環(huán)電流矢勢(shì)的數(shù)值積分和數(shù)值旋度的計(jì)算和可視化

周群益，莫云飛，侯兆陽(yáng)，周麗麗

(1.廣東技術(shù)師范大學(xué) 天河學(xué)院，廣東 廣州 510540；2.長(zhǎng)沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410022；3.長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064；4.贛南醫(yī)學(xué)院 信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

環(huán)電流的磁場(chǎng)是電磁場(chǎng)理論中的一個(gè)典型問(wèn)題，許多教材都有介紹。有的文獻(xiàn)利用矢勢(shì)推導(dǎo)磁感應(yīng)強(qiáng)度公式[1]，有的文獻(xiàn)根據(jù)畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)磁感應(yīng)強(qiáng)度公式[2]。這些公式都是在柱坐標(biāo)系中建立的，顯示了磁場(chǎng)的分布規(guī)律。不過(guò)，文獻(xiàn)缺少磁感應(yīng)強(qiáng)度分量的分布曲面，更沒(méi)有磁感應(yīng)線。本文推導(dǎo)出柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中的矢勢(shì)的積分式和解析式，利用數(shù)值積分計(jì)算的繪制矢勢(shì)的分布曲面，并與解析式的曲面進(jìn)行比較。利用旋度公式推導(dǎo)了柱坐標(biāo)系中的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而推導(dǎo)出直角坐標(biāo)系中的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量的積分式和解析式。利用數(shù)值導(dǎo)數(shù)計(jì)算和繪制了磁感應(yīng)強(qiáng)度分量的分布曲面，并與解析解的曲面進(jìn)行比較。本文還繪制了三維磁感應(yīng)線，充分展示了環(huán)電流的磁場(chǎng)分布規(guī)律。

1 環(huán)電流的矢勢(shì)

設(shè)圓環(huán)的半徑為a，電流強(qiáng)度為I。如圖1所示，在柱坐標(biāo)系Oρφz中，設(shè)場(chǎng)點(diǎn)P在Oxz平面的上，環(huán)電流到點(diǎn)P的距離為

圖2 環(huán)電流矢勢(shì)的分布面

如圖2所示，矢勢(shì)曲面具有關(guān)于x軸的奇對(duì)稱性和關(guān)于z軸的偶對(duì)稱性。在x=0的軸線上，矢勢(shì)Aφ=0；當(dāng)z=0而|x|→a時(shí)，Aφ→+∞，這是因?yàn)閮蓚€(gè)場(chǎng)點(diǎn)都是圓環(huán)所在處，矢勢(shì)不存在。矢勢(shì)的數(shù)值積分與解析解完全重合，說(shuō)明兩個(gè)公式都是正確的。數(shù)值積分需要較大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，計(jì)算時(shí)間也比較長(zhǎng)，而解析解的效率高很多。

2 環(huán)電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度

(1)如圖3所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度分量Bx的數(shù)值旋度與解析解的曲面基本重合，說(shuō)明兩種結(jié)果都是正確的。誤差是由于數(shù)值導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的，減少數(shù)值間隔可以減小誤差。Bx的數(shù)值積分曲面與解析解的曲面完全重合(圖略)。

圖3 環(huán)電流磁場(chǎng)分量Bx的分布面

圖4 環(huán)電流磁場(chǎng)分量B z的分布面

圖5 環(huán)電流的三維磁感應(yīng)線

(2)如圖4所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度分量Bz的數(shù)值旋度與解析解的曲面基本重合，說(shuō)明兩種結(jié)果都是正確的。Bz的數(shù)值積分曲面與解析解的曲面完全重合(圖略)。

(3)環(huán)電流的三維磁感應(yīng)線如圖5所示，磁感應(yīng)線是閉合的，都環(huán)繞著環(huán)電流；在y=0平面上是二維磁感應(yīng)線。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文具有一些獨(dú)特之處。用數(shù)值積分解決了環(huán)電流矢勢(shì)的計(jì)算和可視化問(wèn)題，用數(shù)值導(dǎo)數(shù)解決了環(huán)電流磁場(chǎng)的計(jì)算和可視化問(wèn)題，同時(shí)還解決了磁感應(yīng)線的繪制問(wèn)題。作者設(shè)計(jì)了全部計(jì)算和可視化程序，感興趣讀者可與作者聯(lián)系。本文的方法還可用于解決通電螺線管的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布問(wèn)題以及磁感應(yīng)線的分布問(wèn)題。