淬硬鋼模具銑削動力學和穩(wěn)定性研究綜述

姜彥翠 崔健 劉獻禮 仇焱

摘 要：淬硬鋼模具由于硬度高、型面復雜多變，銑削加工過程易產生顫振，顫振會影響工件表面質量制約銑削效率，因此對淬硬鋼模具銑削加工過程進行動力學分析和穩(wěn)定性預測已經變得越來越重要了。淬硬鋼模具銑削穩(wěn)定性主要和加工系統(tǒng)動態(tài)特性與動態(tài)銑削過程兩方面有關，因此，對淬硬鋼模具加工系統(tǒng)動力學特性、動態(tài)銑削過程動力學建模和銑削穩(wěn)定性分析3個方面的研究進行歸納和總結。在淬硬鋼模具加工系統(tǒng)動力學特性研究方面，主要對錘擊模態(tài)試驗、導納耦合子結構分析法以及解析法的基本原理、實際應用和局限性進行闡述;在動態(tài)銑削過程動力學建模方面，主要對淬硬鋼模具復雜曲面動態(tài)切削厚度建模和刀具-工件表面接觸區(qū)域提取方法進行綜述;在銑削穩(wěn)定性分析方面，主要對幾種典型顫振穩(wěn)定域預測方法的實際應用進行了總結。同時指出淬硬鋼模具復雜曲面銑削動力學建模與穩(wěn)定性研究方面存在的不足。

關鍵詞：淬硬鋼模具、銑削動力學、銑削穩(wěn)定性、復雜曲面

DOI：10.15938/j.jhust.2020.01.005

中圖分類號： TG506;TH113

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2020）01-0029-07

Abstract：Because of the characteristics of hardened steel mold with high hardness and surface characteristics of the complex， the hardened steel mold in the milling process is easy to produce flutter. The flutter will affect the workpiece surface quality and restrict milling efficiency， therefore， the dynamic analysis and stability prediction of hardened steel mould in the milling process have become more and more important.The hardened steel mould milling stability is mainly related to dynamic characteristics of the processing system and dynamic milling process， therefore， the article summarized the research on three aspects of hardened steel mold ，the dynamic characteristics of the machining system， the dynamic milling process dynamics modeling and the milling stability analysis. In the aspect of dynamic characteristics of hardened steel mold machining system， hammer mode test， admittance coupling substructure analysis method and the basic principles， practical applications and limitations of analytical method are mainly described. In the aspect of the dynamic milling process dynamics modeling， the dynamic cutting thickness modeling of complex surface of hardened steel mold and the extraction method of tool-workpiece surface contact area are mainly reviewed. In the aspect of milling stability analysis， the practical application of several typical chatter stable domain prediction methods is summarized. At the same time， the article points out the existing problems of milling dynamics modeling and stability study of the complex surface of hardened steel mold.

Keywords：hardened steel mold; milling dynamics; milling stability; sculptured surface

0 引 言

淬硬鋼模具在汽車、家電、輕工等產品的生產過程中都有廣泛的應用。淬硬鋼模具具有工件材料硬度高、型面復雜多變，且表面加工質量和加工精度要求高等特點。目前主要采用銑削的加工方式，相對于其它切削加工形式，銑削加工具有切削力小、切削溫度低、加工變形小、加工能力強、材料去除率高等諸多優(yōu)點，適用于平面、斜面、型腔及曲面的加工，因而被廣泛應用于金屬材料零件的制造中。但淬硬鋼模具銑削加工過程中存在明顯的問題，即銑削顫振，顫振如果不加以控制，會在所加工的表面產生振紋，使表面粗糙度增加，影響加工零件的精度，嚴重時甚至可能會損壞刀具和機床，因此對淬硬鋼模具銑削加工過程中顫振的抑制，保證銑削過程的穩(wěn)定性是十分必要的[1-2]。

淬硬鋼模具銑削穩(wěn)定性主要和加工系統(tǒng)動態(tài)特性與動態(tài)銑削過程兩方面有關，如式1所示，式中的加工系統(tǒng)的模態(tài)質量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度反映的是加工系統(tǒng)的動力學特性，而動態(tài)銑削力反映的是動態(tài)銑削過程。

本文主要針對淬硬鋼模具銑削動力學和穩(wěn)定性研究進行綜述，主要對淬硬鋼模具加工系統(tǒng)的動態(tài)特性、淬硬鋼模具復雜曲面動態(tài)加工過程建模以及銑削穩(wěn)定性分析三方面的國內外研究現(xiàn)狀和各自應用范圍進行歸納和總結。

1 加工系統(tǒng)動態(tài)特性研究現(xiàn)狀

淬硬鋼模具銑削加工系統(tǒng)動態(tài)特性是影響銑削穩(wěn)定性的主要因素之一，在研究銑削穩(wěn)定性之前首先要獲得加工系統(tǒng)動力學特性。

如圖1所示，錘擊模態(tài)試驗是目前為止獲得加工系統(tǒng)動力學特性最直接的方法。該方法利用力錘敲擊進行激勵，然后利用電荷放大器轉換成電信號，發(fā)送到數據采集系統(tǒng);利用傳感器收集刀具振動響應信號，再經過模態(tài)分析軟件進行模態(tài)分析，獲取加工系統(tǒng)模態(tài)參數。該方法可以真實反映加工系統(tǒng)的動態(tài)特性，但是由于該方法費時費力，重復性差等缺點，所以該方法一般作為理論分析方法的參照和驗證。

由于錘擊模態(tài)試驗法有以上的缺點，針對這些缺點也出現(xiàn)了一些其他研究方法，例如導納耦合子結構分析法，該方法是由Schimitz等[3]提出，將理論分析和模態(tài)試驗相結合，屬于半理論方法，主要是將加工系統(tǒng)拆分成幾個部分，結合面部分用彈簧阻尼單元模擬，然后通過模態(tài)試驗進行結合面的參數辨識，進而進行加工系統(tǒng)動力學特性的預測。在此之后，又有Filiz等[4]改進了子結構劃分和結合面模擬單元，建立了考慮結合面接觸特性的加工系統(tǒng)動力學模型。Albertelli等[5]將刀具-刀柄-主軸系統(tǒng)分為兩個子結構，考慮彎曲振動中的轉動響應的影響，利用有限差分方法確定了主軸-刀柄子結構的平動和轉動頻響函數。Mancisidor等[6]將刀具-刀柄-主軸系統(tǒng)分為兩個子結構，考慮刀具和刀柄的剪切變形效應，利用固定邊界的Timoshenko梁預測了刀具刀尖導納，并指出在導納耦合過程中，可以通過這種方法減小模態(tài)截斷導致誤差。Ozsahin和Altintas[7]將刀具-刀柄-主軸系統(tǒng)分為三個子結構，考慮了刀具刀刃部分的截面慣性矩，研究了刀具的不對稱性對刀具刀尖導納的影響。以上研究雖然保證了在換刀情況下不需要重復試驗，但是一旦改變結合面接觸特性參數就需要重新進行辨識。針對這個通用性差的問題，趙萬華[8]等提出一種理論分析法，該方法主要是針對主軸系統(tǒng)，考慮了刀具-夾套、夾套-刀柄以及刀柄-主軸結合部接觸特性，建立結合面接觸特性的通用理論模型，并且引入到主軸系統(tǒng)動力學模型中。在此基礎上，文[9]考慮主軸系統(tǒng)銑削狀態(tài)下產生的軸向銑削力和離心力對主軸結合面接觸特性的影響，建立主軸系統(tǒng)動力學模型。

針對主軸靜止狀態(tài)和加工狀態(tài)的差異，還有一些學者進行研究，主要是通過理論分析法對主軸加工狀態(tài)進行建模，主要考慮銑削加工過程中主軸旋轉情況下的軸承剛度軟化效應、結合面剛度軟化效應、離心力及陀螺效應對加工系統(tǒng)的影響。如Rantatalo等[10]采用有限元法建立主軸模型，考慮了陀螺力矩和主軸轉速對主軸系統(tǒng)動力學的影響;曹宏瑞等[11-12]考慮了離心力和陀螺效應的對主軸系統(tǒng)動力學的影響，采用Timoshenko梁單元和轉盤單元建立主軸轉子、轉盤、主軸箱等部件有限元模型，并對Jones軸承模型進行擴展建立高速滾動軸承非線性模型。Cao 等[13]研究了主軸與機床之間的耦合建模問題，利用試驗法建立了機床的等效模型并確定出主軸與機床之間的連接剛度，建立了一個包括刀柄與刀具、主軸以及機床等結構在內的動力學集成模型，并以此為基礎對高速主軸的加工性能進行預測仿真。之后，文[14]在Cao所建立模型的基礎上進行了修正，考慮了結合面之間的動態(tài)特性，提出一種基于頻率響應函數的有限元模型修正技術。

可以看出學者們越來越重視銑削加工狀態(tài)下的加工系統(tǒng)動態(tài)特性的研究，目前這方面研究主要集中在考慮主軸系統(tǒng)在高速旋轉加工狀態(tài)下的軸承剛度軟化、結合面剛度軟化、離心力和陀螺效應等因素對加工系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。而對于淬硬鋼模具銑削加工很大程度上應用了高速銑削加工技術，因此上述的各項影響因素在研究時均應考慮。同時由于淬硬鋼模具工件材料硬度高、型面復雜多變等特點，銑削過程中產生很大的銑削載荷和振動，因此在研究淬硬鋼模具銑削加工系統(tǒng)動力學特性時還應考慮銑削加工過程中的物理因素對銑削加工系統(tǒng)動力學特性的影響，而這方面的研究還不是很多，有待于進一步探索研究。

2 動態(tài)銑削過程研究現(xiàn)狀

動態(tài)銑削過程主要是通過建立動態(tài)銑削力模型進行表示，淬硬鋼模具具有復雜曲線曲面特征，與傳統(tǒng)的平面銑削加工過程動力學建模是不同的，型面的曲率特征影響動態(tài)切削厚度和刀具-工件接觸區(qū)域，如圖2、3所示。因此，淬硬鋼模具復雜曲面在建立動態(tài)銑削力模型時，刀具-工件表面接觸區(qū)域提取和動態(tài)切削厚度的建模是至關重要的。

刀具-工件接觸區(qū)域的提取建模的研究多在復雜曲面銑削力建模過程中，目前主要的分析方法有解析法、離散法和實體法等。解析法是通過工件表面和刀具幾何尺寸直接解析計算獲得刀具-工件接觸區(qū)域的方法，目前有很多學者應用解析法求解刀具-工件表面接觸區(qū)域，如Bailey等[15]通過確定刀刃 和工件局部表面的交線，解析計算了刀具-工件接觸域;其中刀刃用NURBS曲線定義，工件局部表面用當前刀位點附近的前一個刀具軌跡生成的面定義。Ozturk和Lazoglu[16]使用刀位點數據計算得到了簡單自由曲面加工時的瞬時刀具-工件接觸域。Fan等[17]提出利用二次曲面對刀具進行定向并對加工寬度進行評估來獲得接觸區(qū)，并且利用方向角來提高加工效率。Aras[18]提出了用解析法獲得刀具掃掠體的空間包絡，在該種方法中，刀具的空間運動被分解為一系列的特征圓，為了獲得這些特征圓，引進了球的2參數族的概念，來定義特征圓之間的關系。Lazoglu等[19]提出一種刀具路徑獲得方法，該方法是基于布爾運算的一種邊界表示法，該方法可以獲得每一個刀具位置點的復雜接觸區(qū)。離散法多用于幾何結構復雜的工件的刀具-工件接觸域提取。這類方法中，最常用的是Z-Map方法，Z-Map方法指將工件毛坯離散為帶有高度的網格點，用這些網格點描述三維曲面，仿真過程中離散網格點高度隨著時間發(fā)生變化，某一瞬時變化的網格點即構成了該時刻的刀具和工件的接觸區(qū)。主要研究的有G.M.Kim 等[20]提出基于Z-Map仿真模型來獲得刀具-工件表面區(qū)域。魏兆成等[21]提出了一種改進的Z-Map仿真模型，該方法可以確定刀具-工件表面接觸區(qū)域和瞬時切削邊界。張臣等[22]基于Z-Map 仿真模型分別考慮刀具偏心和變形以及考慮剪切力和犁耕力雙重效應的銑削力模型。Roth等[23]使用Z-map方法進行了五軸銑削的進給規(guī)劃及靜力學建模。實體法存儲幾何模型的點、線、面，使之成為一個等級結構。Chiou等[24]提出了一種掃掠包絡法來預測五軸銑削加工過程中的刀具位置，獲得了掃掠輪廓的封閉形式。Larue等[25]利用ACIS實體建模法來獲得周銑加工過程中的刀具-工件接觸區(qū)來預測切削力。Lazoglu等[26]對刀具、工件利用布爾運算，獲取復雜自由曲面的刀具-工件接觸區(qū)域。在三種常見方法的基礎上，可以綜合其中的兩種來搭配，文[27]，采用實體法、解析法相結合的方法來獲得刀具-工件接觸區(qū)域，該方法，對刀具和工件進行了精確建模。在任意切削位置上進行刀具與工件之間的“布爾減法”運算，獲得了可能的刀具-工件接觸區(qū)域。還有Ferry等[28]采用實體法、離散法相結合的方法獲取刀具-工件接觸區(qū)域，該方法利用ACIS實體建模，用平行切片法獲得刀具-工件接觸區(qū)域。以上兩種方法可以獲得更好的精度和更高的效率。

目前關于銑削動力學模型建立的大量研究主要針對平面銑削過程，對于曲線曲面的銑削過程動力學已有一部分學者進行了研究。如Kardes等[29]建立了圓弧曲線銑削顫振穩(wěn)定性的頻域模型和數值模型，該模型考慮到了時變浸入角和方向系數，利用頻域法進行求解。李忠群等[30]建立考慮再生作用的圓角曲線銑削動力學模型，通過幾何分析將直線銑削顫振穩(wěn)定域解析模型應用于圓角銑削的條件。郝紅艷等[31]基于直線插補給出了刀具位置角、進給方向角及加工時間的確定方法。考慮偏心跳動對未變形切削厚度的影響，建立了變曲率曲線銑削動力學模型。文[32]考慮淬硬鋼模具拐角處銑削加工切削厚度的變化，建立拐角處的瞬時銑削力模型。以上研究主要針對曲線的銑削加工過程，建模過程中重點研究了曲線銑削加工刀具的切入角和切出角，并作為銑削動力學模型的邊界條件。文[33]針對淬硬鋼模具自由曲面銑削加工，提出了一種對切削刃離散微元取加權平均值的瞬時未變形切屑厚度預報方法，建立了考慮自由曲面曲率和前傾角對未變形切屑厚度和時滯參數影響的變時滯動力學模型。文[34]考慮淬硬鋼模具復雜曲面工件銑削加工的不同位置的刀具-工件表面接觸區(qū)域不同，建立復雜曲面的銑削動力學模型。

綜上所述，淬硬鋼模具復雜曲面銑削過程多為變時滯、變參數銑削加工，考慮模具型面特征、銑削條件和刀具參數等因素，準確建立動態(tài)銑削力模型、銑削過程模型是研究的關鍵，目前該方面的理論需要進一步深入研究。

3 銑削過程穩(wěn)定性分析研究現(xiàn)狀

目前求解銑削加工穩(wěn)定域的方法可以大體分為顫振模型求解法和實驗法兩類。實驗法是通過變切削深度的方法，通過分析切削振動信號識別極限切削深度，從而得到穩(wěn)定性極限圖。如Twardowski[35]針對淬硬鋼銑削加工，選用不同的切削參數，通過測量顫振加速度信號以及測量銑削力進行穩(wěn)定性判定。劉安民等[36]提出了一種使用測量加工過程中的噪聲來診斷高速銑削顫振的方法，通過建立的數學模型和測量的加工噪聲來求解工藝系統(tǒng)固有頻率、阻尼比和過程參數，進而計算出穩(wěn)定域極限。石莉等[37]則通過對測量的銑削力進行小波分析來重構動態(tài)銑削力，利用動態(tài)銑削力的變化來對銑削顫振進行預測。該方法雖然簡單、方便，但是不具備一般性。顫振模型求解法又可分為頻域法和時域法。頻域法通常運用傅立葉變換將切削加工的時滯微分方程組轉換到頻域表示，隨后基于控制理論求解銑削穩(wěn)定邊界。Altintas等[38]率先提出了零階求解法，之后利用該方法進行球頭銑刀的銑削穩(wěn)定性分析。Merdol等[39]在考慮定向因子高次諧波的前提下提出了多頻率法，該方法由于需要迭代搜索顫振頻率，需求解多個特征值。Bachrathy等[40]把多頻率法進行了擴展，擴展后的多頻率法可以適用于不同刀具幾何結構的切削加工穩(wěn)定性預測。時域法是在時間域內對銑削過程穩(wěn)定性進行分析、仿真的方法，分為半離散法和全離散法。Insperger等[41]提出的半離散法，將動力學方程中的時滯項和系數項進行離散化，劃分為若干個常微分方程來逼近原來的方程，并保持誤差的收斂性，當離散數越多時，計算精度越高。龍新華等[42-43]用半離散法分析了考慮刀齒跳出效應的多時滯銑削過程穩(wěn)定性及變轉速工況的銑削穩(wěn)定性。李中偉等[44]提出了基于Magnus-Gaussian 截斷的改進半離散法。宋清華等[45-46]使用半離散法分析了刀具偏心以及小徑向切深下進給量對銑削穩(wěn)定性的影響。Wan等[47]提出了考慮了變螺旋角、變齒間角及刀具偏心等因素導致的多延時效應的統(tǒng)一的半離散法。丁燁等[48]提出的全離散法突破了原有微分方程差分化的思路，這種方法從計算精度和計算效率上均使得加工穩(wěn)定的預測得到了提高。文[49]針對自由曲面模具的穩(wěn)定銑削，提出了一種基于時域的銑削顫振穩(wěn)定性預測方法?；跀抵捣椒ㄓ嬎愣鄷r滯銑削系統(tǒng)的振動位移，以動態(tài)切屑厚度與靜態(tài)切屑厚度的比值為閾值，獲得自由曲面模具銑削顫振穩(wěn)定域。

可以發(fā)現(xiàn)頻域法求解計算速度快并且精度滿足大多數應用場合;時域法求解精度高，可以揭示銑削過程中蘊含的各種動力學現(xiàn)象、但是計算量大求解過程耗時。目前針對淬硬鋼模具復雜曲面銑削穩(wěn)定性預測快速、準確的求解方法的研究仍需要進一步探索研究。

4 結 論

本文主要針對淬硬鋼模具銑削動力學和穩(wěn)定性研究進行綜述，重點歸納總結了淬硬鋼模具加工系統(tǒng)的動態(tài)特性、淬硬鋼模具復雜曲面動態(tài)加工過程建模以及銑削穩(wěn)定性分析3方面的國內外研究現(xiàn)狀，獲得主要結論如下。

1）銑削加工系統(tǒng)動力學特性研究按照研究方法主要歸納為錘擊模態(tài)試驗法、導納耦合子結構分析法以及理論分析法。且研究重點由傳統(tǒng)的銑削加工系統(tǒng)靜止狀態(tài)下的動力學特性研究逐漸轉變?yōu)榭紤]主軸系統(tǒng)在高速旋轉銑削狀態(tài)下的軸承剛度軟化，結合面剛度軟化、離心力和陀螺效應等因素影響下的銑削加工系統(tǒng)動力學特性。而對于淬硬鋼模具銑削加工系統(tǒng)動力學除了應考慮以上因素，還應考慮銑削加工過程中的物理因素對銑削加工系統(tǒng)動力學特性的影響，而這方面的研究還不是很多，有待于進一步探索研究。

2）淬硬鋼模具復雜曲面動態(tài)銑削過程模型建立的關鍵是動態(tài)切削厚度建模和刀具-工件表面接觸區(qū)域提取，考慮模具型面特征、銑削條件和刀具參數等因素，準確建立動態(tài)銑削力模型、銑削過程模型是研究的關鍵，目前該方面的理論需要進一步深入研究。

3）銑削穩(wěn)定性預測常見的預測方法有頻域法和時域法，頻域法求解計算速度快并且精度滿足大多數應用場合;時域法求解精度高，可以揭示銑削過程中蘊含的各種動力學現(xiàn)象、但是計算量大求解過程耗時。針對淬硬鋼模具復雜曲面銑削穩(wěn)定性預測快速、準確的求解方法的研究仍需要進一步探索研究。

參 考 文 獻：

[1] KRAJNIK P， KOPAC J. Modern Machining of Die and Mold Tools[J]. Journal of Materials Processing Technology， 2004， 20（157-158）：543.

[2] 吳石， 渠達， 劉獻禮， 肖飛. 銑削過程非線性動力學的研究進展[J]. 哈爾濱理工大學學報， 2013， 18（4）：1.WU Shi， QU Da， LIU Xianli， et al. The Progress of Nonlinear Dynamics Research in Milling Process[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2013， 18（4）：1.

[3] SCHIMITZ T L， DONALDSON R R. Predicting High-Speed Machining Dynamics by Substructure Analysis[J]. Annals of the CIRP， 2000， 49（1）;303.

[4] FILIZ S， CHENG C H， Powell K B， et al. An Improved Tool-Holder Model for RCSA Tool-Point Frequency Response Prediction[J]. Precision Engineering， 2009， 33（1）;26.

[5] ALBERTELLI P， GOLETTI M， MONNO M. A New Receptance Coupling Substructure Analysis Methodology to Improve Chatter Free Cutting Conditions Prediction[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2013， 72（3）：16.

[6] MANCISIDOR I， Urkiola A， Barcena R， et al. Receptance Coupling for Tool Point Dynamic Prediction by Fixed Boundaries Approach[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2014， 78（1）：18.

[7] AHIN O， ALTINTAS Y. Prediction of Frequency Response Function（FRF） of Asymmetric Tools From the Analytical Coupling of Spindle and Beam Models of Holder and Tool[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2015， 92：31.

[8] 趙萬華， 杜超， 張俊， 等. 主軸轉子系統(tǒng)動力學解析建模方法[J]. 機械工程學報， 2013， 49（6）：44.ZHAO Wanhua， DU Chao， ZHANG Jun， LIU Haitao. Analytical Modeling Method of Dynamics for the Spindle Rotor System[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2013， 49（6）：44.

[9] 姜彥翠， 劉獻禮， 吳石， 李茂月， 李榮義. 考慮結合面和軸向力的主軸系統(tǒng)動力學特性[J]. 機械工程學報， 2015， 51（19）：66.

JIANG Yancui， LIU Xianli， WU Shi， et al. Dynamics Characteristics of the Spindle System with the Interface and Axial Milling Force[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（19）：66.

[10]RANTATALO M， AIDANPAA J O， Goransson B， et al. Milling Machine Spindle Analysis Using FEM and Non-contact Spindle Excitation and Response Measurement[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2007， 47（7/8）：1034.

[11]曹宏瑞， 李兵， 何正嘉. 高速主軸動力學建模及高速效應分析[J]. 振動工程學報， 2012， 25（2）;103.CAO Hongrui， LI Bing， HE Zhengjia. Dynamic modeling of high-speed spindles and analysis of high-speed Effects[J]. Journal of Vibration Engineering， 2012， 25（2）：103.

[12]曹宏瑞， 李亞敏， 何正嘉， 朱永生. 高速滾動軸承-轉子系統(tǒng)時變軸承剛度及振動響應分析[J]. 機械工程學報， 2014， 50（15）：73.CAO Hongrui， LI Yamin， HE Zhengjia， et al. Time Varying Bearing Stiffness and Vibration Response Analysis of High Speed Rolling Bearing-rotor Systems[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50（15）：73.

[13]CAO Y， ALTINTAS Y. Modeling of Spindle-Bearing and Machine Tool Systems for Virtual Simulation of Milling Operations[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2007， 47（9）：1342.

[14]曹宏瑞， 何正嘉. 機床-主軸耦合系統(tǒng)動力學建模與模型修正[J]. 機械工程學報， 2012， 48（3）：88.CAO Hongrui， HE Zhengjia. Dynamic Modeling and Model Updating of Coupled Systems between Machine Tool and Its Spindle[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2012， 48（3）：88.

[15]BAILEY. Generic Simulation Approach for Multi-Axis Machining， Part 1： Modeling Methodology[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering， 2002， 124（3）：624.

[16]OZTURK B， LAZOGLU I. Machining of Free-form Surfaces. Part I： Analytical Chip Load[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2006， 46（7）：728.

[17]FAN J H， Ball A. Quadric Method for Cutter Orientation in Five-axis Sculptured Surface Machining[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2008， 48：788.

[18]ARAS E. Cutter-workpiece Engagement Identification in Multi-axis Milling[D]. University of Chester， 2008.

[19]LAZOGLU I， BOZ Y， Erdim H. Five-axis Milling Mechanics for Complex Free form Surfaces[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology， 2011， 60：117.

[20]KIM G M， CHO P J， CHU C N. Cutting Force Prediction of Sculptured Surface Ball-end Milling Using Z-map[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2000， 40（2）：277.

[21]WEI Z C， WANG M J， CAI Y J， et al. Prediction of Cutting Force in Ball-end Milling of Sculptured Surface Using Improved Z-map[J]. Intern-ational Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2013， 68（5/8）：1167.

[22]張臣， 周儒榮， 莊海軍， 等. 基于Z-map模型的球頭銑刀銑削力建模與仿真[J]. 航空學報， 2006（2）：347.

ZHANG Chen， ZHOU Rurong， ZHUANG Haijun， et al. Modeling and Simulation of Ball-end Milling Forces Based on Z-map Model[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2006（2）：347.

[23]ROTH D， GRAY P， ISMAIL F， et al. Mechanistic Modelling of 5-axis Milling Using an Adaptive and Local Depth Buffer[J]. Computer-Aided Design， 2007， 39（4）：302.

[24]CHIOU J C J. Accurate Tool Position for Five-axis Ruled Surface Machining by Swept Envelope Approach[J]. Computer Aided Design， 2004， 36：967.

[25]LARUE A， ALTINTAS Y. Simulation of Flank Milling Processes[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2005， 45：549.

[26]LAZOGLU I， BOZ Y， ERDIM H. Five-axis milling Mechanics for Complex Free form Surfaces[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology， 2011， 60（1）：117.

[27]JU Ganggang， SONG Qinghua， LIU Zhanqiang， et al. A Solid-Analytical-Based Method for Extracting Cutter-WorkpieceEngagementinSculpturedSurfaceMilling[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2015， 80（5/8）：1297.

[28]FERRY W， Yip-HoL D. Cutter-workpiece Engage-ment Calculations by Parallel Slicing for Five-axis Flank Milling of Jet Engine Impellers[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering-Transactions of the ASME， 2008， 130（5）：383.

[29]KARDES N， ALTINTAS Y. Mechanics and Dynamic-s of the Circular Milling Process[J]. Journal of Manufacturing ScienceandEngineering， 2007， 129（1）：21.

[30]李忠群， 劉強. 圓角銑削顫振穩(wěn)定域建模與仿真研究[J]. 機械工程學報， 2010， 46（7）：181.LI Zhongqun， LIU Qiang. Modeling and Simulation of Chatter Stability for Circular Millng[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2010， 46（7）;181.

[31]郝洪艷， 湯文成， 王保升. 變曲率曲面周銑銑削力建模與分析[J]. 制造技術與機床， 2014（7）：118.HAO Hongyan， TANG Wencheng， WANG Baosheng. Modeling and Analysis of Milling Force in Peripheral Milling of Curved Surfacewith Variable Curvature[J]. Manufacturing Technology and Machine Tool， 2014（7）：118.

[32]季思慧， 劉獻禮， 李茂月， 等. 汽車模具拐角加工銑削力建模及仿真[J]. 哈爾濱理工大學學報， 2016， 21（4）：50.JI Sihui， LIU Xianli， LI Maoyue， et al. Modeling and Simulation on Milling Forces in Automobile Mould Corner[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2016， 21（4）：50.

[33]WU Shi， YANG Lin， LIU Xianli， et al. Effects of Curvat-ure Characteristics of Sculptured Surface on Chatter Stability for Die Milling[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2017， 89（9/12）：1.

[34]YUE Caixu， LIU Xianli， LIANG S Y. A Model for Predicting Chatter Stability Considering Contact Characteristic between Milling Cutter and Workpiece[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2016， 88（5/8）：1.

[35]TWARDOWSKI P. HSM Machining Stability During Hardened Steels Milling Process[C]// ASME 2008， Biennial Conference on Engineering Systems Design and Analysis， 2008：289.

[36]劉安民， 彭程， 劉吉兆， 等. 高速銑削時顫振的診斷和穩(wěn)定加工區(qū)域的預報[J]. 機械工程學報， 2007， 43（1）：164.

LIU Anmin， PENG Cheng， LIU Jizhao， et al. Detection of Chatter and Prediction of Stable Cutting Zones in High-speed Milling[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2007， 43（1）：164.

[37]石莉， 賈春德， 孫玉龍. 應用小波研究動態(tài)銑削力及預報銑削顫振[J]. 哈爾濱工業(yè)大學學報， 2006， 38（10）：1778.

SHI li， JIA Chunde， SUN Yulong， Research on Dynamic Milling

Force with Wavelet Analysis and forecasting Milling Chatter[J]. Journal of Harbin Institute of Technology， 2006， 38（10）：1778.

[38]ALTINTAS Y， BUDAK E. Analytical Prediction of Stability Lobes in Milling[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology， 1995， 44（1）;357.

[39]MERDOL S D， ALTINTAS Y. Multi Frequency Solution of Chatter Stability for Low Immersion Milling[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering， 2004， 126（3）：459.

[40]BACHRATHY D， STEPAN G. Improved Prediction of Stability Lobes with Extended Multifrequency Solution[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology， 2013， 62（1）：411.

[41]INSPERGER T， STéPáN G. Semi-discretization Method for Delayed Systems[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2002， 55（5）;503.

[42]LONG X H， BALACHANDRAN B， Mann B P. Dynamics of Milling Processes with Variable Time Delays[J]. Nonlinear Dynamics， 2007， 47（1/3）：49.

[43]LONG X H，BALACHANDRAN B. Stability Analysis for Milling Process[J]. Nonlinear Dynamics，2007，49（3）：349.

[44]李中偉， 龍新華， 孟光. 基于Magnus-Gaussian截斷的銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的半離散分析法[J]. 振動與沖擊， 2009， 28（5）：69.LI Zhongwei， LONG Xinhua， MENG Guang. Stability Analysis of Milling Process by Semi Discretization Method Based on Magnus-Gaussian Truncation[J]. Journal of Vibration and Shock， 2009， 28（5）：69.

[45]宋清華， 艾興， 萬熠， 等. 考慮刀具偏心的變徑向切深銑削穩(wěn)定性研究[J]. 振動、測試與診斷， 2008， 28（3）：206.SONG Qinghua， AI Xing， WAN Yi， et al. Stability of Milling System with Variable Radial Depth of Cut Considering Runout Effect[J]. Journal of Vibration， Measurement and Diagnosis， 2008， 28（3）：206.

[46]宋清華， 艾興， 萬熠， 等. 小徑向切深下進給量對銑削穩(wěn)定性的影響[J]. 中國機械工程， 2008， 19（10）：1148.

SONG Qinghua， AI Xing， WAN Yi， et al. Stability Prediction for High-speed Milling Including Feed Rate in Low Radial Immersion[J]. China Mechanical Engineering， 2008， 19（10）：1148.

[47]WAN Min， ZHANG Weihong， DANG Jianwei， et al. A Unified Stability Prediction Method for Milling Process with Multiple Delays[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2010， 50（1）： 29.

[48]DING Ye， ZHU Limin， ZHANG Xiaojian， et al. A Full-discretization Method for Prediction of Milling Stability[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacturer， 2010， 50（5）;502.

[49]LIU Xianli， LI Rongyi， WU Shi， et al. A Prediction Method of Milling Chatter Stability for Complex Surface Mold[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2017， 89（9/12）：2637.

（編輯：溫澤宇）