莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力不變量及剪脹角參數(shù)表達式與應(yīng)力符號約定的適配性研究

蔡曉鴻，蔡勇斌，蔡勇平

（1.吉安市水利局，江西 吉安 343000；2.吉安市水利水電規(guī)劃設(shè)計院，江西 吉安 343000）

0 引 言

莫爾－庫侖（Mohr－Coulomb）屈服準(zhǔn)則由于其解析表達式簡明，且有很好的精確度；加之物理力學(xué)概念直觀明確，參數(shù)易于通過簡單的試驗確定；且未考慮中間主應(yīng)力σ2的影響，從而應(yīng)用于實際工程偏安全。特別是在巖土力學(xué)與工程仍處于“半理論半經(jīng)驗”設(shè)計水準(zhǔn)的當(dāng)下，受荷載分析統(tǒng)計、內(nèi)力計算組合、內(nèi)力控制截面選取的誤差甚或巖土體計算模型與計算參數(shù)取用給不準(zhǔn)影響，在真實的建筑結(jié)構(gòu)計算分析中不存在精確解，只存在控制解或優(yōu)化解的背景下，莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則為工程界所樂于廣泛采用。

然而，在期刊審稿與項目工程設(shè)計審查中，常見到不少學(xué)術(shù)、技術(shù)人員在采用莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則的主應(yīng)力表達式、應(yīng)力不變量表達式及塑性流動剪脹角參數(shù)表達式，特別是將其應(yīng)用于水工壓力隧洞或隧道工程彈塑性應(yīng)力計算、流固耦合計算分析時，未注意須與所取用應(yīng)力符號約定相關(guān)聯(lián)適配，常出現(xiàn)誤套誤用現(xiàn)象，致使應(yīng)力計算成果與后續(xù)研究產(chǎn)生不應(yīng)有的錯誤。為避免這一錯誤持續(xù)發(fā)生，我們曾就與水工壓力隧洞彈塑性應(yīng)力計算工況相適配的莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則主應(yīng)力表達式的合理取用做過深入分析討論[1]，并引起水工界的重視。下面，我們將進一步探究莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力不變量表達式、塑性流動剪脹角參數(shù)表達式與應(yīng)力符號約定、大小主應(yīng)力順序間的關(guān)聯(lián)適配性，以使專業(yè)技術(shù)人員對此有更明晰的認知，避免不當(dāng)誤用。

1 與拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負約定相適配的莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力不變量表達式

在進行水工壓力隧洞等建筑物彈塑性應(yīng)力計算時，莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則的主應(yīng)力表達式，是與其應(yīng)力符號約定及大小主應(yīng)力順序相關(guān)聯(lián)協(xié)調(diào)的，參考文獻[1]曾詳盡地分析討論過這一問題，本文不予贅述。由于屈服準(zhǔn)則與坐標(biāo)軸方向的旋轉(zhuǎn)無關(guān)，所以屈服準(zhǔn)則除采用主應(yīng)力表示外，常用的另一表示方法是通過應(yīng)力不變量來描述。下面我們來推求與應(yīng)力符號約定及大小主應(yīng)力順序相適配的莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力不變量表達式。

應(yīng)力符號采用連續(xù)介質(zhì)彈性力學(xué)的約定，即以拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負，相應(yīng)莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式為[2]：

式中：σ為巖土屈服面上的剪應(yīng)力；C為巖土的粘聚力；φ為巖土的摩擦角。

圖1 隧洞圍巖應(yīng)力計算簡圖

當(dāng)均勻內(nèi)水壓力p0大于原巖壓力q時（圖1），圍巖徑向應(yīng)力σr為小主應(yīng)力，圍巖切向應(yīng)力σθ為大主應(yīng)力，其莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則表達式為（見圖 2（a）、（b））[1]：

當(dāng)均勻內(nèi)水壓力p0小于原巖壓力q時，則圍巖徑向應(yīng)力σr為大主應(yīng)力，圍巖切向應(yīng)力σθ為小主應(yīng)力，相應(yīng)莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則表達式為（見圖2（c））：

若以σ1和σ3分別表示最大、最小主應(yīng)力，即有σ1≥σ2≥σ3，則式（2）、（3）可統(tǒng)一于一個表達式：

下面我們來推求巖土材料莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力不變量表達式。將式（5）改寫成：

式中：I1為應(yīng)力張量的第一不變量；s1、s2、s3為主應(yīng)力偏量；J2為偏應(yīng)力張量的第二不變量；θ為相似角（Lode角）。

圖2 莫爾-庫倫屈服準(zhǔn)則（拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負）

圖3 莫爾-庫倫屈服準(zhǔn)則（壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負）

將式（8）代入式（7），則得與拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負應(yīng)力符號約定相適配的巖土材料莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力不變量表達式：

2 與壓應(yīng)力為正、拉應(yīng)力為負相適配的莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力不變量表達式

應(yīng)力符號采用巖土力學(xué)的約定，通常以壓應(yīng)力為正、拉應(yīng)力為負，莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式為：

此時，若均勻內(nèi)水壓力p0大于原巖壓力q，圍巖徑向應(yīng)力σr為大主應(yīng)力，圍巖切向應(yīng)力σθ為小主應(yīng)力，其莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則表達式為（圖 3（a）、（b））：

若均勻內(nèi)水壓力p0小于原巖壓力q，圍巖徑向應(yīng)力σr為小主應(yīng)力，圍巖切向應(yīng)力σθ為大主應(yīng)力，其莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則表達式為（圖3（c））：

以大、小主應(yīng)力σ1≥σ2≥σ3描述巖土材料莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則，則式（11）、（12）可統(tǒng)一于一個表達式：

將式（14）改寫為：

將式（8）代入式（15），整理得與壓應(yīng)力為正、拉應(yīng)力為負應(yīng)力符號約定相適配的巖土材料莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力不變量表達式：

比較式（9）、式（16）可知，莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力不變量表達式，是與應(yīng)力符號約定、主應(yīng)力大小順序相關(guān)聯(lián)的。而以往在工程學(xué)術(shù)技術(shù)界，往往疏忽了這一相關(guān)聯(lián)性，存在采用彈性力學(xué)應(yīng)力符號約定，而誤用與巖土力學(xué)應(yīng)力符號約定相關(guān)聯(lián)的莫爾－庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力不變量表達式問題，致使后續(xù)理論探求與應(yīng)力計算分析產(chǎn)生不應(yīng)有的錯誤。

3 剪脹角參數(shù)表達式與應(yīng)力符號約定的適配性

當(dāng)應(yīng)力符號采用塑性力學(xué)以拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負約定時，利用式（5），巖土材料的莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則表達式可寫成

與之相適應(yīng)的流動法則可以用下式表達[3]：

引入塑性流動剪脹角參數(shù)αψ，令，

類似，當(dāng)應(yīng)力符號采用巖土力學(xué)以壓應(yīng)力為正、拉應(yīng)力為負約定時，利用式（14），巖土材料的莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則表達式可寫成：

相適應(yīng)的流動法則可以用下式表達：

于是據(jù)式（22），可得：

引入塑性流動剪脹角參數(shù)βψ，令，

比較式（21）、式（26）可知，與莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則相關(guān)聯(lián)流動法則的剪脹角參數(shù)αψ、βψ表達式，是與應(yīng)力符號約定及主應(yīng)力大小順序相聯(lián)系的，而以往人們對此認知并不明晰，被許多工程師所疏忽，以致誤套誤用。有必要指出，考慮到遵守非關(guān)聯(lián)流動法則的巖土材料模型，在應(yīng)力增量中，塑性應(yīng)變增量也是線性的，而且滿足連續(xù)性條件，從而式（21）、式（26）對于非關(guān)聯(lián)流動法則的巖土材料也是適用的。

4 結(jié)語

通過推求不同應(yīng)力符號約定與大小順序下的莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力不變量表達式及塑性流動剪脹角參數(shù)表達式，揭示了莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則主應(yīng)力表達式、應(yīng)力不變量表達式及塑性流動剪脹角參數(shù)表達式與應(yīng)力符號約定、主應(yīng)力大小順序間的關(guān)聯(lián)適配性，為正確選用莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則表達式及塑性流動剪脹角參數(shù)表達式提供了指南。顯然，關(guān)于這一問題討論的普適性，可推廣到其他屈服準(zhǔn)則。

有必要指出，將式（1）、（4）、（9）、（20）中 φ 用-φ 代入，則可分別導(dǎo)得式（10）、（13）、（16）、（25），即莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則主應(yīng)力表達式、應(yīng)力不變量表達式及塑性流動剪脹角參數(shù)表達式與應(yīng)力符號約定間的關(guān)聯(lián)式，可轉(zhuǎn)換為與φ的正負號選擇相適配，即應(yīng)力符號以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負，則相應(yīng)φ取負號（即莫爾-庫侖屈服直線與σ負軸間的夾角）；應(yīng)力符號以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負，則相應(yīng)φ取正號（即莫爾-庫侖屈服直線與σ正軸間的夾角），而這便從理論上揭示了莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則應(yīng)力符號不同約定間的內(nèi)在聯(lián)系，為采用彈性力學(xué)數(shù)值計算方法及其應(yīng)力符號約定求解莫爾-庫侖屈服準(zhǔn)則巖土工程問題提供了一條捷徑，打開了一扇互通之門。