基于響應(yīng)面法的機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)與仿真方法研究

劉征宇

（海裝駐上海地區(qū)第七軍事代表室，上海 200000）

1 機(jī)械可靠性特點(diǎn)

隨著可靠性理論的日益發(fā)展，研究對(duì)象逐漸由相關(guān)理論較為成熟的電子產(chǎn)品轉(zhuǎn)向機(jī)械產(chǎn)品，機(jī)械產(chǎn)品可靠性與產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、制造工藝、工作條件以及運(yùn)行環(huán)境等因素密切相關(guān)，導(dǎo)致機(jī)械產(chǎn)品故障模式具有隨機(jī)性與不確定性[1]。機(jī)械可靠性具有如下特點(diǎn)：失效機(jī)理多樣化；失效模式多樣化，且存在相關(guān)性；壽命分布復(fù)雜；失效及故障積累數(shù)據(jù)不足；可靠性試驗(yàn)費(fèi)用大；模擬試驗(yàn)困難等[2]。

目前已經(jīng)頒布并投入使用的GJB 899A-2009《可靠性鑒定與驗(yàn)收試驗(yàn)》適用對(duì)象僅限于壽命服從指數(shù)分布的電子產(chǎn)品，故機(jī)械產(chǎn)品暫時(shí)沒有相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行可靠性試驗(yàn)方面的研究。由于機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)理論方法的不斷發(fā)展，技術(shù)人員更多的是在機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段，提高機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性，設(shè)計(jì)出可靠性更高的產(chǎn)品，滿足日益激烈的產(chǎn)品質(zhì)量競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境。

2 機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)方法

2.1 不確定性理論

安全系數(shù)法是指根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取合適的安全系數(shù)，用計(jì)算應(yīng)力除以材料的許用應(yīng)力，當(dāng)比值大于安全系數(shù)時(shí)即認(rèn)為結(jié)構(gòu)強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求能夠安全工作[3]。安全系數(shù)法視結(jié)構(gòu)分析中各參數(shù)為定值,忽視了不確定因素產(chǎn)生的變異性,因而具有一定的局限性，容易造成過設(shè)計(jì)或欠設(shè)計(jì)。因此在機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)中，引入概率統(tǒng)計(jì)學(xué)，考慮結(jié)構(gòu)分析中各參數(shù)的不確定性與隨機(jī)性，這種不確定性主要包括機(jī)械結(jié)構(gòu)材料屬性的不確定性、承受載荷的不確定性以及結(jié)構(gòu)尺寸的不確定性等。

2.2 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型

A.M.Freudenthal提出的“應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型”是從可靠性角度考慮機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，影響機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性的各種因素可以概括為“應(yīng)力”和“強(qiáng)度”[4]。廣義的應(yīng)力是指包含各種影響因素產(chǎn)生的力，例如結(jié)構(gòu)尺寸、材料屬性、載荷等對(duì)結(jié)構(gòu)有影響的變量；材料強(qiáng)度在材料力學(xué)各向同性的假設(shè)下是確定值，但實(shí)際上強(qiáng)度也服從特定的隨機(jī)分布規(guī)律，當(dāng)應(yīng)力大于強(qiáng)度的時(shí)候，結(jié)構(gòu)失效；應(yīng)力小于強(qiáng)度的時(shí)候，結(jié)構(gòu)可靠。

“應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型”具體如圖1所示，fs(S)表示應(yīng)力的概率密度分布曲線，fr(R)表示強(qiáng)度的概率密度分布曲線，隨時(shí)間的增加，由于損耗會(huì)導(dǎo)致強(qiáng)度下降，故二者曲線產(chǎn)生相交區(qū)域，相交區(qū)域即結(jié)構(gòu)發(fā)生失效的概率[5]。

設(shè)XRi是與結(jié)構(gòu)強(qiáng)度有關(guān)的變量；XSi是與結(jié)構(gòu)應(yīng)力有關(guān)的變量，由R、S兩個(gè)基本隨機(jī)變量表示結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)，大大簡(jiǎn)化了極限狀態(tài)函數(shù)的形式，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)如式（1）所示。

圖1 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型

當(dāng)Z＞0時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠，Ps表示結(jié)構(gòu)的可靠度；當(dāng)Z＜0時(shí)，結(jié)構(gòu)失效，Pf表示失效概率。若R和S相互獨(dú)立，設(shè)fr(r)、fS(s)為隨機(jī)變量R、S的概率密度函數(shù)，則結(jié)構(gòu)的可靠度Ps如式（2）所示[5]。

2.3 響應(yīng)面法

由上節(jié)介紹的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算公式可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)確定的時(shí)候，可以通過計(jì)算得出可靠度及失效概率等參數(shù)，但并不是所有的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)都可以通過顯式函數(shù)表示，當(dāng)結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)為隱式函數(shù)時(shí)，可通過響應(yīng)面法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度。

響應(yīng)面法通過在樣本空間采集一定數(shù)量的樣本點(diǎn)，利用多項(xiàng)式函數(shù)近似結(jié)構(gòu)隱式功能函數(shù)，擬合出極限狀態(tài)方程，利用擬合出的極限狀態(tài)方程，替代有限元計(jì)算。這樣一來，原本耗時(shí)很久的有限元模型計(jì)算就化簡(jiǎn)為對(duì)擬合極限狀態(tài)方程的計(jì)算，大大減少了計(jì)算時(shí)間，并且沒有計(jì)算次數(shù)的限制，通常僅需幾秒鐘就可以對(duì)擬合方程進(jìn)行上萬次的計(jì)算[6]。

響應(yīng)面法通常用二次多項(xiàng)式函數(shù)來擬合結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)。假設(shè)輸入變量與輸出變量的函數(shù)關(guān)系符合二次多項(xiàng)式函數(shù)，一般選取下式進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合：

上式中，a是常數(shù)項(xiàng)，b（i=1，2，3…k）是線性項(xiàng)系數(shù)，c（i=1，2，3…k）是二次項(xiàng)系數(shù)，利用最小二乘回歸分析的方法得到這些系數(shù)。

具體過程如下：

1）樣本空間采樣

類似蒙特卡洛法，在樣本空間抽取一定數(shù)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，作為擬合函數(shù)的樣本值。

2）擬合響應(yīng)面

根據(jù)選定的樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，選取二次多項(xiàng)式函數(shù)模型擬合響應(yīng)面可以提高計(jì)算效率。

3）計(jì)算可靠度

通過擬合的響應(yīng)面作為模型進(jìn)行計(jì)算，利用蒙特卡洛法的計(jì)算方法，求解結(jié)構(gòu)的可靠度。

3 機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性仿真

3.1 ANSYS-PDS

ANSYS中自帶的PDS（概率分析模塊）可分析一個(gè)或多個(gè)變量對(duì)分析結(jié)果的影響，通過定義各參數(shù)的概率分布類型和特性參數(shù)，解決結(jié)構(gòu)分析中各參數(shù)不確定性對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響[7]。應(yīng)用PDS模塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析的步驟如下：

1）創(chuàng)建分析文件

應(yīng)用APDL語言參數(shù)化建模的方法建立計(jì)算有限元模型，包括前處理中的定義參數(shù)、選擇單元類型、建模、劃分網(wǎng)格、設(shè)置邊界條件、加載、計(jì)算求解等常規(guī)步驟，在文件的結(jié)尾添加參數(shù)提取命令，建立極限狀態(tài)方程[7]。

2）定義輸入變量。

定義輸入?yún)?shù)的分布類型，包括高斯分布、威布爾分布等；選擇計(jì)算方法，PDS中主要的計(jì)算方法有蒙特卡洛法和響應(yīng)面法；設(shè)置抽樣次數(shù)，開始計(jì)算。

3）后處理

后處理環(huán)節(jié)可以計(jì)算得出可靠度和實(shí)效概率的數(shù)值，分析各輸入?yún)?shù)對(duì)結(jié)果的影響及輸出參數(shù)靈敏度等參數(shù)。

3.2 法蘭算例

以法蘭為算例，介紹運(yùn)用PDS模塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析的過程。首先利用APDL語言參數(shù)化建立有限元模型，全過程采用APDL命令流語言編程生成，材料屬性見表1，邊界條件設(shè)置為螺栓孔位置全約束，網(wǎng)格在ANSYS中自動(dòng)生成，在法蘭端面加載壓力P，幾何模型見圖2，有限元模型如圖3所示。

圖4、圖5分別是求解結(jié)果的等效應(yīng)力云圖和位移云圖，由云圖可以看出，法蘭最大應(yīng)力為127.2 MPa，最大應(yīng)力位置集中在螺栓孔處；最大位移為0.01 mm，最大變形位置集中在法蘭外側(cè)邊緣位置。

在編制好的完整的APDL命令流結(jié)尾處添加如下參數(shù)提取命令，建立極限狀態(tài)方程Z。

接下來進(jìn)入PDS模塊，將已生成的文件名為falan的分析文件導(dǎo)入PDS模塊，定義隨機(jī)輸入?yún)?shù)與隨機(jī)輸出參數(shù)，見表2。

表1 法蘭材料參數(shù)

圖2 幾何模型

圖3 有限元模型

定義好輸入輸出參數(shù)后，選擇響應(yīng)面法進(jìn)行模擬抽樣，如圖6所示，這里采用CCD實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法，ANSYS系統(tǒng)自動(dòng)確定需要擬合的樣本數(shù)為283個(gè)。

通過輸入變量與輸出變量的擬合函數(shù)關(guān)系擬合生成的響應(yīng)面如圖7、圖8所示，圖中給出了283個(gè)樣本點(diǎn)分布情況，這里僅給出R3、R8、S作為輸入變量，Z作為輸出變量的響應(yīng)面。對(duì)響應(yīng)面即擬合函數(shù)的循環(huán)模擬，這里進(jìn)行10 000次的模擬循環(huán)，得到計(jì)算結(jié)果。

圖4 等效應(yīng)力云圖

圖5 位移云圖

表2 隨機(jī)輸入變量與隨機(jī)輸出變量

圖6 擬合樣本點(diǎn)

圖7 Z-S-R3響應(yīng)面

圖8 Z-S-R8響應(yīng)面

后處理階段首先查看隨機(jī)輸入變量的歷史抽樣曲線，這里給出彈性模量E的抽樣曲線，見圖9、10，從圖中可以看出，樣本抽樣點(diǎn)曲線密集，樣本抽樣統(tǒng)計(jì)分布直方圖光滑，說明抽樣次數(shù)足夠多。

經(jīng)過10 000次模擬循環(huán)，極限狀態(tài)函數(shù)Z的均值為39.2 MPa，最大值137.2 MPa，最小值-75.9 MPa，在95 %的置信區(qū)間下，法蘭的失效概率（見圖11，即Z＜0）為7.1 %，可靠度為92.9 %。

在后處理階段還可以查看輸出變量的靈敏度，分析各參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響，結(jié)構(gòu)可靠性的靈敏度見圖12，可以看出對(duì)法蘭可靠性影響最大的變量是屈服極限S與壓力P，S的靈敏度為正，與法蘭的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性為正相關(guān)，P的靈敏度為負(fù)，與法蘭結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性為負(fù)相關(guān)，圖13給出了Z-S散點(diǎn)圖，可以看出二者符合正相關(guān)的函數(shù)關(guān)系。

圖9 樣本點(diǎn)抽樣曲線(E)

圖10 樣本點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分布直方圖(E)

圖11 法蘭結(jié)構(gòu)失效概率

圖12 靈敏度(Z)

圖13 Z-S散點(diǎn)圖

4 結(jié)論

本文介紹了機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)的基本理論，主要包括應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型及響應(yīng)面法。介紹了一種仿真方法的分析流程，基于ANSYS-PDS模塊對(duì)法蘭結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性進(jìn)行分析，得出結(jié)構(gòu)可靠度為92.9 %，通過靈敏度分析，屈服極限S和壓力P對(duì)法蘭結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響最大，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供一種思路和參考，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。