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    帶并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題研究

    2020-05-18 07:13:30唐紅濤張海濤
    關(guān)鍵詞:處理機(jī)算例遺傳算法

    劉 蓉,周 林,王 朝,唐紅濤,張海濤

    (1.武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,湖北 武漢 430070;2.湖北省數(shù)字制造重點實驗室,湖北 武漢 430070)

    作業(yè)車間調(diào)度問題(job shop scheduling problem, JSP)是先進(jìn)智能制造領(lǐng)域研究中基礎(chǔ)且重要的問題,是對生產(chǎn)過程進(jìn)行作業(yè)計劃和協(xié)調(diào)。先進(jìn)的調(diào)度方法能為企業(yè)提高生產(chǎn)效益,其主要任務(wù)是在特定的約束下,確定工件的加工順序和加工設(shè)備,以保證所選定的生產(chǎn)目標(biāo)最優(yōu)。柔性作業(yè)車間調(diào)度(flexible job shop scheduling problem ,FJSP)作為JSP的拓展,增加了加工機(jī)器選擇的柔性,每個機(jī)臺在每個時刻最多只能加工一個工件。在帶有并行批處理的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題中,約束更為復(fù)雜,求解更為困難。在該問題中,每個單處理機(jī)在每個時刻最多只能加工一個工件,但每個并行批處理機(jī)允許同時加工多個工件且同一批次的工件加工時間相同[1]。在工程上,帶有并行批處理的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題多存在于半導(dǎo)體企業(yè)及傳統(tǒng)鑄造企業(yè),因此針對該問題尋求有效的調(diào)度機(jī)制和求解方案具有重要的應(yīng)用價值。

    柔性作業(yè)車間調(diào)度屬于NP-Hard問題[2],在汽車裝配、紡織、化工材料加工及半導(dǎo)體制造等方面得到了廣泛的應(yīng)用[3]。啟發(fā)式算法具有算法簡單、通用性強(qiáng)、求解效率高等優(yōu)點,被廣泛應(yīng)用于求解車間作業(yè)調(diào)度問題,如遺傳算法(GA)[4]、粒子群優(yōu)化算法(PSO)[5]、人工蜂群算法(ABC)[6]、灰狼算法(GWO)[7]等。對于柔性作業(yè)車間調(diào)度問題的研究出現(xiàn)了大量的研究成果,如在優(yōu)化算法研究方面,ZHANG等[8]提出了一種有效的遺傳算法來解決FJSP問題,能有效減少完工時間;XU等[9]設(shè)計了一種有效的教與學(xué)優(yōu)化算法(TIBO),并驗證了其求解FJSP問題的優(yōu)越性。在FJSP應(yīng)用模型研究方面,SHEN等[10]考慮了帶順序相關(guān)調(diào)整時間的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題;雷德明[11]研究了低碳策略下的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題; ANDRADE-PINEDA等[12]考慮了雙資源約束情況下的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題。

    對于在FJSP基礎(chǔ)上引入批處理機(jī)的研究相對較少,如LI等[13]針對多臺單處理機(jī)和一臺批處理機(jī)的調(diào)度問題,提出了一種組合蟻群優(yōu)化算法來求解該問題。HAM[14]以半導(dǎo)體行業(yè)為生產(chǎn)背景,提出帶有并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題,考慮了兼容的工件簇及工件間具有不同優(yōu)先級的情況。LIAO等[15]研究了單機(jī)與并行機(jī)的集成并行分批調(diào)度問題,并根據(jù)優(yōu)化的結(jié)構(gòu)特性和分批規(guī)則,提出了一種新的帶有變鄰域搜索的人工免疫系統(tǒng)算法(AIS-VNS)。由于多臺并行批處理機(jī)和單處理機(jī)對工件進(jìn)行反復(fù)訪問,增加了問題求解的難度,故針對該類問題的相關(guān)研究較少。因此筆者針對帶有并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題,構(gòu)建了混合整數(shù)數(shù)學(xué)模型,設(shè)計了基于改進(jìn)遺傳算法的求解方法。在算法中,設(shè)計了分塊式集成解碼方法,在一次解碼中解決工序排序、機(jī)器配置和工件組批3個子問題?;诰垲惖倪x擇算法保證了種群的多樣性,基于關(guān)鍵路徑的局部搜索算子能有效改善算法的局部搜索能力。最后,通過仿真實驗來驗證所提算法解決此類問題的可行性和有效性。

    1 問題描述及模型構(gòu)建

    1.1 問題描述

    原始的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題(FJSP)可描述為n個工件(J1,J2,…,Jn)在m個加工資源(M1,M2,…,Mm)上加工,每個工件的加工工序都是確定的且不盡相同,每道工序可選擇多個加工資源。每個加工資源都是單處理機(jī),即每個加工資源在同一時刻只能加工一個工件。研究的目的是確定每道工序的加工資源、加工順序及加工開始時間來使得整個調(diào)度系統(tǒng)的優(yōu)化指標(biāo)達(dá)到最優(yōu),故該組合優(yōu)化問題可以分為兩個子問題:①加工機(jī)器配置子問題,即確定每道工序在哪個加工機(jī)器上加工;②工件的工序排序子問題,即對分配好加工機(jī)器的工序進(jìn)行排序。

    在汽車模具鑄造生產(chǎn)過程中,部分機(jī)器具有并行批處理的加工能力,其他則屬于柔性作業(yè)車間中的單處理機(jī)范疇。汽車模具鑄造生產(chǎn)調(diào)度問題可描述為帶有并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題,耦合了柔性作業(yè)車間的復(fù)雜性和并行批處理機(jī)的加工特點。在該問題中,部分單處理機(jī)被并行批處理機(jī)替代,即加工資源能同時加工多個工件,且加工的開始時間和結(jié)束時間相同。在并行批處理機(jī)加工時,屬于該批所有工件的加工時間與該批的工件數(shù)量和噸位有關(guān)(加工時間不定)。此外,每個并行批處理機(jī)的加工能力有限,每批工件的尺寸不盡相同,且不能超過并行批處理機(jī)的加工能力(考慮差異工件尺寸)。在實際生產(chǎn)過程中,考慮到加工工藝約束,單處理機(jī)和批處理機(jī)有著不重疊性,即某個工件的工序的多個可選資源集中不會同時存在單處理機(jī)和批處理機(jī),且可選集合中所有機(jī)器的加工能力相同。因此,該組合優(yōu)化問題的劃分可在原始兩個子問題中增加一個子問題:并行批處理機(jī)的批次計劃,即工件組批。

    1.2 模型構(gòu)建

    (1)基本假設(shè)條件。①同一工件的同一工序在同一時刻只能被一臺機(jī)器加工;②單處理機(jī)和批處理機(jī)有著不重疊性;③每道工序一旦開始就不能被中斷;④不同工件的工序之間沒有先后次序約束,同一工件的工序之間有先后次序約束;⑤所有工件在零時刻都可以被加工;⑥不同工件之間具有相同的優(yōu)先級。

    (2)模型參數(shù)說明。Ji表示第i個工件,i=1,2,…,n;Mk表示第k個機(jī)器,k=1,2,…,m;Wi表示第i個工件的重量;Oij表示第i個工件的第j道工序,j=1,2,…,Ni;Mij表示第i個工件的第j道工序的可選機(jī)器集;Sij表示工序Oij的加工開始時間;Cij表示工序Oij的完工時間;Bp表示并行批處理機(jī)p的加工批次集合,p表示該機(jī)器是并行批處理機(jī);Cp表示并行批處理機(jī)p的加工能力;Tbp表示批處理機(jī)p的第b次任務(wù)的加工時間,b表示批次任務(wù);Pijk表示工序Oij在單處理機(jī)k上的加工時間。

    決策變量:Xijk=1表示工序Oij選擇機(jī)器k,否則Xijk=0;Yij=1表示工序Oij可選機(jī)器集中有并行批處理機(jī),否則Yij=0;Zij=1表示工序Oij可選機(jī)器集中有單處理機(jī),否則Zij=0;Tijpb=1表示工序Oij在并行批處理機(jī)p的第b批中加工,否則Tijpb=0;Bibp=1表示并行批處理機(jī)p的第b批次任務(wù)中包含工件i,否則Bibp=0。

    (3)數(shù)學(xué)模型。

    (1)

    s.t.

    Sij+Xijk×Pijk≤Cij,?i,j,k∈Mij

    (2)

    Cij≤Si(j+1),?i,j

    (3)

    (4)

    (5)

    Yij+Zij=1,?i,j

    (6)

    (7)

    (8)

    式(1)為該問題的優(yōu)化目標(biāo),表示最小化最大完工時間;式(2)和式(3)表示工件工序加工有先后次序的約束;式(4)表示同一工件的同一工序在同一時刻只能被一臺機(jī)器加工;式(5)表示如果工序Oij的可選機(jī)器集為并行批處機(jī),則該工序能且只能被分配到一個批次b中;式(6)表示單處理機(jī)和批處理機(jī)的不重疊性;式(7)表示并行批處理機(jī)的加工時間與該批次的任務(wù)重量有關(guān),f表示兩者之間具有線性關(guān)系;式(8)表示每一批內(nèi)各任務(wù)重量之和小于并行批處理機(jī)的加工能力。

    2 改進(jìn)遺傳算法求解調(diào)度模型

    帶并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度屬于NP-hard問題,可行解的數(shù)量隨著調(diào)度規(guī)模呈現(xiàn)指數(shù)級增加?;旌险麛?shù)規(guī)劃[16]、拉格朗日松弛法[17]等一些精確方法雖然能在小規(guī)模問題中找到最優(yōu)解,但是計算量大,耗時多,在求解大規(guī)模時受到限制。啟發(fā)式算法雖然在求解上穩(wěn)健性不足,但是其求解速度快,易于實現(xiàn),計算復(fù)雜度低,也能得到滿意解,故啟發(fā)式算法在求解車間調(diào)度問題上得到了廣泛的應(yīng)用。遺傳算法借用生物遺傳特性,通過選擇、交叉和變異等操作機(jī)制模擬生物在自然環(huán)境的遺傳和進(jìn)化過程,進(jìn)而形成了自適應(yīng)全局優(yōu)化算法,具有較好的尋優(yōu)能力和魯棒性,被廣泛應(yīng)用于求解NP-hard問題,在車間調(diào)度方面的應(yīng)用也十分廣泛。為了進(jìn)一步改進(jìn)遺傳算法的全局尋優(yōu)能力,筆者設(shè)計一種基于聚類進(jìn)化的群體搜索策略來增加種群的多樣性。針對遺傳算法存在的局部尋優(yōu)能力差和“早熟”等缺陷,設(shè)計了基于關(guān)鍵路徑的局部搜索算子來改善遺傳算法的局部能力,可有效平衡遺傳算法的全局探索能力和局部搜索能力。

    2.1 編碼和解碼

    染色體的編碼與解碼是解決調(diào)度問題的關(guān)鍵,編碼就是將調(diào)度問題復(fù)雜的解空間用一種編碼方式來表示,從而將調(diào)度問題的解空間映射到染色體的編碼空間。解碼并不是編碼的反操作,而是將粒子編碼中摻雜著調(diào)度模型的各種約束和調(diào)度信息與優(yōu)化指標(biāo)聯(lián)系起來。

    筆者采用基于機(jī)器和工序的分段編碼方式,采用工序排序部分(OS)和機(jī)器選擇部分(MS)來表示一個可行的調(diào)度方案。工序排序部分粒子長度為該次調(diào)度任務(wù)工序總數(shù),對于第j次出現(xiàn)的工件號,就表示該工件的第j道工序;機(jī)器選擇部分長度和工序排序部分一樣,且順序一一對應(yīng),每個機(jī)器碼意味著該工序可選機(jī)器集的順序號(非機(jī)器號),這樣就保證了種群可行解的產(chǎn)生。

    分段編碼能有效整合和解決工序排序和資源選擇問題,但是不能直接反映并行批處理機(jī)的加工批次計劃。因此,筆者設(shè)計了分塊式集成解碼規(guī)則來解決單處理機(jī)的工序排序和機(jī)器選擇問題,以及并行批處理機(jī)的工件組批問題,從而在一次解碼中得到混合活動調(diào)度方案。

    為了更清晰地描述解碼過程,給出一個帶有并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度算例,如表1所示。該案例中有2個工件,每個工件有5道工序。其中“—”表示該工序不可在該機(jī)器上加工,TBD表示加工時間不確定,與該批次的加工任務(wù)有關(guān)。該算例的一個可行解為:OS=[1,1,2,1,1,2,1,2,2,2],MS=[1,1,3,2,1,1,1,2,1,2]。

    表1 帶有并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度算例

    根據(jù)各個工件中工序是否屬于批處理工序,可以將所有工序劃分批處理工序塊和單處理工序塊。由表1可知,O12、O15、O22和O24是批處理工序,且O12和O22為同一道批處理工序,即有著相同可選加工機(jī)器集。同理,O15和O24也是同一道批處理工序。以這些批處理工序為分界線,可以將整個工序劃分為工序塊,如圖1所示,該工序共劃分為3個單處理塊和2個批處理塊,共5個工序塊。根據(jù)各個工序塊中工序與可行解的對應(yīng)關(guān)系,將各個塊的基因取出,按照對應(yīng)的規(guī)則解碼,可得到可行的活動調(diào)度方案。

    圖1 工序分塊圖

    塊2為批處理塊,需要對該塊的工序進(jìn)行構(gòu)建批量計劃,其前驅(qū)工序塊1驅(qū)動塊2產(chǎn)生調(diào)度方案。前驅(qū)工序塊的各個工件完工時間不一致,其不同完工時間對于批處理塊2來說可被視為工件動態(tài)到達(dá)時間約束,又考慮到每個并行批處理機(jī)的加工能力有限(差異工件尺寸約束),則批處理塊可被視為考慮差異工件尺寸和動態(tài)到達(dá)時間的分批問題。為解決該分批問題,采用基于時間排序的任務(wù)補(bǔ)充分批規(guī)則,即對于每個批處理塊的工序,將其前驅(qū)工序進(jìn)行完工時間升序排序,依次并成一批,直到總重量超出并行批處理機(jī)的加工能力。對于批處理工序的機(jī)器選擇問題,采用就近原則,即選擇最快能有空閑時間機(jī)器,若有多臺則隨機(jī)選擇一臺。每個批次的加工開始時間為該批次所有任務(wù)的前驅(qū)工序最大完工時間,加工時間與每個批次的總重量呈正相關(guān)關(guān)系,即總重量越重加工時間越久。

    塊2中包含了工序O12和O22,前驅(qū)工序塊的完工時間為[4,5],可選機(jī)器集為M4。為了方便分批,假設(shè)工件1和工件2的總重量不超過該機(jī)器的加工能力,加工時間固定為6。對該塊進(jìn)行分批,O12的前驅(qū)工序完工時間(4)較早先分入該批次,隨后因滿足機(jī)器的加工能力O22也會被劃分到該批次,則O12和O22被劃分為同一批次。此外,該批次的加工開始時間為前驅(qū)工序塊的完工時間[4,5]中的最大值5。則塊2的調(diào)度方案可描述為:O12和O22被劃分為同一批次被并行批處理機(jī)M4在時刻5加工,其加工時間為6,完工時間矩陣為[11,11]。其他工序塊可以按照對應(yīng)的解碼方式得到各自的調(diào)度方案,最終的調(diào)度甘特圖如圖2所示。

    圖2 調(diào)度算例的甘特圖

    2.2 選擇算子

    目前,遺傳算法的選擇算子主要有輪盤賭、隨機(jī)競爭、隨機(jī)聯(lián)賽等方式。筆者為了拓寬種群的多樣性,并避免基因特征相似的基因進(jìn)行交叉造成冗余信息的傳遞,設(shè)計了一種聚類的選擇方式。令聚類中心個數(shù)為K,具體選擇操作步驟為:①將種群中個體的適應(yīng)度值按照K-Means算法進(jìn)行聚類分類,得到一個具有K個簇的模型,簇內(nèi)的基因特征相似度較大,簇間的基因特征相似度較?。虎诔プ顑?yōu)基因所在的簇,其他簇內(nèi)隨機(jī)剔除個體,直至剩下的個體為種群的個體總數(shù)。

    2.3 交叉算子

    交叉的目的是將優(yōu)良父代的信息保存下來,產(chǎn)生新的優(yōu)良個體。為了避免相似信息的基因被冗余保存,考慮到簇間基因特征相似度較小,選擇兩個不同簇之間的父代進(jìn)行交叉,這樣就能保證種群基因信息的多樣性。筆者針對工序的排序部分采用的是基于工件的POX交叉;針對機(jī)器選擇部分設(shè)計了一種基于工序的機(jī)器交叉,如圖3所示,具體步驟為:①隨機(jī)生成變動工序集;②將P1中工序排序部分和非變動工序集對應(yīng)的機(jī)器選擇部分復(fù)制放在子代中;③將P2中變動工序集中對應(yīng)的機(jī)器按照P1中的順序依次插入到子代中。

    圖3 基于工序的機(jī)器交叉

    2.4 變異算子

    變異算子主要是為了增強(qiáng)算法的局部搜索能力,防止算法陷入局部最優(yōu)解。針對工序排序部分的基因采用移位變異,即隨機(jī)選擇兩個位置,將這兩個位置的基因與其對應(yīng)的機(jī)器基因一起進(jìn)行位置互換。因為柔性作業(yè)調(diào)度中機(jī)器選擇的柔性和加工時間的不一致,所以針對機(jī)器選擇部分變異時,隨機(jī)選擇一個機(jī)器基因碼,在此工序的機(jī)器集中選擇最小加工時間的機(jī)器。針對工序部分和機(jī)器部分的兩種變異算子,均能保證在變異后產(chǎn)生的是可行解。

    2.5 局部搜索策略

    遺傳算法是一種自適應(yīng)全局優(yōu)化算法,存在局部尋優(yōu)能力差和“早熟”等缺陷。在變異算子的基礎(chǔ)上,為了進(jìn)一步增強(qiáng)算法局部搜索能力,設(shè)計了一種基于關(guān)鍵路徑的局部搜索策略。對于求解作業(yè)車間調(diào)度問題,關(guān)鍵路徑直接影響一個調(diào)度方案的最大完工時間,通過擾動關(guān)鍵路徑上的工序,有可能縮短當(dāng)前種群的最大完工時間。其中,在關(guān)鍵路徑上的工序視為關(guān)鍵工序,同一個機(jī)器上最大序列的連續(xù)關(guān)鍵工序組成關(guān)鍵塊。

    基于關(guān)鍵路徑的局部搜索策略示意圖如圖4所示,虛線框內(nèi)是一個關(guān)鍵塊,針對關(guān)鍵塊變動塊首或者塊尾的相對位置。在一次移動中,若當(dāng)前塊只有兩道關(guān)鍵工序,則不做交換;若超過兩道關(guān)鍵工序,則選擇塊首或者塊尾作為移動源,隨機(jī)選擇與其不相鄰的關(guān)鍵工序作為移動點,將移動源插入移動點之前或者之后,隨后移動源和移動點之間的關(guān)鍵工序依次往前或者往后移動。

    圖4 基于關(guān)鍵路徑的局部搜索策略

    改進(jìn)遺傳算法求解模型的基本流程如圖5所示。隨機(jī)初始化種群,遺傳算法進(jìn)行全局尋優(yōu),得到全局最優(yōu)解作為局部搜索算子的初始解,較好的初始解能有效保證局部搜索的性能,幫助算法跳出局部最優(yōu)解,平衡全局搜索和局部搜索之間的矛盾。

    圖5 改進(jìn)遺傳算法流程圖

    3 仿真分析

    改進(jìn)遺傳算法的運行環(huán)境:Intel Core i5, CPU 2.30 GHz, RAM 4.00 GB, Window 7的64位操作系統(tǒng)和Matlab 2015a。對比算法分別為GA算法、GA+聚類算法、GPSO算法[18],每個算法都有相關(guān)的參數(shù)設(shè)置。GA和GA+聚類兩個算法的參數(shù)一致,GPSO算法的參數(shù)和文獻(xiàn)[18]中的設(shè)置一致。改進(jìn)遺傳算法的參數(shù)設(shè)置為:迭代次數(shù)T=100,種群規(guī)模P=40,交叉概率Pc=0.8,變異概率Pm=0.1。

    由于當(dāng)前并沒有標(biāo)準(zhǔn)測試算例可用來測試帶并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)調(diào)度問題,筆者以Brandimarte算例為基礎(chǔ),擴(kuò)展成適用于帶并行批處理機(jī)的柔性車間調(diào)度問題的測試算例,共生成10個測試算例,如表2所示。以算例1為例,算例規(guī)模為10個工件、6臺單處理機(jī)和1臺并行批處理機(jī),批處理工序為第3道工序,該工序的可選擇加工機(jī)器為M7,加工能力為80 kg,每個工件的重量為29-18-16-5-42-10-35-48-30-20。批處理工序的加工時間和該批的總重量呈正相關(guān),如式(9)所示。前半部分表示與重量呈線性相關(guān),后半部分表示該批每增加一個任務(wù)多花費0.5 h。

    (9)

    采用改進(jìn)遺傳算法和對比算法對10個測試算例進(jìn)行測試,得到的實驗結(jié)果如表3所示。為避免算法結(jié)果的偶然性,每個算例重復(fù)運行20次。為了保證公平性,其他算法的終止條件為改進(jìn)遺傳算法單獨運行一次的時間。Cbest為20次中的最優(yōu)解,Av(C)為平均值,dev表示改進(jìn)遺傳算法的最優(yōu)解C*與4個算法中最優(yōu)解C0的相對誤差,其計算公式如式(10)所示,dev為0表示改進(jìn)遺傳算法得到的結(jié)果最優(yōu)。

    表2 擴(kuò)展后的測試算例

    表3 實驗結(jié)果

    (10)

    由表3可知,改進(jìn)遺傳算法在10個算例中都取得不錯的結(jié)果,獲得了9個算例的最好解,相對誤差都為0,且每個算例在均值的表現(xiàn)都有著明顯的優(yōu)勢,具有較好的穩(wěn)定性。尤其是與GA算法和GA+聚類算法相比,改進(jìn)遺傳算法的優(yōu)勢非常明顯,驗證了改進(jìn)遺傳算法的有效性。MK02_1算例最優(yōu)值隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖6所示,可知改進(jìn)遺傳算法和GA+聚類算法都增加了基于聚類的選擇算子,與傳統(tǒng)GA算相比有著更快的收斂速度,保證了種群的多樣性。同時,改進(jìn)遺傳算法取得的最優(yōu)解得到了明顯改善,驗證了局部搜索的有效性,能幫助算法跳出局部最優(yōu)解。與GPSO算法相比,改進(jìn)遺傳算法在10個工件的MK01和MK02算例中有一定的優(yōu)勢,而在15個工件算例中改進(jìn)遺傳算法解的質(zhì)量明顯優(yōu)過其他算法。

    圖6 MK02_1算例最優(yōu)值隨迭代次數(shù)的變化曲線

    MK01_1算例的調(diào)度甘特圖如圖7所示,可知該批次計劃共有4批,分別為工件{7,9}、{2,6,10}、{1,5}和{3,4,8},均在機(jī)器M7上加工,最小完工時間為37.95 h。

    4 結(jié)論

    針對帶有并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題,以最小化最大完工時間為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。針對問題特點,改進(jìn)了遺傳算法,設(shè)計了一種分塊式集成解碼規(guī)則,引入基于聚類的選擇算子,設(shè)計了基于關(guān)鍵路徑的局部搜索算子。仿真實驗表明:①構(gòu)建的混合整數(shù)模型能有效描述帶有并行批處理機(jī)的柔性作業(yè)車間調(diào)度過程;②改進(jìn)遺傳算法易實現(xiàn),高效率且能得到高質(zhì)量解,能為該類調(diào)度問題提供合理有效的解決方案;③該模型貼近實際生產(chǎn)調(diào)度,求解方法簡便高效,具有較強(qiáng)的實際應(yīng)用價值。

    圖7 MK01_1算例的調(diào)度甘特圖

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