基于Copula理論承德市降水與溫度相關(guān)性量化研究

郭家驥

（河北省承德水文水資源勘測局，河北 承德 067000）

對于降水和溫度的相關(guān)性，雖然已有部分研究成果，但研究思路多為：首先將兩者獨(dú)立分開研究，然后基于某種線性理論的方法將兩者進(jìn)行結(jié)合［1-3］。目前， 衡量變量間相關(guān)性多采用Pearson系數(shù)ρx，y、Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ和Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs此3類系數(shù)。這些方法在一定程度上雖然能表述兩者的相關(guān)性，但其要求隨機(jī)變量的方差要保持在某些特定的區(qū)間之內(nèi)，且方法本身也只適用于表示兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系或單調(diào)關(guān)系，對于變量降水和溫度這類時(shí)常會(huì)發(fā)生非線性增減變化情況，線性理論相關(guān)方法顯得捉襟見肘。

針對上述方法存在的不足，研究重新梳理了思路，引入在表述多變量關(guān)聯(lián)性領(lǐng)域具有獨(dú)特優(yōu)勢的Copula函數(shù)理論，用于研究降水和溫度的相關(guān)性和兩者之間的聯(lián)合特性，探究最合適的表述降水和溫度關(guān)系的Copula函數(shù)類型，從而實(shí)現(xiàn)精確量化兩者相關(guān)性的效果。

1 研究方法

1.1 常用相關(guān)性系數(shù)

Pearson系數(shù)、Kendall系數(shù)和Spearman系數(shù)是目前描述兩變量 （如降水與溫度）相關(guān)性最主要的方法。Pearson旨在反映變量間的線性關(guān)系；Kendall系數(shù)（也作和諧系數(shù)），通常用τ表示，是一種通過研究隨機(jī)變量等級而反映相關(guān)程度的方法，此法需要提前對變量進(jìn)行定類分析；Spearman系數(shù)通常用ρs表示，它是對兩變量的秩進(jìn)行線性相關(guān)研究，且不限制其各自分布情況，但統(tǒng)計(jì)效率相比Pearson稍差。3個(gè)相關(guān)性系數(shù)的表示式為：

式中 X，Y為變量；E（·）為期望；n是樣本容量；sgn為階躍函數(shù)；rgX和rgY分別為隨機(jī)變量X，Y的秩；cov （·）為協(xié)方差；σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2 Copula函數(shù)與相關(guān)性

“Copula”源自拉丁文中的“連結(jié)”一詞，其用于定量表達(dá)多維聯(lián)合分布與對應(yīng)邊緣分布的相關(guān)關(guān)系。Copula函數(shù)可有效地構(gòu)建聯(lián)合分布函數(shù)，構(gòu)建的形式為：任意的m維聯(lián)合分布函數(shù)可拆解成1個(gè)Copula函數(shù)和m個(gè)邊緣分布的形式，Copula函數(shù)為連接邊緣和聯(lián)合分布的橋梁［4-5］。形式為：

式中 Fm（xm）和H（x1，x2，…，xm）分別為邊緣分布與其對應(yīng)的聯(lián)合分布；C為連接形式或規(guī)則。

降水和溫度作為水文循環(huán)中的重要因素，降水的增減可以在一定程度上影響區(qū)域的溫度變化，而區(qū)域溫度的升降則會(huì)影響水文循環(huán)中的蒸發(fā)速率，進(jìn)而對降水產(chǎn)生反饋?zhàn)饔谩烧呋ハ嘤绊懞吐?lián)系，故而引入Copula函數(shù)理論來量化研究降水與溫度的相關(guān)性。若分別以F（x）和G（y）表示降水和溫度的分布函數(shù)，則應(yīng)有兩維Copula函數(shù)C（u，v），使得等式H（x，y）=C［F（x），G（y）］成立。

1.3 Copula函數(shù)選取

在水利科學(xué)研究中，Copula函數(shù)可分為Elliptical Copula（橢圓族）和Archimedean Copula（阿基米德族）兩類。其中，Elliptical Copula（橢圓族）主要有Normal Copula和t-Copula函數(shù)2種；而對于Archimedean Copula（阿基米德族），主要有Clayton Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)及Gumbel Copula函數(shù)3種。針對本文研究的降水和溫度的二維形式而言，上述5種Copula函數(shù)的表達(dá)式為式（5）～式（9），各個(gè)函數(shù)的密度函數(shù)及具體內(nèi)容詳見參考文獻(xiàn)［6］：

（1）Normal Copula函數(shù)

式中 u，v分別為邊緣分布；θ為需估計(jì)的參數(shù)。

1.4 Copula函數(shù)擬合度測驗(yàn)

擬合度是衡量Copula函數(shù)的匹配效果的。若理論分布和經(jīng)驗(yàn)越相近，則擬合效果越好，該指標(biāo)可以有效地反映選擇的理論分布質(zhì)量的好壞。研究中通過擬合度測驗(yàn)對一系列待選Copula函數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，從而選出最優(yōu)者。檢驗(yàn)擬合度優(yōu)劣的方法主要分為相關(guān)性測度法和AIC值和OLS值最小準(zhǔn)則法。對于Copula函數(shù)中相關(guān)性測度法的詳細(xì)內(nèi)容，具體可結(jié)合文獻(xiàn)［7］，此處不再贅述；而對于AIC和OLS值最小準(zhǔn)則法，有：

式中 I［·］為示性函數(shù)，當(dāng)Fn（xi）≤u時(shí)，I［Fn（xi）≤u］=1，否則I［Fn（xi）≤u］=0；MSE為平均誤差；m為參數(shù)數(shù)量；n為樣本容量。AIC值通常小于零，AIC值和OLS值最小時(shí)，則擬合度最優(yōu)。

1.5 參數(shù)估計(jì)

非參數(shù)法、全參數(shù)法和半?yún)?shù)法是進(jìn)行Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)的主要方法。其中，對于非參數(shù)法，Copula聯(lián)合分布函數(shù)的參數(shù)幾乎完全決定于兩個(gè)邊緣隨機(jī)變量之間的相關(guān)性關(guān)系 （通常是秩相關(guān)系數(shù)）；全參數(shù)法中極大似然法（MLE）和分布推導(dǎo)法（IMF）使用最為廣泛，但前者需要提前對各個(gè)邊緣分布中參數(shù)進(jìn)行估算確定，進(jìn)而才可估計(jì)聯(lián)合分布的參數(shù)，且此方法計(jì)算過程過于繁冗；后者需要提前擬定兩個(gè)邊緣分布的函數(shù)類型，而邊緣分布類型的確定本身就存在較大的主觀性，或許不能客觀科學(xué)地反應(yīng)邊緣分布的真實(shí)情況。因此，本研究采用兼顧兩者優(yōu)點(diǎn)的半?yún)?shù)法。

對于半?yún)?shù)法，可以使用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn（xi）和Gn（yi）來代替邊緣分布函數(shù)F（x，θ1）和G（y，θ2），從而避免邊緣分布的參數(shù)估計(jì)，如此可直接估計(jì)聯(lián)合分布的參數(shù)，表達(dá)式為：

半?yún)?shù)法中，似然函數(shù)并不需要確定邊緣分布是屬于何種分布類型，因此其并不會(huì)受到邊緣分布類型的限制，變量間的聯(lián)合分布多取決于變量間的關(guān)系，而和其各自的邊緣分布并沒有關(guān)系，且此方法計(jì)算比較高效快捷。

2 基于Copula理論的降水與溫度相關(guān)性研究

2.1 年降水與溫度的相關(guān)性

2.1.1 計(jì)算邊緣分布函數(shù)

首先，對于承德市1978～2017年共40年的長系列降水與溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析。在計(jì)算邊緣分布時(shí)，本此研究中采用基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和高斯核函數(shù)理論相結(jié)合的方法，以樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)近似當(dāng)作總體分布函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，方法具體內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［8］。首先，將降水和溫度樣本分別進(jìn)行歸一化處理；然后對其歸一化值的累積概率F（x）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，并以歸一化值和其對應(yīng)的累積概率描繪散點(diǎn)；之后，利用高斯核函數(shù)確定降水和溫度的邊緣分布，如圖2。

圖2 承德市年降水與溫度邊緣分布

2.1.2 計(jì)算相關(guān)性系數(shù)

根據(jù)年降水和溫度資料，采用常規(guī)方法計(jì)算3大相關(guān)性系數(shù)：Pearson、Kendall系數(shù)和Spearman系數(shù)，將計(jì)算結(jié)果列于表1中。

表1 年降水與溫度3大相關(guān)性系數(shù)值

2.1.3 Copula函數(shù)初選

根據(jù)年降水和溫度數(shù)據(jù)，以相關(guān)性測度法計(jì)算5種待選Copula函數(shù)對應(yīng)的Kendall系數(shù)和Spearman系數(shù)，并與表1進(jìn)行比較。初選出兩種較優(yōu)的Copula函數(shù)用于下一步優(yōu)選。

表2 年尺度降水和溫度的不同Copula函數(shù)相關(guān)性測度值

通過表1和表2比較分析可得出，Normal Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)對應(yīng)的Kendall系數(shù)τ與Spearman系數(shù)ρs與表1中相應(yīng)值最相近。

2.1.4 參數(shù)估計(jì)與函數(shù)優(yōu)選

采用半?yún)?shù)估計(jì)法對Normal Copula函數(shù)與Frank Copula函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行估算。然后，以經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布和上述估算好參數(shù)的兩個(gè)函數(shù)為基礎(chǔ)，根據(jù)式（10）～式（13），分別計(jì)算兩種情況下的AIC值和OLS值，將結(jié)果列于表3。

表3 承德市年降水與溫度擬合度評判值

由表3可知，Normal Copula函數(shù)對應(yīng)的AIC值和OLS值較小，分別是0.401和-17.932。由此表明，對于年尺度上，Normal Copula函數(shù)在表述降水和溫度相關(guān)性時(shí)擬合效果最優(yōu)。

通過優(yōu)選可知，Normal Copula為表征降水和溫度相關(guān)性最好的Copula函數(shù)。之后，通過Matlab編程計(jì)算，用Normal Copula函數(shù)可繪出降水和溫度的聯(lián)合概率密度和聯(lián)合分布函數(shù)圖像，圖中的邊緣變量降水和溫度的相關(guān)函數(shù)分別以u和v表示，如圖3。

圖3 年降水和溫度Normal Copula

從概率密度分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)圖像可知，降水和溫度存在一定的相關(guān)性。結(jié)合計(jì)算的三大相關(guān)性系數(shù)可知，兩者的線性相關(guān)系數(shù)為0.471，Kendall為0.425，Spearman系數(shù)為0.604， 屬于中等相關(guān)。并且通過優(yōu)選可知，相比其他4種Copula而言，Normal Copula函數(shù)可以更好地定量描述兩者之間的聯(lián)合分布，通過Normal Copula聯(lián)合分布函數(shù)，可以探究不同頻率的降水和溫度之間的聯(lián)合重現(xiàn)期，進(jìn)而研究不同頻率下，同時(shí)考慮降水和溫度因素的降水和溫度的聯(lián)合水文事件。

2.2 季節(jié)性降水與溫度的相關(guān)性

為了進(jìn)一步探究季節(jié)性降水與溫度的相關(guān)性，研究在季節(jié)性尺度上，是否依然是Normal Copula函數(shù)在描述兩者關(guān)系時(shí)表現(xiàn)最優(yōu)。同樣地，按照年尺度研究方法，以降水與溫度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別計(jì)算春、夏、秋、冬4個(gè)季節(jié)的Pearson系數(shù)、Kendall系數(shù)和Spearman系數(shù)。首先，確定4個(gè)季節(jié)的降水和溫度的相關(guān)性，然后針對相關(guān)季節(jié)，按照計(jì)算流程進(jìn)行研究，尋找各季節(jié)最佳Copula函數(shù)。

表4 4個(gè)季節(jié)降水與溫度3大相關(guān)性系數(shù)

由表4可知，春、夏、秋、冬4個(gè)季節(jié)的相關(guān)性系數(shù)中，只有夏、冬兩季的3個(gè)相關(guān)性系數(shù)均大于0.4，春、秋兩季對應(yīng)的3個(gè)相關(guān)性系數(shù)則都不超過0.15。因此，夏季和冬季的降水和溫度存在相關(guān)性。分析原因，可能與承德市的降水季節(jié)性分配有關(guān)系，對于夏季，承德市6～8月的降水量超過全年降水總量的65%。而冬季的降水僅占約15%，且承德處于溫帶季風(fēng)帶，冬季寒冷干燥，干燥的空氣反而不利于土壤和植被保持水分，水分更容易因蒸散發(fā)而流失，從而影響降水結(jié)構(gòu)和過程的變化。因此，在降水較少的冬季，降水和溫度反而變得相關(guān)。

根據(jù)計(jì)算流程，同樣采用基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)結(jié)合高斯核函數(shù)方法求得承德市夏季和冬季的降水和溫度的邊緣分布，如圖4。

圖4 夏季和冬季降水與溫度的邊緣分布

從季節(jié)性降水與溫度經(jīng)驗(yàn)分布和高斯核分布圖可知，夏季和冬季的降水和溫度在經(jīng)驗(yàn)分布上存在較小差異。采用相關(guān)性測度法分別計(jì)算承德市夏季和冬季降水和溫度的5種Copula函數(shù)對應(yīng)的Kendall和Spearman系數(shù)并與表4對比，進(jìn)行初選。

表5 夏、冬兩季降水和溫度的相關(guān)性測度值

通過初選可看出，與年尺度一樣，同樣為Normal Copula和Frank Copula 2個(gè)函數(shù)的值和與表4中的值最接近。因此，初步選取Normal Copula和Frank Copula函數(shù)為優(yōu)選對象。之后，采用半?yún)?shù)估計(jì)Normal Copula和Frank Copula函數(shù)中的參數(shù)，然后將2個(gè)理論Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)進(jìn)行比較計(jì)算，以AIC值和OLS值最小為評判依據(jù)，進(jìn)而優(yōu)選出最合適的Copula函數(shù)，計(jì)算結(jié)果如表6。

表6 夏季和冬季的降水與溫度擬合度評判值

通過計(jì)算和比較兩個(gè)函數(shù)的OLS和AIC值可得，不論是冬季還是夏季，雖然兩個(gè)函數(shù)計(jì)算結(jié)果相差不大，但Frank Copula函數(shù)較Normal Copula函數(shù)OLS和AIC值稍小，夏季是0.22和-118.932，冬季是0.18和-132.401。因此，F(xiàn)rank Copula在表述季節(jié)性尺度上的降水和溫度相關(guān)性具有優(yōu)勢，它是刻畫季節(jié)性降水和溫度相關(guān)性的最優(yōu)Copula函數(shù)。以Frank Copula理論為基礎(chǔ)，編程繪出承德市夏季和冬季降水與溫度的概率密度分布函數(shù)和聯(lián)合分布函數(shù)圖像，圖中的邊緣變量降水和溫度的相關(guān)函數(shù)分別以u和v表示，如圖5。

圖5 夏季和冬季的Frank Copula聯(lián)合概率密度和分布函數(shù)

由概率密度函數(shù)和聯(lián)合分布函數(shù)圖像可知，夏季和冬季兩個(gè)季節(jié)的降水和溫度的相關(guān)性存在較小差異，聯(lián)合概率密度函數(shù)的值域范圍不同。表明在季節(jié)性尺度上，降水和溫度的相關(guān)性呈現(xiàn)類似規(guī)律，通過研究聯(lián)合分布函數(shù)及其特性，可為更好地研究降水和溫度的相關(guān)關(guān)系和季節(jié)尺度上的不同頻率和聯(lián)合分布提供參考。

3 結(jié)語

（1）在年尺度上，承德市降水和溫度表現(xiàn)出中等相關(guān)的特征，在表述兩者相關(guān)性上，Normal Copula函數(shù)表現(xiàn)最優(yōu)；在季節(jié)性尺度上，僅夏季和冬季降水和溫度相關(guān)性明顯，在表述相關(guān)性上，F(xiàn)rank Copula函數(shù)表現(xiàn)最優(yōu)。由此可知，在表征降水和溫度相關(guān)性方面，Normal Copula函數(shù)在長時(shí)間尺度（年）最具優(yōu)勢；而Frank Copula函數(shù)在短時(shí)間尺度（季）較為突出。

（2）年際降水和溫度在一定程度上呈現(xiàn)出平均的特點(diǎn)，相關(guān)性不如季節(jié)性明顯，在季節(jié)性降水和溫度關(guān)系研究中，降水最多的夏季和降水最少的冬季相關(guān)性表現(xiàn)較為明顯。

（3）降水和溫度的相關(guān)性量化研究可為下一步研究不同頻率、聯(lián)合重現(xiàn)期情況下的水文事件和相關(guān)的自然災(zāi)害（如極端降水、極端干旱和極端高溫）提供理論基礎(chǔ)。