全息凹面光柵光譜儀信號(hào)復(fù)原技術(shù)研究

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 南京 210000)

分辨率在光譜儀器中是非常重要的一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)，它直接影響著儀器的分析能力。光譜儀的分辨率主要是由其使用的硬件所決定，如狹縫線寬，準(zhǔn)直鏡口徑，光柵刻線密度，光柵口徑等等[1]。分辨率不足會(huì)導(dǎo)致光譜信號(hào)發(fā)生混疊難以分辨，光譜信號(hào)復(fù)原技術(shù)則是一種能夠在一定程度上提高儀器分辨能力的數(shù)學(xué)方法[2]。

通常，光譜信號(hào)復(fù)原需要獲知儀器的光譜響應(yīng)函數(shù)作為一種先驗(yàn)信息，為了獲取儀器的光譜響應(yīng)函數(shù)，常用的方法有直接計(jì)算法和測(cè)量法，計(jì)算法需要獲得儀器的設(shè)計(jì)參數(shù)，再利用光學(xué)衍射方程來(lái)求解光譜響應(yīng)函數(shù)的近似解，這種方法雖然可以直接通過(guò)計(jì)算得到儀器的響應(yīng)函數(shù)，但是對(duì)于大多數(shù)商用儀器來(lái)說(shuō)儀器的設(shè)計(jì)參數(shù)是商業(yè)秘密通常不會(huì)公開，且由于系統(tǒng)中的各種誤差影響，計(jì)算得到的結(jié)果往往和實(shí)際值存在偏差。

相比較計(jì)算法，測(cè)量法是使用一些能產(chǎn)生窄線寬光譜的光源作為輸入光源，直接測(cè)量得到光譜沖擊響應(yīng)曲線，但直接測(cè)量得到的結(jié)果中包含有各類噪聲不能直接作為先驗(yàn)信息，因此需要進(jìn)行曲線擬合從中提取得到較為可靠的解。曲線的擬合都需要以某種數(shù)學(xué)模型為對(duì)象，目前市場(chǎng)上大部分光譜儀多采用Czerny-Turner結(jié)構(gòu)，此光譜儀的像差校正比通常較為完善，因此儀器的沖擊響應(yīng)曲線可以被高斯曲線很好的近似[3-5]。全息凹面光柵光譜儀的成像離軸角度較大，成像系統(tǒng)存在著較大的慧差[1，6，7]，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)全息凹面光柵光譜儀的光譜響曲線向一側(cè)發(fā)生傾斜，左右并不對(duì)稱，而高斯模型則是一種典型的左右對(duì)稱模型，直接使用高斯模型提取儀器響應(yīng)函數(shù)必然是無(wú)法得到準(zhǔn)確結(jié)果的。

針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本研究提出了一種基于全息凹面光柵光譜儀光譜響應(yīng)曲線的改進(jìn)模型，利用改進(jìn)模型擬合提取出的結(jié)果作為算法的先驗(yàn)信息輸入，利用基于泊松隨機(jī)場(chǎng)的反卷積算法完成全息凹面光柵光譜儀的信號(hào)復(fù)原。

1 全息凹面光柵光譜儀點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)模型

全息凹面光柵光譜儀中產(chǎn)生色散的元件是全息凹面光柵，光源發(fā)出的光線由狹縫進(jìn)入儀器照射在全息凹面光柵上發(fā)生色散并聚焦，最終成像于探測(cè)器陣列上。

光譜儀的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是狹縫衍射，光柵衍射和光學(xué)系統(tǒng)綜合像差共同作用的結(jié)果，進(jìn)而可以被概括為如下的卷積表達(dá)式(1)。

hobservation=hslit*hgrating*haberration(1)

其中*為卷積運(yùn)算符號(hào)。hslit為狹縫衍射卷積函數(shù)，具體形式如式(2)，ω為狹縫寬度，f2為成像焦距，λ為入射光波長(zhǎng)，x為像面位置。

(2)

式(3)為hgrating為光柵衍射卷積函數(shù)，其中ωg為光柵刻槽寬度，d為光柵常數(shù)，N為光柵刻線數(shù)。

(3)

式(4)haberration為光學(xué)系統(tǒng)綜合像差卷積函數(shù)可近似為

haberration≈exp(-a(λ)x2)

(4)

在實(shí)際工程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算，通常將光譜儀中的hobservation函數(shù)的最終形式近似為高斯函數(shù)[8，9]。

對(duì)于全息凹面光柵光譜儀，綜合像差卷積函數(shù)需要被被分解為離焦hdefocus和慧差hcoma兩部分,雖然hdefocu通?？梢员唤茷橐粋€(gè)高斯函數(shù)，但hcoma卻比較特殊，因?yàn)榛鄄顚?duì)光強(qiáng)能量分布的影響類似于彗星，實(shí)際慧差所形成的光強(qiáng)分布的理論公式極為復(fù)雜且繁瑣非常不利于處理計(jì)算，出于方便實(shí)際數(shù)據(jù)處理和減小計(jì)算量的考慮，工程上需要尋找一種簡(jiǎn)化的同時(shí)又能很好的反映慧差特性的函數(shù)。從Namioka T , Seya M等人發(fā)表的關(guān)于全息凹面光柵的文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)，該類光柵譜線表現(xiàn)出的光強(qiáng)分布特點(diǎn)是在某一點(diǎn)處光強(qiáng)很強(qiáng)，再?gòu)脑擖c(diǎn)開始向某一側(cè)光強(qiáng)急劇減小而另一側(cè)光強(qiáng)則為零[6，7]，根據(jù)這一特性同時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算起見，本文將hcoma近似為一側(cè)區(qū)間上的指數(shù)函數(shù)，如式(5)。

hcoma≈exp(-b(λ)x)；x≥0

(5)

綜上全息凹面光柵光譜儀的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的簡(jiǎn)化模型可寫成式(6)

hobservation=hGaussian*hcoma

(6)

hGaussian=exp(-c(λ)x2)

(7)

hcoma=exp(-b(λ)x)；x≥0

(8)

因此最終的擬合式如式(9)

h=d(f*g)+c

(9)

(10)

(11)

其中常數(shù)項(xiàng)c用來(lái)描述傳感器中的底噪的期望值，d是幅值。

2 基于泊松隨機(jī)場(chǎng)的反卷積算法介紹

在光學(xué)成像系統(tǒng)中，圖形中的噪聲常常呈現(xiàn)出泊松分布的形式，而一個(gè)隨機(jī)變量X具有泊松分布，指的是其取整數(shù)k的概率可以被式(12)所表達(dá)

(12)

其中λ是X的期望。

因?yàn)楣庾V儀得到的數(shù)據(jù)是一行數(shù)組，所以可以用x和y來(lái)描述整個(gè)光譜儀輸入和輸出圖形，xn和yn表示對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)的值，則光譜儀的系統(tǒng)模型可以表示為式(13)。

(13)

其中hi表示儀器點(diǎn)擴(kuò)散函，vi表示對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)的噪聲。而在無(wú)噪聲情況下的系統(tǒng)期望信號(hào)可由式(14)給出。

(14)

則在給定原圖形為x而實(shí)際觀測(cè)為y，系統(tǒng)噪聲模型為泊松模型下的概率分布式(15)

(15)

該式為泊松分布似然函數(shù)，可以利用最大似然估計(jì)原圖形x。對(duì)其兩邊取對(duì)數(shù)可得最大似然估計(jì)式(16)。

(16)

為求P的極大值，繼續(xù)求p對(duì)x的偏導(dǎo)，并令結(jié)果為0，得式(17)。

(17)

因?yàn)閷?duì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h求和結(jié)果恒為1，故進(jìn)一步有式(18)

(18)

對(duì)其使用迭代法，可得x的最終迭代式(19)[9-11]。

(19)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 光譜響應(yīng)曲線擬合結(jié)果

實(shí)驗(yàn)使用GP3HG-1低壓汞燈和一臺(tái)自行研制的全息凹面光柵光譜儀工程樣機(jī)進(jìn)行，該汞燈可以產(chǎn)生自然展寬遠(yuǎn)小于儀器極限分辨率的窄帶光譜[12]，以此作為儀器的激勵(lì)信號(hào)，測(cè)量全息凹面光柵光譜儀的響應(yīng)，本研究提取了汞燈譜線中分布較為獨(dú)立并且信噪比較高的幾個(gè)波長(zhǎng)，分別進(jìn)行歸一化，如圖1所示。 從圖中可以看出系統(tǒng)的實(shí)測(cè)信號(hào)中覆蓋有一層底噪其為系統(tǒng)的暗電流噪聲，暗電流噪聲是傳感器所固有的一種電噪聲其期望值為一常量，因此需要在擬合模型中加入一個(gè)常數(shù)項(xiàng)作為其期望值，并在擬合過(guò)后去除這個(gè)常數(shù)項(xiàng)。

圖1 歸一化并對(duì)齊譜峰后的8個(gè)波長(zhǎng)的響應(yīng)曲線

首先對(duì)測(cè)得的幾個(gè)波長(zhǎng)譜線歸一化結(jié)果求取均值，再利用改進(jìn)模型對(duì)其進(jìn)行最小二乘擬合，再減去擬合式(11)中用來(lái)描述暗電流噪聲的常數(shù)項(xiàng)c，并令幅度值d等于1后就可以得到估計(jì)的儀器點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)如圖2所示。圖3則為高斯模型直接擬合的結(jié)果，觀察圖2和圖3相比較圖1，從直觀上已經(jīng)能看出改進(jìn)模型能更好的反映儀器的響應(yīng)特征。

圖2 改進(jìn)模型擬合的光譜儀點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

圖3 高斯模型擬合的光譜儀點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

表1給出了兩者模型的客觀擬合效果，通過(guò)表1可知改進(jìn)模型對(duì)比高斯模型在殘差平方和，均方根誤差，R方系數(shù)等評(píng)價(jià)擬合效果的關(guān)鍵指標(biāo)上都有了顯著的提高。因此本研究所提出的改進(jìn)模型相比較高斯模型能更好的描述全息凹面光柵光譜儀的光譜沖擊響應(yīng)曲線。

表1 兩種模型的擬合效果評(píng)價(jià)

3.2 改進(jìn)模型的光譜復(fù)原結(jié)果

為了進(jìn)一步地驗(yàn)證改進(jìn)模型對(duì)全息凹面光柵光譜儀信號(hào)復(fù)原的效果，繼續(xù)使用GP3HG-1低壓汞燈作為全息凹面光柵光譜儀的測(cè)試光源。分別用高斯模型擬合出的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和改進(jìn)模型擬合出的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)作為算法的先驗(yàn)信息，算法迭代次數(shù)均設(shè)為20次[13]，并與實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行對(duì)比。實(shí)測(cè)信號(hào)為實(shí)際光譜分析中較為有代表性的兩種情況，分別為對(duì)稱光譜雙峰和不對(duì)稱光譜雙峰，第一組為峰值在2065像素點(diǎn)和2081像素點(diǎn)的，576.96nm和579.07nm波長(zhǎng)對(duì)稱光譜雙峰如圖4，第二組為峰值在2419像素點(diǎn)和2427像素點(diǎn)的，625.20nm和626.20nm波長(zhǎng)不對(duì)稱光譜雙峰如圖5，半高全寬(FWHM)均為1.37nm，兩組信號(hào)都受到了儀器分辨能力的限制發(fā)生了一定程度的光譜重疊。

復(fù)原效果的評(píng)價(jià)主要依據(jù)為復(fù)原過(guò)后光譜的半高全寬(FWHM)和復(fù)原后光譜譜峰的對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)位置相比較真實(shí)值的改變量[14，15]。

圖4 對(duì)稱光譜雙峰復(fù)原效果

圖5 不對(duì)稱光譜雙峰復(fù)原效果

結(jié)合圖4和圖5和表2，可以明顯看出以改進(jìn)模型擬合出的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)作為先驗(yàn)信息的復(fù)原結(jié)果，在對(duì)稱光譜雙峰的例子中，譜線半高全寬和光譜波長(zhǎng)定位準(zhǔn)確度上都比高斯模型有了明顯的提高。而在不對(duì)稱光譜雙峰的例子中，改進(jìn)模型的半高全寬依舊要優(yōu)于高斯模型，但值得注意的是，在高斯模型下不對(duì)稱雙峰復(fù)原的結(jié)果中丟失了625.20nm的光譜曲線，這是由于高斯模型本身并不能準(zhǔn)確的描述儀器響應(yīng)所致，因所提供的先驗(yàn)信息不準(zhǔn)確，進(jìn)而在復(fù)原過(guò)程中出現(xiàn)了較為嚴(yán)重的錯(cuò)誤，復(fù)原結(jié)果也完全失去了參考的價(jià)值。改進(jìn)模型下的復(fù)原結(jié)果則不存在這種情況，復(fù)原的光譜中保留了所有光譜特征信息。 總得來(lái)說(shuō)改進(jìn)模型相比較傳統(tǒng)儀器中常用的高斯模型，能夠更好的反映出全息凹面光柵光譜儀的光譜響應(yīng)曲線，利用改進(jìn)模型得到的儀器響應(yīng)函數(shù)做為光譜信號(hào)復(fù)原算法先驗(yàn)信息輸入，更具有有效性和正確性。

表2 兩種模型對(duì)應(yīng)兩種類型光譜雙峰復(fù)原結(jié)果

/表示不存在

4 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)光譜儀中常用的高斯模型存在的不足，本文提出了一種基于全息凹面光柵光譜儀的光譜響應(yīng)曲線改進(jìn)模型，利用低壓汞燈產(chǎn)生的脈沖光譜測(cè)得了一臺(tái)全息凹面光柵光譜儀的實(shí)際光譜響應(yīng)，并分別利用本文提出的改進(jìn)模型和傳統(tǒng)高斯模型，提取了儀器的光譜響應(yīng)函數(shù)，并作為輸入光譜信號(hào)復(fù)原算法的先驗(yàn)信息分別測(cè)試實(shí)際光譜信號(hào)復(fù)原效果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在全息凹面光柵光譜儀中改進(jìn)模型相對(duì)于高斯模型更加有效。