二維H(div)和H(curl)空間到其跡空間的離散的擬范數(shù)等價(jià)定理

霍志鑫，王 猛，王園園，孔德志

(河北水利電力學(xué)院基礎(chǔ)部，河北省滄州市重慶路1號(hào) 061001)

1 引入

劉勇翔等在文獻(xiàn)[1]中的引理3.1中給出了H1(Ω)中離散的調(diào)和延拓定理，以及到其跡空間H1/2(?Ω)離散的擬范數(shù)等價(jià)定理。Barbara I. Wohlmuth等在文獻(xiàn)[2]引理4.3中給出了從Q0,h(Ω)空間到RTh(Ωi)空間的具有零散度的延拓定理。文中在此基礎(chǔ)上利用類(lèi)似的證明方法給出了相應(yīng)跡空間H-1/2(?Ω)到二維H(div;Ω)和H(curl;Ω)空間的離散的調(diào)和延拓定理證明，從而得到了二維H(div;Ω)和H(curl;Ω)空間到相應(yīng)跡空間H-1/2(?Ω)的離散的擬范數(shù)等價(jià)定理。這在理論分析和數(shù)值計(jì)算方法的設(shè)計(jì)中有很重要的作用。

文中，第二部分給出了二維H(div;Ω)空間到其跡空間H-1/2(?Ω)的離散的擬范數(shù)等價(jià)定理，第三部分給出了二維H(curl;Ω)空間到其跡空間H-1/2(?Ω)的離散的擬范數(shù)等價(jià)定理，第四部分給出了該定理在數(shù)值上應(yīng)用的例子。

2 二維H(div;Ω)空間到其跡空間H-1/2(?Ω)的離散的擬范數(shù)等價(jià)定理

首先，引入如相關(guān)記號(hào)。

(1)相關(guān)的連續(xù)空間及有限元空間

記

VΩ∶=H(div;Ω),VΩ,0∶=H0(div;Ω),

V?Ω∶=H-1/2(Ω)

空間，H(div;Ω)∶=

(2)相關(guān)的能量模與圖模

雙線性型

雙線性型

顯然，能量模‖·‖a與圖?！ぁ琩iv等價(jià)。

(3)相關(guān)的離散調(diào)和延拓

(4)相關(guān)的跡空間

任給一個(gè)向量u∈H(div;Ω)，可以定義其邊界?Ω上的法向成分u·n，有如下引理(見(jiàn)文獻(xiàn)[4]第一章的定理2.5)。

γn(Rnφ)=φ，?φ∈H-1/2(?Ω)

而且下面的格林公式成立，對(duì)于?u∈H(div;Ω)，?q∈H1(Ω)，有

這里等號(hào)右邊這一項(xiàng)的積分可以理解為H-1/2(?Ω)和H1/2(?Ω)之間的對(duì)偶，稱(chēng)H-1/2(?Ω)為H(div;Ω)的跡空間。

根據(jù)上述引理2.1中算子γn∶H(div;Ω)→H-1/2(?Ω)的連續(xù)性，可得到如下離散的跡定理。

定理2.2 對(duì)于離散調(diào)和延拓Eh，有

其中，常數(shù)C與Ω的直徑無(wú)關(guān)。

反之，可以得到如下離散的調(diào)和延拓定理。

定理2.3 存在與Ω直徑無(wú)關(guān)的常數(shù)C，使得

證明:下面的證明類(lèi)似于文獻(xiàn)[3]的引理10.19和文獻(xiàn)[2]的引理4.3。首先，對(duì)具有單位直徑的結(jié)T證明相應(yīng)的結(jié)論。考慮如下的Neumann問(wèn)題:

(1)

這里|f|是面f的面積。

由于divv=φ，從而有

=Cadiv(ρhu,ρhu)

這里εT嚴(yán)格正定并且依賴(lài)于T。

(2)

(3)

這里，利用式(2)以及逆不等式，得到

利用文獻(xiàn)[3]中的引理B.20，得到

這里，∏h是在每一個(gè)面t∈T上到常函數(shù)空間L2的投影，并且

并且

≤Cht‖u‖1;t

那么

‖P‖H0(t)→H0(t)≤2;‖P‖H1(t)→H0(t)≤Cht

利用差值理論，有

即

從而，應(yīng)用逆定理及式(3)，得到對(duì)于s<εT，有

所以

(4)

現(xiàn)在考慮直徑為H的子結(jié)構(gòu)Ω,利用對(duì)于具有單位直徑的子結(jié)構(gòu)T的結(jié)論式(4)，使用尺度伸縮技巧，得到以下結(jié)論:

其中，常數(shù)C與Ω的直徑無(wú)關(guān)。

結(jié)合定理2.2和定理2.3，可得到跡空間H-1/2(?Ω)到二維H(div;Ω)空間的擬范數(shù)等價(jià)定理。

定理2.4 存在與Ω的直徑無(wú)關(guān)的常數(shù)C1，C2，使得

3 二維H(curl;Ω)空間到其跡空間H-1/2(?Ω)的離散的擬范數(shù)等價(jià)定理

首先，引入相關(guān)記號(hào)。

(1)相關(guān)的連續(xù)空間及有限元空間

記

VΩ∶=H(curl;Ω),VΩ,0∶=H0(curl;Ω),

V?Ω∶=H-1/2(Ω);

(2)相關(guān)的能量模和圖模

雙線性型

雙線性型

顯然，能量?！ぁ琣與圖模‖·‖curl等價(jià)。

(3)相關(guān)的離散調(diào)和延拓

(4)相關(guān)的跡空間

任給一個(gè)向量u∈H(curl;Ω)，可以定義其邊界?Ω上的切向成分u·t，有如下引理(見(jiàn)文獻(xiàn)[4]第一章的定理2.11)。

→H(curl;Ω)使得

γt(Rt∶φ)=φ，?φ∈H-1/2(?Ω)

并且下面的格林公式成立。對(duì)于?u∈H(curl;Ω)和?q∈H1(Ω)，有

稱(chēng)H-1/2(?Ω)為H(curl;Ω)的跡空間。

根據(jù)上述引理3.1中γt∶H(curl;Ω)→H-1/2(?Ω)的連續(xù)性，可得如下的離散的跡定理。

定理3.2 對(duì)于離散調(diào)和延拓Eh，有

其中，常數(shù)C與Ω的直徑無(wú)關(guān)。

如下引理見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中的引理A.20。

引理3.3 向量u=(u1,u2)屬于H(curl;Ω)，當(dāng)且僅當(dāng)該向量屬于H(div;Ω)。另外，

v·n=-u·t

根據(jù)上述引理3.3，如果Ω屬于二維空間，則H(curl;Ω)空間中的向量與H(div;Ω)空間中的向量形成了一一對(duì)應(yīng)，從而在H(div;Ω)空間中成立的結(jié)論，在H(curl;Ω)空間中同樣成立，故結(jié)合定理2.3知，如下離散的調(diào)和延拓定理成立。

定理3.4 存在與Ω的直徑無(wú)關(guān)的常數(shù)C，使得

結(jié)合定理3.2和定理3.4，得如下跡空間H-1/2(?Ω)到二維空間H(curl;Ω)的擬范數(shù)等價(jià)定理。

定理3.5 存在與Ω的直徑無(wú)關(guān)的常數(shù)C1，C2，使得

4 數(shù)值應(yīng)用的例子

文中給出的定理在分析二維H(div;Ω)和H(curl;Ω)空間中具有Robin-Robin邊界條件的最優(yōu)的區(qū)域分解算法中，在理論上起到了關(guān)鍵性的作用[6]。該算法經(jīng)過(guò)理論分析，得出預(yù)處理后的系數(shù)矩陣的條件數(shù)與網(wǎng)格的細(xì)度h無(wú)關(guān)，也就是收斂速度與網(wǎng)格的細(xì)度h無(wú)關(guān)，從而該算法就是最優(yōu)的。如下給出了H(curl;Ω)空間中該算法的數(shù)值結(jié)果，H(div;Ω)空間中該算法的數(shù)值結(jié)果類(lèi)似。

考慮下面的問(wèn)題

(1)γ1=h,γ2=100時(shí)，迭代計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1、表2和圖1。

表1 迭代時(shí)間(γ1=h,γ2=100)

表2 迭代數(shù)(γ1=h,γ2=100)

圖1 迭代時(shí)間與迭代數(shù)(γ1=h,γ2=100)

(2)γ1=2h,γ2=100時(shí)，迭代計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3、表4和圖2。

表3 迭代時(shí)間(γ1=2h,γ2=100)

表4 迭代數(shù)(γ1=2h,γ2=100)

圖2 迭代時(shí)間與迭代數(shù)(γ1=2h,γ2=100)

(3)γ1=h,γ2=50時(shí)，迭代計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5、表6和圖3。

表5 迭代時(shí)間(γ1=h,γ2=50)

表6 迭代數(shù)(γ1=h,γ2=50)

圖3 迭代時(shí)間與迭代數(shù)(γ1=h,γ2=50)

(4)γ1=h,γ2=50時(shí)，迭代計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7、表8和圖4。

表7 迭代時(shí)間(γ1=2h,γ2=50)

表8 迭代數(shù)(γ1=2h,γ2=50)

圖4 迭代時(shí)間與迭代數(shù)(γ1=2h,γ2=50)