基于雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁的自校正PID振動(dòng)控制研究1)

楊 越 胡曉琳 張 婷

(上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，上海201620)

近年來(lái)，隨著智能結(jié)構(gòu)迅速發(fā)展，智能結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制研究對(duì)象從最初單驅(qū)動(dòng)向著更多驅(qū)動(dòng)度發(fā)展[1-2]。隨之而來(lái)的問(wèn)題是，多驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)存在嚴(yán)重的不穩(wěn)定性，從而影響正常的工作性能和使用壽命。為了增強(qiáng)智能結(jié)構(gòu)的可靠性，如何更好地對(duì)智能結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)控制，對(duì)今后智能結(jié)構(gòu)應(yīng)用領(lǐng)域具有重要而深刻的意義。

目前在柔性結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制領(lǐng)域主要是懸臂梁?jiǎn)悟?qū)動(dòng)系統(tǒng)的研究，而對(duì)于多驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)的研究比較少。其中，葉焰杰[3]在研究電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)及電磁特性的基礎(chǔ)上，基于MATLAB/SIMULINK 等多種軟件設(shè)計(jì)了一套多輸入多輸出虛擬振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)的實(shí)施方案；徐浩[4]對(duì)多輸入多輸出沖擊振動(dòng)試驗(yàn)控制系統(tǒng)進(jìn)行了在時(shí)域上的控制，并對(duì)其相關(guān)問(wèn)題做了深入的理論分析和試驗(yàn)研究。然而利用數(shù)學(xué)建模和系統(tǒng)辨識(shí)參數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)多驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁的振動(dòng)控制并不多見(jiàn)。

鑒于目前的研究現(xiàn)狀，本文針對(duì)雙輸入單輸出的雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)進(jìn)行研究，基于模態(tài)方法建立動(dòng)力學(xué)模型，利用遞推最小二乘法在線辨識(shí)參數(shù)設(shè)計(jì)PID 控制器[5-6]，用自校正PID 控制方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)振動(dòng)控制。通過(guò)數(shù)值仿真，分析自校正PID 控制方法對(duì)于兩輸入單輸出的智能懸臂梁系統(tǒng)的控制效果，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證自校正PID 控制對(duì)于兩輸入單輸出智能懸臂梁系統(tǒng)的有效性和可行性。為今后對(duì)智能結(jié)構(gòu)減振控制提供了理論與實(shí)驗(yàn)的研究基礎(chǔ)。

1 智能懸臂梁動(dòng)力學(xué)模型

壓電晶體結(jié)構(gòu)的各向異性，導(dǎo)致壓電結(jié)構(gòu)在各個(gè)方向的力學(xué)特性是不一樣的。當(dāng)壓電驅(qū)動(dòng)器在厚度方向與長(zhǎng)度方向分別受到同樣的電壓時(shí)，在這兩個(gè)方向引起的伸縮振動(dòng)特性不一樣，甚至引起的彎曲振動(dòng)特性也是不一樣的[7]。正是利用這種壓電材料的各向異性的特性，來(lái)實(shí)現(xiàn)智能結(jié)構(gòu)的控制研究。為了更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)設(shè)置，選取理想的均勻柔性懸臂梁，所謂柔性結(jié)構(gòu)，即其幾何非線性因素在分析中影響較大而不可忽略的結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)模型上表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的剛度小，柔性大。當(dāng)柔性懸臂梁厚度小，特別是在小于1 mm 時(shí)，在外界干擾下，其自由振動(dòng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)得不到衰減。同時(shí)要考慮彎曲情況的等截面梁和邊界條件，包括幾何邊界條件和力邊界條件。即固定端的撓度和轉(zhuǎn)角都為零；自由端處的彎矩和剪力均為零。沿梁長(zhǎng)度x方向的抗彎剛度為EI(x)，梁的密度為ρ，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m(x)，單位長(zhǎng)度阻尼為c(x)，作用在梁上的橫向載荷為P(x,t)，梁的橫向位移w(x,t)為隨坐標(biāo)x和時(shí)間t連續(xù)變換的函數(shù)[8]。

結(jié)合運(yùn)動(dòng)偏微分方程和壓電致動(dòng)方程得到雙驅(qū)動(dòng)度懸臂梁系統(tǒng)方程[8]為

式中，Cp為壓電片電容；Ep為壓電傳感器的彈性模量；b為懸臂梁的寬度；tb為懸臂梁的厚度；e31為壓電系數(shù)；w為柔性臂的撓度(臂的橫向位移)；H(x)為Heaviside 階躍函數(shù)；Ui為輸入電壓；Ka為壓電耦合系數(shù)。

懸臂梁動(dòng)力學(xué)模型反應(yīng)了智能懸臂梁的擾度與壓電致動(dòng)器上的輸入電壓之間的關(guān)系，并結(jié)合邊界條件得到了雙驅(qū)動(dòng)懸臂梁系統(tǒng)方程，基于模態(tài)分析方法從偏微分方程形式轉(zhuǎn)換到二階微分方程形式。

對(duì)于雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁

式中，w(x,t)是智能懸臂梁系統(tǒng)的位移坐標(biāo)(幾何層面的)；?n(x)是智能懸臂梁系統(tǒng)的第n階振型的振型函數(shù)；qn(t)是智能懸臂梁系統(tǒng)的第n階振型的振型坐標(biāo)。

當(dāng)?i(x)=1時(shí)為正則振型，Mi=1，梁的振動(dòng)微分方程為

若以矩陣形式表示方程，則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)可以描述為

化簡(jiǎn)為

令

則

并且系統(tǒng)的輸出，即懸臂梁自由端的位移Y(t)為

式中

由于智能懸臂梁具有分布式質(zhì)量和剛度，故將復(fù)雜的智能懸臂梁系統(tǒng)簡(jiǎn)化成雙驅(qū)動(dòng)度的系統(tǒng)進(jìn)行建模運(yùn)算，得到相應(yīng)的微分方程和狀態(tài)方程，方便控制器的設(shè)計(jì)和計(jì)算。

2 最小二乘法參數(shù)辨識(shí)

在自適應(yīng)控制系統(tǒng)中，采用遞推最小二乘法可以在舊的遞推估計(jì)值的基礎(chǔ)上得到新的遞推參數(shù)估計(jì)值。按照時(shí)間順序，獲取一次新的數(shù)據(jù)就更新一次參數(shù)估計(jì)值，直到能獲得較為滿意的辨識(shí)效果。這不僅可以減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量，而且可以實(shí)現(xiàn)在線實(shí)時(shí)辨識(shí)，提高估計(jì)精度。

對(duì)于L次觀測(cè)值，系統(tǒng)參數(shù)最小二乘估計(jì)?θ 的遞推公式[9]為

式中，y(k)為對(duì)象的實(shí)際輸出；?θ(k)為待估計(jì)參數(shù)；φ(k) 為數(shù)據(jù)向量；P(k)和K(k)為過(guò)渡矩陣。

取如下性能指標(biāo)

式中，ε(k)為實(shí)際輸出與估計(jì)輸出的差值，即殘差。

按照最小二乘法的性能指標(biāo)來(lái)看，參數(shù)的最小二乘估計(jì)就是使目標(biāo)函數(shù)式(9)取極小值的參數(shù)對(duì)J求的一階導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即另外滿足以上兩個(gè)條件的參數(shù)θ?使系統(tǒng)實(shí)際輸出與估計(jì)輸出的差值的平方J取得極小值。從仿真與實(shí)驗(yàn)的控制結(jié)果看，控制結(jié)果值接近于0 所用的時(shí)間越少，其辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)的精度越高，辨識(shí)結(jié)果越滿意。

最小二乘法系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)實(shí)現(xiàn)步驟如圖1 所示，已知：na、nb和d(自校正PID算法中ARMAX模型是差分式的，差分模型的參數(shù)na= 2，nb= 1；純延時(shí)d=1)。

由遞推最小二乘法系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)，可獲得自校正PID控制器需要的參數(shù)a和b。

圖1 最小二乘法系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)實(shí)現(xiàn)步驟

3 自校正PID控制器

本文采用自校正PID控制策略抑制智能懸臂梁的自由振動(dòng)，其方法簡(jiǎn)易直觀、穩(wěn)定性較強(qiáng)。隨著被控對(duì)象參數(shù)的變化，利用估計(jì)運(yùn)算的輸入與輸出參數(shù)進(jìn)行對(duì)比來(lái)估算出過(guò)程參數(shù)，用其輸出控制量對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，使該系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)或指定的性能指標(biāo)；通過(guò)在線實(shí)時(shí)辨識(shí)得到系統(tǒng)參數(shù)，提高控制的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性；根據(jù)PID 控制參數(shù)的參數(shù)變化來(lái)實(shí)現(xiàn)期望的輸出[9]。

自校正PID控制器的設(shè)計(jì)思想是：以指定控制器的基本形式為模型，首先對(duì)被控對(duì)象參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)方法采用的遞推最小二乘算法，然后根據(jù)極點(diǎn)配置方法使得閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在期望的目標(biāo)上[10-11]。

下面是自校正PID控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程

設(shè)被控對(duì)象是

式中，u(k)為智能控制系統(tǒng)的輸入；y(k)表示智能控制系統(tǒng)的輸出；e(k)為外界干擾；d為純延時(shí)，其值要滿足1，并且

對(duì)該智能控制系統(tǒng)采用PID控制，特別地，有積分的成分考慮在內(nèi)，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的PID 控制器可表示為

式中，F(xiàn)1(z?1)=F(z?1)?，其中，?=(1?z?1)，故也可以寫(xiě)成F1(z?1)=(1?z?1)F(z?1)。且

將式(13)代入式(11)，可以得到該閉環(huán)系統(tǒng)輸出為

令閉環(huán)特征多項(xiàng)式為期望傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式，即

式中，Am需達(dá)到極點(diǎn)配置控制中相容性條件的要求。

結(jié)合式(13)，式(16)又可表示成

式中，?A(z?1)=(1?z?1)A(z?1)

為保證有唯一解，各多項(xiàng)式的階次需滿足下式所呈現(xiàn)的關(guān)

4 數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 數(shù)值仿真

基于自校正PID 控制理論，應(yīng)用MATLAB/SIMULINK，實(shí)現(xiàn)對(duì)雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)振動(dòng)控制的仿真研究與分析[12]。下面給出了貼有壓電驅(qū)動(dòng)器的雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)與數(shù)值仿真模型相關(guān)的幾何參數(shù)和力學(xué)參數(shù)。其中，懸臂梁的相關(guān)參數(shù)包括懸臂梁的長(zhǎng)度lb= 0.447 m；懸臂梁的寬度wb= 30.5 mm；懸臂梁的厚度tb= 0.7 mm；懸臂梁的彈性模量Eb= 70 GPa；懸臂梁的密度ρb= 2.77×103kg/m3；懸臂梁的阻尼系數(shù)Cb= 0.01。壓電驅(qū)動(dòng)器的相關(guān)參數(shù)包括壓電驅(qū)動(dòng)器的長(zhǎng)度lp= 52.6 mm；壓電驅(qū)動(dòng)器的寬度wp= 0.01 m；壓電驅(qū)動(dòng)器的厚度tp= 3.5 mm；壓電驅(qū)動(dòng)器的壓電常數(shù)d31=1.7×10?10m/V；壓電驅(qū)動(dòng)器的彈性模量Ep= 7.1×1010N/m2；壓電驅(qū)動(dòng)器的壓電勁度常數(shù)h31=?1.35×109V/m；壓電驅(qū)動(dòng)器的電容Cp=3.0 nF；壓電驅(qū)動(dòng)器的阻尼系數(shù)C1=C2=0.1；壓電驅(qū)動(dòng)器的中心點(diǎn)離懸臂梁根部的距離xF=12 mm。

圖2 和圖3 為自校正PID 控制下的兩輸入單輸出的雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)的控制電壓圖，圖4 為PID 控制與無(wú)PID 控制下的輸出位移對(duì)比圖。結(jié)果表明：在PID 控制下約0.06 s 的時(shí)間內(nèi)，控制電壓大于限制電壓150 V，在系統(tǒng)運(yùn)行開(kāi)始時(shí)，需要一定的時(shí)間進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)，因此存在較大幅度的振蕩。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)行，系統(tǒng)具有較好的控制效果，在約0.15 s的時(shí)間內(nèi)，位移的自由振動(dòng)幅值均減小到較小值，與無(wú)PID 控制的自由振動(dòng)相比控制效果更明顯。由此可見(jiàn)該自校正PID控制法具有較好的輸入跟蹤性能力和自適應(yīng)能力，能夠較好實(shí)現(xiàn)對(duì)雙驅(qū)動(dòng)懸臂梁的控制。

圖2 仿真中兩輸入單輸出自校正PID 控制下控制電壓(輸入1)

圖3 仿真中兩輸入單輸出自校正PID 控制下控制電壓(輸入2)

圖4 仿真中兩輸入單輸出自校正PID 控制后與控制前輸出位移對(duì)比

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了對(duì)仿真研究結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，搭建智能懸臂梁振動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析智能懸臂梁在兩個(gè)不同的單輸入單輸出和一個(gè)兩輸入單輸出這三種情況下的振動(dòng)控制效果。

圖5 為智能懸臂梁振動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，主要由HPV 系列壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源、MCC-USB 1808X、裝有LabVIEW和MATLAB的電腦以及基恩士G30傳感器組成。

圖5 智能懸臂梁振動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：裝有壓電驅(qū)動(dòng)的智能懸臂梁自由端受到干擾產(chǎn)生自由振動(dòng)，壓電驅(qū)動(dòng)器采集懸臂梁應(yīng)變信號(hào)，經(jīng)傳感器系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)轉(zhuǎn)化傳入計(jì)算機(jī)，再由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源功率放大15倍，將產(chǎn)生的抑制振動(dòng)信號(hào)加載到智能懸臂梁壓電驅(qū)動(dòng)器兩端。

圖6 為實(shí)驗(yàn)中單輸入單輸出雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)(其中第二輸入電壓為0)在自校正PID 控制下，第一個(gè)控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖；圖7 為系統(tǒng)在自校正PID 控制下，第二個(gè)控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖，很明顯可以看出此控制電壓為零；圖8為PID 控制下系統(tǒng)的輸出電壓與控制前的自由振動(dòng)的輸出電壓的結(jié)果對(duì)比圖。結(jié)果表明在無(wú)PID 控制時(shí)，大約1.5 s 時(shí)系統(tǒng)大致達(dá)到穩(wěn)定；而在自校正PID 控制下，大約0.8 s 時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)差不多達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由此可知，驗(yàn)證自校正PID 控制器對(duì)智能懸臂梁振動(dòng)控制是可行和有效的。

圖6 單輸入單輸出自校正PID 控制下控制電壓(輸入1)

圖7 單輸入單輸出自校正PID 控制下控制電壓(輸入2)

圖8 單輸入單輸出自校正PID 控制后與控制前的輸出電壓對(duì)比(輸入2 為0)

圖9 為實(shí)驗(yàn)中單輸入單輸出雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)(其中第一輸入電壓為0)在自校正PID 控制下，第一個(gè)控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖，很明顯可以看出此控制電壓為0；圖10 為系統(tǒng)在自校正PID 控制下，第二個(gè)控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖；圖11為該控制下系統(tǒng)的輸出電壓與控制前自由振動(dòng)的輸出電壓的結(jié)果對(duì)比圖。由圖可以看出，在無(wú)控制時(shí)，大約2 s時(shí)系統(tǒng)大致達(dá)到穩(wěn)定；而在自校正PID控制下，大約1 s時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)差不多達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由此可知，驗(yàn)證自校正PID 控制器對(duì)智能懸臂梁振動(dòng)控制是可行和有效的。

圖9 單輸入單輸出自校正PID 控制下控制電壓(輸入1 為0)

圖10 單輸入單輸出自校正PID 控制下控制電壓(輸入2)

圖11 單輸入單輸出自校正PID 控制后與控制前的輸出電壓對(duì)比(輸入1 為0)

圖12 為實(shí)驗(yàn)中兩輸入單輸出雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)在自校正PID 控制下，第一個(gè)控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖；圖13 為系統(tǒng)在自校正PID 控制下，第二個(gè)控制電壓隨時(shí)間變化的結(jié)果圖；圖14為該控制下系統(tǒng)的輸出電壓與控制前的自由振動(dòng)的輸出電壓的結(jié)果對(duì)比圖。由圖可以看出，在無(wú)控制時(shí)，大約3 s時(shí)系統(tǒng)大致達(dá)到穩(wěn)定；而在自校正PID控制下，大約0.5 s 時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)差不多達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，由此可知，自校正PID 控制方法對(duì)雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁的控制效果明顯，能夠大幅度地控制梁的振動(dòng)，在短時(shí)間內(nèi)使其振動(dòng)迅速平穩(wěn)。

圖12 兩輸入單輸出雙驅(qū)動(dòng)度智能懸臂梁系統(tǒng)在自校正PID 控制下的控制電壓(輸入1)

圖13 實(shí)兩輸入單輸出雙驅(qū)動(dòng)度智能懸臂梁系統(tǒng)在自校正PID 控制下的控制電壓(輸入2)

圖14 兩輸入單輸出雙驅(qū)動(dòng)度智能懸臂梁系統(tǒng)在自校正PID 控制后與控制前的輸出電壓對(duì)比

與前兩組單輸入單輸出的智能懸臂梁系統(tǒng)的控制結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以看出，自校正PID 控制對(duì)于兩輸入單輸出的雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)的控制效果更為明顯和有效。

5 結(jié)論

由于多自由度系統(tǒng)的復(fù)雜性影響系統(tǒng)正常工作性能，威脅系統(tǒng)穩(wěn)定性。本文基于雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁建立動(dòng)力學(xué)模型，利用遞推最小二乘法在線辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)PID控制器，采用自校正PID控制方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)兩輸入單輸出的雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁的自由振動(dòng)控制，通過(guò)MATLAB/SIMULINK數(shù)值仿真和搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證，得出自校正PID控制對(duì)兩輸入單輸出的雙驅(qū)動(dòng)智能懸臂梁系統(tǒng)控制更為有效的結(jié)論，為日后智能結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制研究打下基礎(chǔ)。