右，8號衛(wèi)星的差值在10-9左右，14號衛(wèi)星的差值可以達到10-10左右，精度滿足鐘差預測精度．

圖10 GEO衛(wèi)星冪函數(shù)變換改進灰色模型預測值 圖11 IGSO衛(wèi)星冪函數(shù)變換改進灰色模型預測值

圖12 MEO衛(wèi)星冪函數(shù)變換改進灰色模型預測值

圖13 冪函數(shù)變換改進灰色模型預測值與實際值之差

圖14 改進模型與傳統(tǒng)模型鐘差之差的差值

根據(jù)傳統(tǒng)灰色模型的預測值和實際值的差與冪函數(shù)改進的灰色模型預測值與實際值的差值之差,由圖14所示可知冪函數(shù)改進后的灰色模型相比原模型預測結(jié)果更加接近原始數(shù)據(jù)中的鐘差．以GEO01、IGSO08和MEO14為例,得出當預測值越接近原始觀測值時,則改進模型預測結(jié)果越好．

4 結(jié)束語

在BDS衛(wèi)星鐘差插值與預報中,Lagrange插值可以滿足高精度計算要求;而傳統(tǒng)GM(1,1)模型對三種衛(wèi)星的鐘差值預報結(jié)果都可以得到一定的精度,但由于鐘差的不確定性、敏感性,導致有時候鐘差的波動比較大,從而會降低傳統(tǒng)灰色模型的預測精度,限制了其適用范圍．根據(jù)冪函數(shù)做變換改進灰色模型,則有效提高了原始數(shù)據(jù)的光滑度,由此建立的灰色模型預測精度也有效提高,冪函數(shù)變換的灰色模型在鐘差預報中具有實際使用意義,并且更加可靠和適用．