多種擬合函數(shù)在繞組溫升試驗(yàn)中的適用性分析

周全，謝肖，王婷婷，張曉楠

（1.上海市質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)技術(shù)研究院，上海 201114；2.中檢集團(tuán)理化檢測(cè)有限公司，上海 200072）

引言

通常在電氣產(chǎn)品的安全標(biāo)準(zhǔn)中，涉及繞組溫升的試驗(yàn)時(shí)，均要求采用電阻法來進(jìn)行測(cè)量。這是因?yàn)樵诶@組中難以布置熱電偶，而且熱電偶的測(cè)量區(qū)域很小，不能很好地反應(yīng)整個(gè)繞組的溫升情況。電阻法測(cè)量溫升的原理是，根據(jù)金屬電阻隨溫度發(fā)生變化的現(xiàn)象，利用物理原理和數(shù)學(xué)工具，采用測(cè)量電阻的方法來間接推算繞組的溫度變化。

實(shí)踐中，繞組初態(tài)（冷態(tài)）電阻值的測(cè)量較為方便，但是其終態(tài)（熱態(tài)）電阻按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)采用曲線擬合后外插值的方法來進(jìn)行確定。即在斷開電源后和其后幾個(gè)短的時(shí)間間隔，盡可能快地進(jìn)行若干次電阻測(cè)量，從而繪制出電阻對(duì)時(shí)間變化的曲線，再用其確定電源斷開瞬間的電阻值[1]。所以，通過對(duì)實(shí)測(cè)獲得的電阻值數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，正確計(jì)算繞組在斷電瞬間的終態(tài)電阻值，即零時(shí)刻電阻值，是影響繞組溫升試驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確性的關(guān)鍵性因素[2]。

1 對(duì)擬合曲線函數(shù)的基本要求

選擇合適的擬合曲線基函數(shù)，將直接影響擬合效果，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生極大的影響。然而，目前并沒有相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)此予以約束，也缺乏具有針對(duì)性的方法解釋，試驗(yàn)人員可以自由選擇諸如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、線性或非線性多項(xiàng)式函數(shù)等進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，因此造成計(jì)算結(jié)果缺乏說服力，試驗(yàn)數(shù)據(jù)難以獲得公認(rèn)。

從數(shù)學(xué)角度看，繞組溫升試驗(yàn)中的曲線擬合，不同于完全抽象的范疇，是一種基于理論模型的曲線擬合。即，所獲得的曲線函數(shù)f(x)應(yīng)該建立在非穩(wěn)態(tài)散熱條件下的繞組電阻變化的數(shù)學(xué)模型之上，其基本特征應(yīng)盡可能滿足兩個(gè)特殊要求。

1）因?yàn)槔@組溫度及其下降速率會(huì)隨時(shí)間推移逐漸降低，相應(yīng)的電阻值及其下降速率也會(huì)隨之減小，所以函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x→0+附近應(yīng)該是連續(xù)的單調(diào)遞減函數(shù)。

2）因?yàn)榻饘匐娮枧c溫度的關(guān)系方程（R=R0（1+αT））中包含一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，所以函數(shù)值f(0)應(yīng)存在，其對(duì)應(yīng)了繞組的終態(tài)電阻值。還因?yàn)榻饘匐娮枧c溫度的線性關(guān)系，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)在數(shù)學(xué)形式上宜與原函數(shù)f(x)保持一致。

除此以外，因?yàn)樵谠囼?yàn)中越先測(cè)得的數(shù)據(jù)，越能體現(xiàn)繞組在斷開電源瞬間的實(shí)際情況，所以函數(shù)f(x)在計(jì)算時(shí)可以按數(shù)據(jù)獲得的時(shí)間順序進(jìn)行加權(quán)處理。還因?yàn)闇y(cè)量值與真實(shí)值之間存在誤差，所以函數(shù)f(x)的圖像可以不經(jīng)過任意的數(shù)據(jù)點(diǎn)。當(dāng)然，擬合曲線在形態(tài)上必須與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況相符合，這也是對(duì)所有函數(shù)逼近和曲線擬合方法的基本要求。

2 對(duì)選擇擬合曲線基函數(shù)的理論探討

選擇擬合函數(shù)時(shí)，首先應(yīng)觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布形態(tài)，其次還應(yīng)兼顧所得函數(shù)的合理性與可解釋性。繞組由于發(fā)熱和散熱條件復(fù)雜，其內(nèi)部存在一個(gè)復(fù)雜的溫度場(chǎng)[3]，故而就繞組溫升試驗(yàn)而言，曲線擬合的基函數(shù)可選擇的類型很多，包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)以及其他復(fù)合函數(shù)等。

1）對(duì)數(shù)函數(shù)

當(dāng)選擇選擇對(duì)數(shù)函數(shù)作為擬合的基函數(shù)時(shí)，在數(shù)學(xué)上只需使用式（1）的形式即可，但是該函數(shù)在f(0)處沒有定義，無法直接求出所需要的繞組電阻值，所以需要將其改寫成如式（2）的形式后，才能用于對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合計(jì)算，其導(dǎo)函數(shù)如式（3）所示。

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不再具有對(duì)數(shù)形式，在理論上就違背了金屬電阻值與溫度變化的線性關(guān)系，所以，在做小型繞組的溫升試驗(yàn)時(shí)，不宜采用對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。只有當(dāng)測(cè)量大型繞組時(shí)，出現(xiàn)了溫度場(chǎng)分布不均勻?qū)е码娮柚蹬c溫度不在滿足線性關(guān)系時(shí)，才可以采用對(duì)數(shù)函數(shù)擬合計(jì)算。

2）指數(shù)函數(shù)

當(dāng)選擇指數(shù)函數(shù)作為擬合的基函數(shù)時(shí)，可以自行確定指數(shù)的底，相應(yīng)的原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)為：

但習(xí)慣上往往使用自然指數(shù)e，相應(yīng)的原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)為：

指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，符合電阻與溫度變化的實(shí)際情況，所以這種方法可以適用于各種大小的繞組。然而指數(shù)函數(shù)的理論缺陷也很明顯，以自然指數(shù)函數(shù)為例，對(duì)式（6）兩邊取自然對(duì)數(shù)可得：

可見，指數(shù)擬合的前提是x與lny要滿足線性關(guān)系，而實(shí)際上，時(shí)間x與繞組的電阻值y之間顯然缺乏這樣的關(guān)系。因此，采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合缺乏必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

3）冪函數(shù)

當(dāng)選擇冪函數(shù)作為擬合的基函數(shù)時(shí)，會(huì)遇到與對(duì)數(shù)函數(shù)同樣的問題，即f(0)沒有定義，必須使用式（9）的形式進(jìn)行計(jì)算。其導(dǎo)函數(shù)仍為冪函數(shù)，所以這種方法適用于各種大小的繞組。

4）三角函數(shù)

通常會(huì)選擇形如式（11）的三角函數(shù)作為擬合的基函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)形如式（12）所示。

因?yàn)槿呛瘮?shù)是連續(xù)的周期性函數(shù)，試驗(yàn)人員必須判斷函數(shù)在整個(gè)試驗(yàn)采樣時(shí)間內(nèi)是否出現(xiàn)拐點(diǎn)，否則該函數(shù)的意義將表示繞組電阻值的下降速率隨時(shí)間推移而加快，從而違背了非穩(wěn)態(tài)散熱的基本規(guī)律。

5）多項(xiàng)式函數(shù)

當(dāng)選擇多項(xiàng)式函數(shù)作為擬合的基函數(shù)時(shí)，對(duì)于給定區(qū)間內(nèi)的n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)，其n次插值多項(xiàng)式存在且唯一，因此，無論用哪種方法求取f(x)，其結(jié)果總是相同的。其函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的形式為：

由于多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是多項(xiàng)式函數(shù)，能夠在形式上體現(xiàn)繞組溫變速率與溫度變化的相關(guān)性，因此這種方法同冪函數(shù)一樣具有普適性。然而其缺點(diǎn)也很明顯，一是由于其導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的次數(shù)不同，也就意味著在給定區(qū)間以外的一側(cè)，溫變速率與溫度變化是負(fù)相關(guān)的，這也違背了基本的物理常識(shí)。二是多項(xiàng)式插值在接近區(qū)間兩端點(diǎn)附近的偏離很大，函數(shù)可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象而不收斂，然對(duì)于繞組溫升測(cè)量而言，卻正是需要在端點(diǎn)附近有較高的插值精度以確保零點(diǎn)電阻值數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

6）其他函數(shù)

除了上述簡(jiǎn)單函數(shù)以外，還有很多函數(shù)可以作為擬合的基函數(shù)，例如將指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)相結(jié)合，可以得到：

由于這些函數(shù)形式上相對(duì)復(fù)雜，計(jì)算量大，物理上的涵義也不明確，因此在實(shí)踐中較少應(yīng)用。只有當(dāng)被測(cè)繞組出現(xiàn)極為復(fù)雜的溫度場(chǎng)，溫變速率與溫度變化存在極為明顯的不相關(guān)性時(shí)，才可能考慮使用這些函數(shù)。

3 對(duì)采用不同函數(shù)擬合結(jié)果的分析

實(shí)踐中，要準(zhǔn)確獲得繞組在斷電瞬間的電阻值，需要使用在線電阻測(cè)量?jī)x。然而此類儀器不僅價(jià)格偏高，而且重復(fù)性不佳，目前尚未被各實(shí)驗(yàn)室廣泛采用。

為了研究不同函數(shù)擬合結(jié)果之間的差異以及它們相對(duì)于真值的偏差，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)。選擇一個(gè)小功率單相交流串勵(lì)電動(dòng)機(jī)的定子繞組作為試驗(yàn)對(duì)象，用低阻導(dǎo)線將兩側(cè)定子串聯(lián)。將樣品置于75 ℃的烘箱中保溫24 h以使繞組達(dá)到一定的溫升并保持整個(gè)樣品內(nèi)部建立相對(duì)穩(wěn)定的溫度場(chǎng)。試驗(yàn)時(shí)，先在烘箱環(huán)境中測(cè)量繞組的電阻值R0，由于此時(shí)繞組的溫度保持穩(wěn)定，因此能夠較從容地測(cè)出其繞組在當(dāng)前溫度，即75 ℃時(shí)的電阻值。然后將樣品取出烘箱，在室溫環(huán)境下，繞組溫度開始下降，相應(yīng)的電阻值也發(fā)生變化，隨即自取出樣品后的第10 s開始，每隔5 s讀取當(dāng)前繞組的電阻值，至第40 s止，測(cè)得7組數(shù)據(jù)（見表1）。然后對(duì)這些數(shù)據(jù)采用不同的擬合函數(shù)計(jì)算零時(shí)刻的電阻值R0＇，與樣品在烘箱環(huán)境下的電阻值R0進(jìn)行比較，兩者越接近就意味著該擬合函數(shù)越精確。

將表1中的數(shù)據(jù)采用本文所述的各種簡(jiǎn)單函數(shù)作為基函數(shù)進(jìn)行擬合后，取f(x=0)即可得到零時(shí)刻的電阻值R0＇，結(jié)果表 2。

表1 電阻測(cè)量結(jié)果

值得說明的是，對(duì)這組數(shù)據(jù)采用高次多項(xiàng)式擬合，出現(xiàn)了非常明顯的龍格現(xiàn)象，計(jì)算得到的零時(shí)刻電阻值顯著偏低。根據(jù)龍格的證明，在等距節(jié)點(diǎn)的條件下，使用拉格朗日插值多項(xiàng)式的擬合函數(shù)，只會(huì)在|x|≤3.63內(nèi)收斂，插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，其精度并非也越高[4]。另外，對(duì)于采用的三角函數(shù)而言，由于該函數(shù)的周期為2π/2.760 9×10-2=227.6，遠(yuǎn)大于試驗(yàn)中10 s的首次時(shí)間間隔，因此該函數(shù)是有效的。

表2 擬合結(jié)果匯總

4 總結(jié)與建議

通過觀察表1中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，高次多項(xiàng)式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的偏差相對(duì)較大，各函數(shù)擬合后在零時(shí)刻與首次采樣時(shí)刻之間的解析式圖形如圖1所示。

因?yàn)樵囼?yàn)中進(jìn)行電阻測(cè)量要求在短時(shí)間內(nèi)完成，繞組的溫度下降較為有限，因此認(rèn)為繞組的電阻溫度系數(shù)和傳熱系數(shù)等參數(shù)是不變的。根據(jù)經(jīng)典傳熱學(xué)理論[5]，當(dāng)這些參數(shù)為常數(shù)時(shí)，在非穩(wěn)態(tài)條件下實(shí)心球體的溫度分析解表達(dá)式為：

圖1 各函數(shù)往零時(shí)刻區(qū)間內(nèi)的擬合圖形

盡管該表達(dá)式是通過球體得出的，但是對(duì)于其它形狀的實(shí)心固體也具有類似的表達(dá)式。由于該分析解在形式上具有三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的特征，然而當(dāng)采用三角函數(shù)時(shí)，需要驗(yàn)證擬合函數(shù)能夠保證零時(shí)刻與首次采樣測(cè)量的時(shí)間小于該函數(shù)的周期時(shí)，這就增大了檢測(cè)人員的工作量。

綜上所述，利用曲線擬合對(duì)繞組溫升測(cè)試中的熱態(tài)電阻進(jìn)行計(jì)算時(shí)，宜優(yōu)先選擇三角函數(shù)作為擬合曲線的基函數(shù)。當(dāng)采樣時(shí)間間隔超過三角函數(shù)的周期時(shí)，可以選擇指數(shù)函數(shù)或多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行擬合計(jì)算，但應(yīng)注意避免多項(xiàng)式函數(shù)出現(xiàn)數(shù)值振蕩，不宜刻意強(qiáng)取高次多項(xiàng)式。