時滯矩形廣義系統(tǒng)的混合H∞與無源控制

黎婕　林崇　劉煥霞

摘要：針對時滯矩形廣義系統(tǒng)的混合H∞與無源控制問題，本文通過構(gòu)造帶時滯的動態(tài)補(bǔ)償器，利用實(shí)數(shù)域上正常廣義系統(tǒng)的可容許性判據(jù)，得到可使閉環(huán)系統(tǒng)在混合H∞與無源性能指標(biāo)γ條件下容許的充分條件。通過構(gòu)建合適的LyapunovKrasovskii泛函，結(jié)合放松過的Wirtinger不等式，對泛函導(dǎo)數(shù)積分項(xiàng)進(jìn)行處理，將不等式中非線性項(xiàng)進(jìn)行代換，最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證該方法的有效性，并將混合H∞與無源控制問題從正常廣義系統(tǒng)推廣到時滯矩形廣義系統(tǒng)。驗(yàn)證結(jié)果表明，本文所得到的穩(wěn)定性充分條件擁有更大的時滯上界，決策變量更少，保守性和復(fù)雜度更低。該研究對時滯矩形廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)問題具有重要意義。

關(guān)鍵詞：矩形廣義系統(tǒng); 混合H∞與無源控制; 時滯; 動態(tài)補(bǔ)償

中圖分類號： TP13; N941.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

文章編號： 10069798（2020）02000108; DOI： 10.13306/j.10069798.2020.02.001

廣義系統(tǒng)，又稱廣義狀態(tài)空間系統(tǒng)，與常規(guī)系統(tǒng)相比，可以更好地描述物理系統(tǒng)，因而一直受到廣泛研究和關(guān)注[12]。而矩形廣義系統(tǒng)，作為一類更廣泛的廣義系統(tǒng)，由于狀態(tài)變量個數(shù)與狀態(tài)方程個數(shù)不一致，因而具有更復(fù)雜的行為[3]。從20世紀(jì)80年代末開始，矩形廣義系統(tǒng)開始受到關(guān)注，很多學(xué)者著手研究矩形系統(tǒng)的正則性及廣義正則化問題[34]，矩形廣義系統(tǒng)脈沖能控性、能觀性問題[56]，以及濾波、估計(jì)問題和觀測器設(shè)計(jì)問題等[79]。Zhang G S等人[1011]首次提出用動態(tài)補(bǔ)償方法使閉環(huán)矩形廣義系統(tǒng)正則化;Chen J等人[12]設(shè)計(jì)了矩形TS模糊離散系統(tǒng)的時滯動態(tài)補(bǔ)償器;Zhang X F等人[1314]又將矩形廣義系統(tǒng)相關(guān)理論延伸到分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域。由于時滯存在于許多動力系統(tǒng)中，經(jīng)常導(dǎo)致性能不佳和不穩(wěn)定，因此研究時滯矩形廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。近年來，隨著線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）方法的發(fā)展，許多學(xué)者對各種系統(tǒng)的H∞控制問題進(jìn)行了廣泛研究[1516]。Xu S等人[1718]對連續(xù)和離散時間時滯系統(tǒng)的耗散進(jìn)行分析和設(shè)計(jì);Wu Z G等人[1920]討論了連續(xù)和離散時滯廣義系統(tǒng)的混合H∞與無源濾波問題;Chen J等人[21]研究了時滯廣義系統(tǒng)的混合H∞與無源控制問題。針對時滯矩形廣義系統(tǒng)的混合H∞與無源控制問題，目前還沒有學(xué)者對其作相應(yīng)的研究。基于此，本文將正常廣義系統(tǒng)推廣到時滯矩形廣義系統(tǒng)，并利用帶時滯的動態(tài)補(bǔ)償器，得到在混合H∞與無源性能指標(biāo)γ下使閉環(huán)系統(tǒng)容許的充分條件，實(shí)現(xiàn)了混合H∞與無源控制，并通過數(shù)值例子驗(yàn)證了本文結(jié)果有效性。該研究為時滯矩形廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了理論依據(jù)。

5 結(jié)束語

本文針對時滯矩形廣義系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一類動態(tài)補(bǔ)償器來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的混合H∞與無源性能控制問題。在文獻(xiàn)[21]的基礎(chǔ)上，首次把混合H∞與無源控制問題推廣到矩形廣義系統(tǒng)中，并利用動態(tài)補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。與文獻(xiàn)[21]相比，本文方法引入了新的自由權(quán)矩陣，并采用一種有效算法來計(jì)算控制器增益矩陣，所得結(jié)果擁有更大的時滯上限，決策變量更少，保守性更低，數(shù)值算例證明了該結(jié)果的有效性。另外，本文是在文獻(xiàn)[27]針對矩形廣義系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了帶時滯的矩形廣義系統(tǒng)的控制問題。這類問題目前研究成果并不多，將其與實(shí)際生產(chǎn)模型相結(jié)合可以作為進(jìn)一步研究的方向。

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Mixed H∞ and Passive Control for Stabilization for Time-Delay Rectangular Descriptor Systems

LI Jie， LIN Chong， LIU Huanxia

（Institute of Complexity Science， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：? Aiming at the problem of mixed H∞ and passive control for time-delay rectangular descriptor systems， this paper constructs a dynamic compensator with time delay and uses the admissibility criterion of a normal singular system to obtain sufficient conditions under mixed H∞ and passive performance index γ requirements. Firstly， a suitable Lyapunov-Krasovskii functional is constructed in this paper. Then， the derivative term of the functional derivative is processed in combination with the relaxed Wirtinger inequality， and then the non-linear term in the inequality is replaced. Finally， numerical example verifies the validity of the method. In this paper， the mixed H∞ and passive control problem is extended from a normal singular system to a rectangular descriptor system with time delay. The verification results show that the method in this paper has a larger upper bound on time delay， fewer decision variables， and lower conservatism and complexity than the sufficient stability conditions obtained by the existing results. This research is of great significance to the stability analysis and controller design of rectangular descriptor systems with time delay.

Key words：? rectangular descriptor systems; mixed H∞ and passive control; time delay; dynamic compensation

收稿日期： 2019-12-02; 修回日期： 2020-02-4

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61673227，61873137）

作者簡介：黎婕（1995-，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫匦螐V義系統(tǒng)的分析與控制。

通信作者：林崇（1967-），男，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)理論與控制理論。 Email： linchong_2004@hotmail.com