改進的欠定變速跳頻信號盲分離算法

王 淼，蔡曉霞，雷迎科

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院指揮對抗系，安徽 合肥 230037)

0 引言

盲源分離問題最早由法國學(xué)者Jutten和Herault于1985年開始研究，但是他們并沒有解決盲源分離的可解性與可解條件等基本問題；直到1991年他們提出了一種遞歸鏈接型的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，該算法根據(jù)網(wǎng)絡(luò)輸出信號的殘差按梯度下降法則修改網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，尋找最小值，實現(xiàn)盲源分離的目的[1]。自此，盲源分離一直受到眾多領(lǐng)域?qū)＜液蛯W(xué)者的青睞，被廣泛應(yīng)用于數(shù)字通信、機器人導(dǎo)航、生物醫(yī)學(xué)工程、船舶工程、語音處理和圖像處理等領(lǐng)域[2-3]。

目前，解決欠定條件下信號盲源分離問題是信號處理界的重點及難點。大多數(shù)欠定盲源分離問題一般是利用基于“兩步法”的稀疏分量分析(Sparse Component Analysis,SCA)進行求解[4]，該算法的核心在于利用信號的稀疏性結(jié)合聚類算法對接收系統(tǒng)的混合矩陣進行估計，其后利用壓縮重構(gòu)算法恢復(fù)源信號[5]。

近年來，跳頻信號的分離是研究熱點。文獻[6]應(yīng)用單源點檢測法和張量分解法處理同步正交跳頻信號分選問題。文獻[7]則將子空間投影法與單源點檢測法結(jié)合分離欠定跳頻信號。上述算法僅僅針對常規(guī)跳頻信號進行分離且假設(shè)源信號數(shù)目已知，而變速跳頻信號采用 “跳速多變”的策略加大了信號分離的難度；同時，由于變速跳頻信號的時間相關(guān)性被打破，基于參數(shù)估計的信號分離算法不再適用。目前國內(nèi)外文獻少有涉及到變速跳頻信號技術(shù)研究。針對傳統(tǒng)欠定盲源分離算法恢復(fù)精度低的問題，提出了改進的欠定變速跳頻信號盲分離算法。

1 變速跳頻信號分離模型

1.1 信號接收模型

定義由接收系統(tǒng)接收到的信號為觀測信號，通常其來自一組傳感器的輸出，其中每一個傳感器接收到多個原始信號的一組混合，如圖1所示。

圖1 信號接收模型Fig.1 Signal receiving model

在圖1中，N個信號源s1,s2,…,sn(n=1,2,…,N)所發(fā)出的信號被M個傳感器接收后得到輸出觀測信號x1,x2,…,xm(m=1,2,…,M)，到達角度分別為[θ1，θ2，…,θn],欠定混合即代表M

(1)

式(1)中，aij(j=1,2,…，N)為混合系數(shù)，根據(jù)均勻線陣(ULA)特點，其理論值可有由θ得到，ni(t)為第i個傳感器的觀測噪聲，用矢量和矩陣表示為：

(2)

假設(shè)變速跳頻通信系統(tǒng)的頻率合成器可以生成的跳頻頻率數(shù)目為K,同時每一跳擁有不同的跳速,跳速數(shù)目為K,則變速跳頻系統(tǒng)發(fā)射機輸出的單個信號可以表示為：

(3)

式(3)中，跳頻頻率為fk(k=1,2,…,K),跳速為tk(k=1,2,…,K)，a(t)為信號的基帶復(fù)包絡(luò)，φk為信號第k跳的初始相位，gtk(t)為高為1，底邊長度為tk的門函數(shù)，即：

(4)

由于變速跳頻信號時域稀疏性不強，將其轉(zhuǎn)化至?xí)r頻域時可以清晰觀察出數(shù)據(jù)有明顯聚類特性，故論文采用短時傅里葉變換(STFT)得到變速跳頻信號時頻域數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上進行改進混合矩陣估計與源信號恢復(fù)算法研究。

1.2 欠定盲源分離算法模型

對變速跳頻信號進行稀疏化處理，式(2)變?yōu)椋?/p>

X(t,f)=AS(t,f)+N(t,f)

(5)

得到良好稀疏性的觀測信號時頻矩陣X(t,f)。利用稀疏分量，采用基于“兩步法”的欠定分離算法解決變速跳頻信號分選問題，其原理框圖如圖2所示。

圖2 “兩步法”步驟Fig.2 “Two-step” method

1.2.1混合矩陣估計

混合矩陣估計是“兩步法”的核心，又可以分為“時頻單源點檢測+聚類確定中心值”兩步，聚類結(jié)果即為最終混合矩陣估計值。由于聚類算法只能針對實數(shù)進行運算，而觀測信號與混合矩陣皆為復(fù)數(shù)，因此將式(5)取實部和虛部，同時令amn=Rm,n+jIm,n：

Re(Xm(t,f))+jIm(Xm(t,f))=
(Rm,n+jIm,n)[(Re(Sn(t,f)+jIm(Sn(t,f))]+
Nm(t,f)

(6)

實部與虛部對應(yīng)相等：

(7)

令m=1，根據(jù)式(7)已知R1,n=1,I1,n=0，得：

(8)

由于X1(t,f)已知，將Re(Sn(t,f))與Im(Sn(t,f))代入式(8)，得：

(9)

顯然在上式中Xm(t,f)，Nm(t,f)已知，可以求得混合矩陣Rm,n與Im,n，寫成矩陣運算形式得：

(10)

得到實部與虛部估計值之后，因為變速跳頻信號時頻域具有良好的聚類特性，聚類方向代表混合矩陣，所以利用聚類算法對提取出的數(shù)據(jù)對進行聚類，聚類中心即所求混合矩陣估計值。為降低計算量，本論文采用k-均值聚類算法對實部，虛部數(shù)據(jù)進行聚類。

1.2.2源信號恢復(fù)

(11)

經(jīng)過上述步驟，最終得到了原始信號的估計值，重構(gòu)出原始信號。

2 改進算法

2.1 混合矩陣估計

為克服傳統(tǒng)單源點檢測算法對稀疏性要求較高，受噪聲影響較大的缺陷，論文提出一種自適應(yīng)確定噪聲閾值，結(jié)合特征值分解的方法檢測時頻單源點。

首先對時頻矩陣求均值:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式(16)中，β可以認為是特征值閾值，當β趨近于0時，代表該時頻點為單源點。若將β設(shè)置為固定值進行定量分析，則忽略了觀測信號與噪聲之間的聯(lián)系，由于時頻點值是隨著信噪比變化而變化的,本節(jié)引入自適應(yīng)算法確定閾值，尋找β最優(yōu)值。

首先，定義初始噪聲閾值：

T1=(W1+Wk)/2

(17)

式(17)中，W1為所有時頻點中的最小模值，Wk為最大模值。以T1為中心值，將數(shù)據(jù)劃分為兩個時頻支撐域tf1,tf2計算兩個時頻域各自均值代入公式(17)，得到新的閾值Tk：

(18)

重復(fù)上述步驟，直到Tk+1=Tk，終止迭代，最終噪聲閾值β=Tk+1。此時，β可以很好地體現(xiàn)自適應(yīng)信噪比特性，結(jié)合公式(16)進行單源點檢測，可靠性得到提高。

得到混合矩陣所有估計值之后，對數(shù)據(jù)進行聚類，得到混合矩陣第二行元素估計值?；旌暇仃嚬烙嬀垲愃惴ㄒ话悴捎胟-均值聚類，但面臨著需提前得知信號源數(shù)目這一難題，實用性較差。文獻[11]提出利基于密度空間的聚類算法(Density Based Spatial Clustering of Applicarions with Noise,DBSCAN)改善傳統(tǒng)算法弊端，但對于時頻點值隨信噪比變化的變速跳頻信號來說，選擇密度閾值是一個難點，舍棄低于密度閾值的點具有片面性，計算成本高。為解決上述問題，論文利用Rodriguze和Laio提出的快速找到聚類中心的密度峰聚類算法(Denstiy Peaks)[12]完成對未知源信號的混合矩陣估計值的聚類。

密度峰聚類的核心思想是：所有聚類中心被具有低局部密度的近鄰點隔開，并且與具有更高密度的數(shù)據(jù)點之間的距離較大。定義說明，對于每個數(shù)據(jù)點i，計算其局部密度ρi和與密度較高點的距離δi至關(guān)重要。計算式分別為：

ρi=∑jχ(dij-dc)

(19)

式(19)中，dij為數(shù)據(jù)點i和j之間的距離；dc為截斷距離；當x<0時，χ(x)=1，否則χ(x)=0。式(19)意味著算法只對ρi的相關(guān)大小敏感，對于不同數(shù)據(jù)集，實驗結(jié)果對于dc的選擇具有穩(wěn)健性。

計算i與任意比它局部密度較高點之間的最小距離得到δi：

(20)

計算決策數(shù)據(jù)對(ρi，δi)，當一個點兩者值都較大時，就認為該點為一個聚類中心。通過兩個約束量的限制，解決了欠定條件下信號源數(shù)目難以估計的難題。找到聚類中心后，其余剩余點將被分配到與其最近鄰的一類中。至此，完成了對混合矩陣估計值的聚類，快速得到了聚類中心，以便于進行下一步源信號恢復(fù)。

2.2 源信號恢復(fù)

針對OMP算法對非充分稀疏的信號恢復(fù)精度不高的問題，提出基于正則化的自適應(yīng)稀疏度匹配追蹤算法(R-SAMP)解決未知稀疏度情況下的欠定源信號恢復(fù)問題。SAMP算法是一種稀疏度自適應(yīng)的匹配追蹤算法，其核心思想是選取一個初始步長η，假設(shè)η=K進行追蹤算法，若滿足條件，則停止迭代；若不滿足，則令K=K+η，再進行迭代算法。算法步驟簡述如下。

SAMP算法步驟：

步驟1 計算當前殘差值與混合矩陣中列向量的絕對值，將絕對值按從大到小排列，選取前k個數(shù)值對應(yīng)的原子列序號構(gòu)成集合C;

步驟7 進入條件判斷：如果‖rt‖2≥‖rt-1‖2,進入步驟8；如果rt=0，則進入步驟10；如果都不滿足，則進入步驟9；

步驟8 當前稀疏度不滿足條件，更新步長，K=K+η,返回步驟1繼續(xù)進行計算;

步驟9 更新迭代次數(shù)，當t≤M時，停止迭代進入步驟10，否則返回步驟1；

分析上述步驟可以看出，SAMP的算法隨著稀疏度的不同，迭代次數(shù)增加，導(dǎo)致算法復(fù)雜度較高，為了降低算法復(fù)雜度，對SAMP的原子集選擇進行改進。原始的算法對于原子的選擇準則與OMP一樣，每次選擇與觀測信號相關(guān)性最大的一個列向量，而采用正則化手段，使得每次選擇的符合條件的原子數(shù)是與觀測信號相關(guān)性最大的D個，再從D個原子中選擇符合正則化標準的原子。正則化標準簡而言之就是選擇各列向量與殘差內(nèi)積絕對值的最大值不能比最小值大兩倍以上且能量最大的一組。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

3.1 算法性能評價指標

1) 歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error, NMSE)

歸一化均方誤差衡量來衡量混合矩陣估計精度：

(19)

2) 相似系數(shù)

相似系數(shù)衡量恢復(fù)信號與源信號相似度：

(20)

當相似系數(shù)值越接近1時，估計信號與源信號之間相似度越大，反之，兩信號相似度小。

3.2 實驗驗證

仿真實驗中設(shè)定空間中存在5個異步變速跳頻信號，用天線數(shù)目為M=3的均勻線陣進行接收，信號采樣率為200 MHz，信號頻率在30～87.985 MHz之間隨機跳變，每個信號到達接收天線的角度為[5，31，55，66，87] °，跳速在1/300 hop/s的基準上增加或減少；同時為增加信號稀疏性與時頻分辨率，對信號進行STFT變化，設(shè)置漢明窗長度為8 192點由于k-means算法需已知信號源數(shù)目，而本論文實驗對比的是改進算法的性能，所以假設(shè)已知信號源數(shù)目為5。

實驗一 估計混合矩陣

利用所提改進算法，在信噪比SNR=10 dB，M=3情況下，進行混合矩陣估計。首先，根據(jù)均勻線陣接收特點，得到混合矩陣的理論值：

(21)

算法得到的估計值：

(22)

計算真實矩陣與估計矩陣的歸一化均方誤差值為：NMSE=-64.5668 dB。分析結(jié)果可知，在10 dB信噪比情況下，論文算法的歸一化均方誤差可以達到約-64 dB，估計精度較高。

實驗二 驗證算法性能

為了驗證各個改進算法性能，在實驗條件不變的基礎(chǔ)上，分別從信噪比固定(10 dB)與信噪比變化的角度入手，針對混合矩陣第二行元素，對傳統(tǒng)單源點檢測+k-means算法，自適應(yīng)噪聲閾值特征值分解+k-means算法，傳統(tǒng)單源點檢測+密度聚類算法以及算法進行蒙特卡洛仿真。表1為各算法的歸一化均方誤差與計算時間。

表1 各算法性能指標對比(SNR=10 dB)

從表1可以得知，采用自適應(yīng)噪聲閾值特征值分解算法比傳統(tǒng)單源點檢測算法精度提高了約2 dB；同時采用密度聚類算法替代k-means算法，估計精度有所提高；而算法雖然在時間上較其他算法耗時較長，但在估計精度上對比其他三種算法提高了將近3倍，可以更好地有利于源信號恢復(fù)。

圖3為SNR=-2～10 dB，歸一化均方誤差變化曲線?？梢钥闯觯谛旁氡取?2 dB時，自適應(yīng)噪聲閾值特征值分解比傳統(tǒng)單源點檢測算法檢測誤差較小，同時，密度聚類算法可以達到比均值聚類算法更低的歸一化均方誤差，故自適應(yīng)噪聲閾值特征值分解與密度聚類算法的結(jié)合使用可以在稍微犧牲運行時間的基礎(chǔ)上達到最低的歸一化均方誤差，比其余算法性能優(yōu)良2～3倍；同時，k-means算法在信噪比較大時，初始化聚類中心值較為準確，會發(fā)生一定的歸一化誤差驟降，但是在合理范圍之類；綜合上述實驗分析，可以得到在所取范圍內(nèi)，密度聚類算法具有最優(yōu)性能。

圖3 四種算法性能指標變化率Fig.3 Change rate of performance inden of four algorithms

實驗三 源信號恢復(fù)

在異步組網(wǎng)情況下，在實驗一的基礎(chǔ)上，采用R-SAMP算法對三通道混合信號進行源信號恢復(fù)，信號在時頻域的分離過程及結(jié)果如圖4所示。

圖4 信號混合與恢復(fù)Fig.4 Signal mixinag and recovery

觀察圖4(b)，可以明顯看到噪聲對信號的影響程度，而由圖4(c)可以得知在實驗1的基礎(chǔ)上，算法可以在含有噪聲的欠定混合系統(tǒng)中較為準確地恢復(fù)源信號，精確度較高，并且由于信息是承載在信號波形上的，因此幅度與排列次序的不確定性不會影響信息恢復(fù)。

接著，利用相似系數(shù)分析恢復(fù)信號與源信號之間的相似程度，進行信噪比為-2～10 dB條件下各個恢復(fù)信號與源信號的相似系數(shù)計算，得到結(jié)果如圖5所示。

圖5 各恢復(fù)信號與源信號相似系數(shù)Fig.5 Similarity coefficient between each recovered signal and source signal

對比圖5中各恢復(fù)信號與源信號的相似系數(shù)，越接近1代表與對應(yīng)信號越相似，因此可以得到恢復(fù)信號的順序依次是源信號2→源信號4→源信號1→源信號3→源信號5。觀察曲線圖，在較低信噪比時，算法可以保證至多有一個信號與其余信號的相似度相差50%左右；而在信道環(huán)境較好時，各個信號相似系數(shù)可以高達90%左右，證明改進算法有較高的精確度，分離性能良好。

4 結(jié)論

論文提出了改進的欠定變速跳頻信號盲分離算法，該算法通過對混合矩陣估計與源信號恢復(fù)進行改進，在一定程度上提高了對變速跳頻信號盲分離的精確程度。仿真實驗結(jié)果表明，在相同條件下，混合矩陣估計誤差較傳統(tǒng)算法低約三倍，尤其在低信噪比的情形下，算法依然有較好性能；源信號與恢復(fù)信號之間的相似系數(shù)在信噪比條件良好時，在信道條件良好時，可以達到90%以上的相似度，證明改進算法可行有效。