AK-MCS中初始設計樣本數量對可靠度計算的影響分析

謝 娟，趙少飛，胡欣宇，邢明源

(華北科技學院 建筑工程學院， 北京 東燕郊 065201)

0 引言

近幾年來，AK-MCS方法由于采用較少的樣本數量能夠高效地評估失效概率的優(yōu)勢，而在土木工程可靠度分析中越來越受到關注[1-5]，但在以往的研究中，基于AK-MCS方法進行可靠度分析時，僅選取較少初始樣本數量來計算對應的響應值，進而建立Kriging模型進行可靠度計算。研究初始樣本數量的選取對可靠度計算精度的影響還沒有文獻報道。Jiang等[6]建議初始樣本數量與隨機變量個數的關系按照經驗取值。謝延敏等[7]在其基于Kriging法計算可靠度分析中提到，Kriging預測值與函數精確值之間的誤差，主要取決于初始樣本實驗設計(DOE)，即初始樣本數量及抽取方法，而與Kriging模型的函數類型關系不大。孫志禮等[8]在其可靠度分析研究中指出，初始樣本在Kriging模型的預測過程中發(fā)揮著重要的作用，并對功能函數預測精度具有一定的影響。若初始樣本數量較少會影響初始Kriging模型的預測精度，而數量較多又可能在主動學習時增加樣本數量的調用次數。故研究選取適當的初始樣本數量對AK-MCS方法評估失效概率精讀具有重要的意義，在土木工程中，由于功能函數往往較為復雜，在進行可靠度分析時，計算本身需要相對大的工作量，如果找出初始樣本數量對計算可靠度精讀的影響規(guī)律，將能有效的提高計算效率，這對工程可靠度分析具有重要的意義。

在土木工程的可靠度分析中，研究的隨機變量很多情況下為2個[3，9，10]，本文圍繞隨機變量為2個時不同初始樣數量對失效概率評估精度的影響，并進行對比分析與案例驗算。

1 AK-MCS方法

AK-MCS方法是將Kriging與Monte Carlo結合的一種主動學習方法，該方法能夠對接近極限狀態(tài)的點進行評估，從而提高初始kriging模型的預測精度，最重要的是，它能夠將注意力集中在概率密度足夠高的點上，從而對失敗概率產生顯著影響。該方法同時給出了失效概率及其變異系數的Kriging估計，利用學習函數尋找下一個最佳樣本點從而進行評估，而不需要對整個Monte Carlo總體進行繁瑣的估計，這種學習方法進行的模型評估精度較高，而且大大降低了迭代次數。但這種方法研究可靠度時主動學習的效率取決于學習函數的選取，Echard等[4]在提出這種方法時表明U函數更適合作為AK-MCS方法的學習函數進行主動學習，故本文選用U函數作為主動學習函數進行研究，AK-MCS方法基本步驟如下[4]：

(1) 基于隨機變量的分布生成NMC個隨機樣本，用SMC表示，稱為候選樣本點，候選樣本只有在主動學習時才計算功能函數。

(2) 利用拉丁超立方法進行實驗設計，生成初始的N1個樣本點，分別選取隨機變量的2倍、3倍、4倍、5倍數量的試驗樣本點進行研究。這些樣本點用SDoE表示。

(3) 利用SDoE和實際功能函數計算響應值，用YDoE表示。基于SDoE和YDoE利用MATLAB軟件的DACE工具箱建立Kriging預測模型，并利用工具箱中的預測函數估計候選樣本總體SMC所有樣本點的預測值和方差。最后利用公式(1)(2)分別計算其失效概率Pf和變異系數COV(Pf)。

(1)

(2)

(4) 根據公式(3)計算出總體SMC中所有樣本點對應的學習函數值U(xi)值。

(3)

(5) 根據學習停止條件選擇下一個最佳樣本點，即U(xi)值最小值對應的樣本點，這是因為U(xi)越小，就可能有兩種情況出現(xiàn)，一種是在這一點上的預測方差較大，另一種是這一點的預測值很小，即這一點有極大的可能接近極限狀態(tài)面，若將這一點加入樣本，將會提高Kriging模型的預測精度，故將這一樣本點定義為下一個最佳樣本點，將最佳樣本點加入初始樣本點中，重復步驟(3)(4)，直到Umin≥2停止學習。

(6) 根據式(1)和式(2)，利用最終的Kriging預測模型計算失效概率Pf和變異系數COV(Pf)。如果變異系數COV(Pf)≤5%，主動學習停止，認為結果可以接受。如果不滿足，則增加Monte Carlo候選樣本的數量，轉到步驟(3)計算，直到滿足條件。流程圖如圖1所示。

圖1 AK-MCS法計算流程圖

2 算例分析

為了分析AK-MCS方法中初始樣本點數量變化計算結果的影響，通過一個巖土邊坡算例[7]進行對比分析，并結合一個結構可靠度功能函數算例[1]進行了驗證。

2.1 算例

選取文獻[11]中一邊坡示例，黏聚力c和摩擦角φ為隨機變量，2個隨機變量獨立且服從正態(tài)分布。其他變量為確定性參數。功能函數化解結果如下式。隨機變量分布如表1。

G(c，φ)=5c+tanφ-1 (4)

為了進行對比研究，利用Monte Carlo法，進行104次抽樣計算其失效概率作為對比研究的基準。根據DACE算法[12]編制MATLAB程序，首先利用拉丁超立方法選擇隨機變量的2倍、3倍、4倍、5倍，即4、6、8、10個初始樣本點，分別建立Kriging模型，進行主動學習，直到達到學習停止條件。為了更好的反應主動學習過程中，初始樣本點和增加樣本對計算結果的影響，分別建立4種條件下增加樣本點數與Pf和學習函數最小值Umin的關系圖，如圖2所示。

圖2 Pf和Umin與增加樣本點個數的關系

圖2 Pf和Umin與增加樣本點個數的關系(續(xù))

由圖2可以看出，樣本點增加到一定個數時，失效概率的值趨于收斂，同時學習函數最小值趨于大于2，這就意味著預測結果趨于穩(wěn)定，但是當初始樣本點的數量為隨機變量的2倍、3倍、4倍時，學習第一次的失效概率，這里定義為初始失效概率，與學習停止后的失效概率相差較大，也就是說初始樣本點的數量選用這三種數量時，對初始的Kriging模型的預測精度相對不高，而初始樣本點的數量為隨機變量的5倍時，初始的失效概率與最終的失效概率相差較較小，具體的精度對比結果如表2所示?？梢远靠闯霎敵跏紭颖军c為隨機變量的5倍時，初始的失效概率與最終的失效概率相對誤差最小，這也說明這個條件下將對初始模型的擬合具有較好的精度。

表2 初始失效概率與最終失效概率的對比圖

將4種狀況下的失效概率與Monte Carlo模擬的結果進行對比，對比結果如表3所示。

表3 算例計算結果

由對比數據可知，選取的初始樣本點的多少對需要總樣本點的數量影響不大，也就是對功能函數調用次數影響不大，基本相同，但不同的初始樣本點計算失效概率需要增加的樣本點個數不同，較小的初始樣本點需要的增加的樣本點相對較多，同時也對評估失效概率的精度具有一定的影響，當初始樣本點取10個即隨機變量的5倍的時候，失效概率的評估精度最高。針對以上研究結論，進行一下算例驗證。

2.2 驗算算例

該案例選自文獻[1]中某結構功能函數，隨機變量為2個，其表達式為：

G(x1，x2)=x1x2-1500

(5)

式中，隨機變量x1、x2相互獨立且均服從正態(tài)分布，隨即變量取值如表4所示。

表4 驗證算例中隨機變量分布表

根據算例的計算步驟，驗證算例4種情況下計算結果見表5。

表5 驗證算例計算結果

由對比可見，四種狀況下功能函數調用次數相近，但失效概率的評估精度不相同，仍然是初始設計樣本點個數為隨機變量的5倍時，失效概率的評估精度最高?？梢娨陨涎芯糠治鼋Y果正確。

3 結論

針對2個隨機變量的功能函數進行可靠度分析，計算其失效概率。利用MATLAB中DACE工具箱分別建立四種抽樣數量情況下的Kriging模型，對比分析失效概率計算結果，得出以下結論：

(1) 初始樣本數量對失效概率的評估精度有較大的影響，對于2個隨機變量的功能函數，初始設計樣本數量為隨機變量的5倍時，AK-MCS法評估的失效概率幾乎與Monte Carlo的失效概率相同，精度最高。

(2) 初始樣本數目差異對主動學習需要增加的樣本數目有一定影響，較少的設計點需要主動學習的次數較多，而對功能函數的調用次數改變不大。