動力學(xué)普遍方程的普遍性1)
——分析力學(xué)札記之三十一

梅鳳翔

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081)

1 動力學(xué)普遍方程與中心方程

Lagrange 在其《分析力學(xué)》中提出了“動力學(xué)普遍公式”，后來發(fā)展為“動力學(xué)普遍方程”，即d’Alembert–Lagrange 原理，從而奠定了Lagrange力學(xué)基礎(chǔ)。

蒲赫哥爾茨的著名教材將動力學(xué)普遍方程表述為[1]：

“在任一瞬間，真正的運(yùn)動和運(yùn)動學(xué)上可能的運(yùn)動不同的地方就是，只有對真正的運(yùn)動來說，主動力和慣性力當(dāng)力學(xué)組作任意的虛位移時所作的元功之和才等于零，亦即對真正的運(yùn)動來說我們有

這個原理提供了在每一瞬間真正運(yùn)動的準(zhǔn)繩?！?/p>

文獻(xiàn)[1]沒有提及動力學(xué)普遍方程對約束的前提。前提應(yīng)是，約束是雙面理想的。動力學(xué)普遍方程(1)可表示為

其中，mi為第i個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；¨ri為其加速度；Fi為作用在質(zhì)點(diǎn)上主動力的合力；δri為其虛位移；N為質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目。

文獻(xiàn)[2]評介了教材中有關(guān)動力學(xué)普遍方程的各種表述，并強(qiáng)調(diào)雙面理想約束的前提不能少，只提理想約束不行，只提雙面約束也不行。將原理(2)寫成形式

將左端表示為

代入式(3)，得到

其中

為主動力的元功之和，而δT為動能的變分。式(5)被Hamel G(1877—1954)稱為普遍中心方程(die verall gemeinerte Zentralgleichung)[3]。如果利用交換關(guān)系

則方程(5)成為Lagrange中心方程[4]

引進(jìn)廣義坐標(biāo)和廣義動量，有

則Lagrange中心方程(8)成為

Lagrange中心方程是動力學(xué)普遍方程在利用交換關(guān)系(7)之后的一種形式。

如果不利用交換關(guān)系，則普遍中心方程(5)可在廣義坐標(biāo)和廣義動量下寫成

2 由動力學(xué)普遍方程導(dǎo)出動力學(xué)普遍定理

由動力學(xué)普遍方程可導(dǎo)出動量定理、動量矩定理和動能定理的特殊情形。Appell 在其著作第二卷第23章“d’Alembert原理”中寫道[5]：

(1) “如果約束允許系統(tǒng)每一時刻平行于某固定軸移動，那么動量在此軸投影之和對時間的導(dǎo)數(shù)等于給定力沿同軸的投影之和。”

“這個定理是動量投影定理的特殊情形?！薄耙话闱樾蜗?，外力投影同時包括給定力與約束力?！薄斑@個定理可應(yīng)用于外力投影不含約束力的問題。”

(2) “如果約束允許系統(tǒng)每一時刻繞固定軸轉(zhuǎn)動，那么對此軸動量矩之和對時間的導(dǎo)數(shù)等于給定力對此軸的矩之和。”“它是動量矩定理的特殊情形，僅當(dāng)所有外力為給定力的情形。”

(3) “如果約束不依賴于時間，那么系統(tǒng)動能的微分等于給定力的元功之和”。這是動能定理的特殊情形。

Appell著作中的給定力即主動力。

關(guān)于動能定理的特殊情形是在實(shí)位移處于虛位移之中的假設(shè)下才成立的。Appell 只提“約束不依賴于時間”還不夠，應(yīng)該是“約束是雙面理想完整，且不依賴于時間的”，因?yàn)樵谶@樣的限定下實(shí)位移才是虛位移之一。一些教材在涉及動能定理或機(jī)械能守恒定律時，要么只提“理想約束”，如文獻(xiàn)[6]，要么提“定常理想約束”，如文獻(xiàn)[7]。這些提法都不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

3 由動力學(xué)普遍方程導(dǎo)出運(yùn)動微分方程

3.1 廣義坐標(biāo)表達(dá)

引進(jìn)廣義坐標(biāo)，動力學(xué)普遍方程(2)可表示為Euler–Lagrange形式[8]

其中，T為系統(tǒng)動能，Qs為廣義力。方程(2)可表示為Nielsen形式

其中，S為加速度能。

3.2 完整力學(xué)系統(tǒng)

對具有雙面理想完整約束的系統(tǒng)，δqs(s=1,2,···,n)是彼此獨(dú)立的，由式(12)～式(14)可導(dǎo)出Lagrange方程N(yùn)ielsen方程

和Appell方程

3.3 非完整力學(xué)系統(tǒng)

設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動受有g(shù)個雙面理想Chetaev 型非完整約束

約束方程(18)加在虛位移δqs上的限制為

由式(19)，利用Lagrange乘子法，由方程(12)～(14)，分別得到由方程(12)～(14)，還可導(dǎo)出不帶乘子的各類方程[8]。

如果非完整約束是非Chetaev 型的，只要給出約束對虛位移的限制條件，也可導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。

4 由動力學(xué)普遍方程導(dǎo)出積分變分原理

4.1 導(dǎo)出Hamilton原理

將普遍中心方程(11)由t0至t1對t積分，得到

考慮到端點(diǎn)條件

得到

對完整力學(xué)系統(tǒng)，有

代入式(25)，得到

這就是完整非保守系統(tǒng)的Hamilton原理。如果力有勢，即存在勢能V，使得

代入式(27)，得到

其中

為系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)。式(29)即有勢力情形的Hamilton原理。

下面導(dǎo)出非完整系統(tǒng)的Hamilton原理。設(shè)非完整約束寫成形式對獨(dú)立的變分取交換關(guān)系

由

得到交換關(guān)系

其中

式(31)和式(32)稱為Suslov定義[9]。將式(31)和式(32)代入式(25)，得到這就是非完整系統(tǒng)Suslov 意義下的Hamilton 原理，其中(δT)s是Suslov意義下的δT。

如果對所有變分取交換關(guān)系

將式(35)代入式(25)，得到

這就是非完整系統(tǒng)H?lder 意義下的Hamilton原理，其中(δT)H是H?lder 意義下的δT。文獻(xiàn)[9]稱式(35)為Voronetz定義。兩種形式的Hamilton原理，式(34)和式(36)是等價的。

4.2 導(dǎo)出最小作用量原理

設(shè)系統(tǒng)所受約束是雙面理想完整定常的，力是有勢的，則有機(jī)械能守恒，即

則有

以及

此時中心方程(10)成為

由等時變分與全變分的關(guān)系，有

于是有

代入式(38)，得到

由t0至t1對t積分，得

由端點(diǎn)條件

得到

即

這就是Lagrange最小作用量原理[4]。

文獻(xiàn)[10]由Hamilton 原理這樣導(dǎo)出最小作用量原理

但這是不對的。

4.3 導(dǎo)出Pfaff–Birkhoff原理

令[11]

則原理(29)成為

這就是Pfaff–Birkhoff原理，它是Birkhoff力學(xué)的基礎(chǔ)[12]。

5 結(jié)語

Lagrange在其著作《分析力學(xué)》中，基于虛位移原理和d’Alembert原理，提出了動力學(xué)普遍公式(la forme générale de la dynamique)。動力學(xué)普遍公式后來稱為動力學(xué)普遍方程，或d’Alembert–Lagrange原理，從而奠定了Lagrange力學(xué)基礎(chǔ)。在理論力學(xué)中，動力學(xué)普遍方程主要用于推導(dǎo)完整系統(tǒng)的Lagrange 方程，如文獻(xiàn)[13-15]。在分析力學(xué)中動力學(xué)普遍方程主要用于推導(dǎo)完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程，如文獻(xiàn)[16-19]。實(shí)際上，由動力學(xué)普遍方程還可推導(dǎo)出積分變分原理，如Hamilton原理，Lagrange 最小作用量原理，還可間接導(dǎo)出Pfaff–Birkhoff原理。這表明動力學(xué)普遍方程的普遍性，也表明它的基礎(chǔ)性。圖1所示為表示動力學(xué)普遍方程的基礎(chǔ)性以及它與分析力學(xué)各分支的關(guān)聯(lián)性。動力學(xué)普遍方程不僅是Lagrange力學(xué)的基礎(chǔ)，也是整個分析力學(xué)的基礎(chǔ)。

圖1 動力學(xué)普遍方程的基礎(chǔ)性以及它與分析力學(xué)各分支的關(guān)聯(lián)性