基于勢(shì)博弈的擁堵收費(fèi)雙層定價(jià)模型

劉鵬煌 （上海大學(xué) 管理學(xué)院，上海200444）

LIU Penghuang (School of Management, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

0 引 言

隨著城鎮(zhèn)化進(jìn)程不斷加快和汽車工業(yè)快速發(fā)展，我國(guó)許多城市面臨嚴(yán)重的交通擁堵問題，緩解交通擁堵刻不容緩。交通擁堵的原因主要有道路基礎(chǔ)設(shè)施不足，私家車數(shù)量急劇增加和出行者出行決策低效。道路基礎(chǔ)設(shè)施不足和私家車數(shù)量急劇增加都是剛性約束，在未來一段時(shí)間內(nèi)還難以徹底改變，而出行者出行決策低效更易于改變。出行者出行決策低效主要體現(xiàn)在：出行者在選擇出行路徑時(shí)，相互爭(zhēng)奪出行成本較低的路徑，忽略自身決策對(duì)路網(wǎng)環(huán)境的影響；此外，出行者在選擇出行方式時(shí)放棄容量大的公交車而選擇更舒適的私家車，出行者低效的出行決策降低路網(wǎng)資源利用率，如果能夠通過某種方式改變出行者低效出行決策，提高路網(wǎng)資源利用率，就能有效緩解城市交通擁堵。

道路擁堵收費(fèi)在提高出行者出行效率，緩解城市交通擁堵上卓有成效，目前已在倫敦、新加坡、斯德哥爾摩等城市成功實(shí)施，其本質(zhì)是一種交通需求管理的經(jīng)濟(jì)手段，目的是利用價(jià)格機(jī)制限制繁忙時(shí)段和繁忙路段上的車流密度，提高路網(wǎng)資源利用率。擁堵收費(fèi)的難點(diǎn)在于擁堵收費(fèi)定價(jià)，目前構(gòu)建擁堵收費(fèi)定價(jià)的方法主要有邊際定價(jià)法、瓶頸模型法和雙層規(guī)劃法。關(guān)于邊際定價(jià)法，Walter[1]首次定量研究道路擁擠的外部效應(yīng)，提出短期邊際成本定價(jià)模型，確定傳統(tǒng)擁擠定價(jià)理論；Dafermos[2-3]將邊際成本定價(jià)理論應(yīng)用于確定路網(wǎng)中不同等級(jí)用戶的收費(fèi)模式，并將路段收費(fèi)和路徑收費(fèi)的問題公式化。關(guān)于瓶頸模型法，Vickrey[4]應(yīng)用確定性排隊(duì)理論提出道路擁堵收費(fèi)單通道瓶頸模型，該模型論述排隊(duì)擁擠的消漲過程和用戶的時(shí)間決策，用動(dòng)態(tài)過程分析道路擁堵狀況，給出基于時(shí)間的擁堵收費(fèi)定價(jià)方案；Henderson[5]在道路瓶頸模型中考慮計(jì)劃時(shí)間延誤和出行者出發(fā)時(shí)間決策，給出從道路流量出發(fā)的動(dòng)態(tài)擁堵收費(fèi)定價(jià)方法；吳子嘯和吳海軍[6]對(duì)Vickrey 提出的瓶頸模型進(jìn)行改進(jìn)，將出行需求由固定值改為彈性需求，將出行者特征由相同改為有差異，得到一個(gè)新的擁堵收費(fèi)定價(jià)模型；盧曉珊等[7]基于瓶頸理論構(gòu)建出行成本均衡的分層擁堵收費(fèi)定價(jià)模型，討論不同機(jī)制下地鐵票價(jià)和停車收費(fèi)策略。關(guān)于雙層規(guī)劃法，Yang 和Lam[8]認(rèn)為雙層規(guī)劃模型是最佳的擁堵收費(fèi)定價(jià)模型，并利用雙層規(guī)劃法對(duì)道路擁堵收費(fèi)進(jìn)行研究；Yang 和Bell[9]將次優(yōu)分析的思想應(yīng)用于雙層規(guī)劃，提出基于雙層規(guī)劃的次優(yōu)收費(fèi)方法，并采用基于靈敏度分析的算法進(jìn)行求解；李志純等[11]建立彈性需求下以用戶盈余最大化為上層目標(biāo)的道路擁堵雙層規(guī)劃模型，下層模型為彈性需求下的隨機(jī)用戶平衡，并利用懲罰函數(shù)法和步長(zhǎng)加速法相結(jié)合的算法框架求解；姚紅云等[12]考慮異質(zhì)出行者的影響，以時(shí)間價(jià)值不同對(duì)用戶特性進(jìn)行分類，得到彈性需求下多類型用戶的擁堵收費(fèi)模型。從現(xiàn)有的擁堵收費(fèi)定價(jià)模型來看，邊際定價(jià)法未考慮時(shí)間、空間和交通量的變化，即路網(wǎng)在任意時(shí)間均處于穩(wěn)定狀態(tài)，交通需求和出行成本不隨時(shí)間變化而變化；瓶頸模型法太過理想化，它把道路瓶頸的容量描述為一個(gè)連續(xù)的出行時(shí)間函數(shù)，并且是部分線性的，甚至將排隊(duì)過程納入靜態(tài)問題的范疇；雙層規(guī)劃法最貼近實(shí)際情況，它同時(shí)優(yōu)化交通管理者與出行者的決策，但雙層規(guī)劃模型太復(fù)雜，不易求解。本文擬采用雙層規(guī)劃法構(gòu)建擁堵收費(fèi)定價(jià)模型，由于雙層規(guī)劃不易求解，考慮運(yùn)用勢(shì)博弈將雙層規(guī)劃轉(zhuǎn)化成單層規(guī)劃，在保證擁堵收費(fèi)定價(jià)模型貼近實(shí)際情況的同時(shí)，降低雙層規(guī)劃求解難度。

擁堵收費(fèi)能否順利實(shí)施依賴公眾對(duì)該策略的支持，雖然擁堵收費(fèi)能夠有效緩解城市交通擁堵，但該策略由于其收入的不透明和不公平仍然沒有被公眾所接受，為了克服該缺陷，提高公眾對(duì)該策略的支持程度，很多學(xué)者對(duì)擁堵收費(fèi)及其返還政策進(jìn)行研究。Goodwin[13]提出將道路擁堵收入三等分，分別分給政府、快軌和城市道路基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)及公交系統(tǒng)；Mireabel 和Rrymond[14]提出將擁堵收費(fèi)收入重新分配給地鐵系統(tǒng)，并得到使擁堵收費(fèi)政策更有效率的地鐵票價(jià)；姜沂兵等[15]應(yīng)用累積前景理論分析用戶出行行為，建立擁堵收費(fèi)及其返還的優(yōu)化模型，得到不同需求分布下的最優(yōu)收費(fèi)和最優(yōu)票價(jià)折扣費(fèi)率。針對(duì)擁堵收費(fèi)的不公平性問題，本文擬將擁堵收費(fèi)與公交系統(tǒng)聯(lián)系起來，考慮將擁堵收費(fèi)收入以公交票價(jià)打折的形式補(bǔ)貼出行者，如此既可以提高公眾對(duì)擁堵收費(fèi)的支持程度，又能鼓勵(lì)出行者選擇公交車出行。

1 符號(hào)說明與模型假設(shè)

本文研究的路網(wǎng)由節(jié)點(diǎn)、路段和路徑組成，分別對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)圖中的點(diǎn)、邊和鏈。路網(wǎng)的決策者有出行者和交通管理者，首先考慮出行者與交通管理者的決策。出行者根據(jù)交通管理者給出的路段擁堵收費(fèi)和路網(wǎng)補(bǔ)貼率選擇出行成本最低的路徑出行；反過來，交通管理者根據(jù)路段的出行者數(shù)量決定路段擁堵收費(fèi)和路網(wǎng)補(bǔ)貼率，目標(biāo)是最小化路網(wǎng)總出行成本。出行者與交通管理者的決策相互影響構(gòu)成一個(gè)雙層規(guī)劃模型。其次考慮出行者之間的決策，出行者根據(jù)其他出行者的決策選擇出行路徑，只要出行者發(fā)現(xiàn)路網(wǎng)中有更低出行成本的路徑，就會(huì)改變自身的策略，而出行者的策略變化又會(huì)影響其他出行者的決策，出行者之間的決策相互影響構(gòu)成一個(gè)非合作博弈。綜上，本文研究的問題可描述為一個(gè)雙層規(guī)劃模型，上層為交通管理者的決策模型，其目標(biāo)是最小化路網(wǎng)的總出行成本，下層為出行者非合作博弈模型，每個(gè)博弈方最小化自身的出行成本。

1.1 符號(hào)說明

A為路網(wǎng)中路段的集合，A=｛1,2 ,…,a｝；R為路網(wǎng)中路徑的集合，R= ｛1,2 ,…,r｝；W為路網(wǎng)中OD對(duì)的集合，W= ｛1,2 ,…,w｝；M為路網(wǎng)中出行者類型的集合，M= ｛1,2 ,…,m｝；Rw為OD對(duì)w間的路徑的集合；Bm為第m類出行者對(duì)私家車的偏好程度；Va為路段a的出行者數(shù)量；對(duì)w間第m類出行者的數(shù)量；τa為路段a的擁堵收費(fèi)；γ 為擁堵收費(fèi)上限；θa為路段a的道路容量；為路段a上的自由流出行時(shí)間；β 為出行時(shí)間與出行量的相關(guān)系數(shù)，β 為常數(shù)，且β∈［0,1 ］；ta為路段a的出行時(shí)間；λ 為出行者單位出行時(shí)間的成本，且λ∈［0,+ ∞ ］；為0-1 變量，當(dāng)路徑r通過路段a時(shí)為1，否則為0；μ 為公交補(bǔ)貼率，即公交票價(jià)減免的比例；εa為路段a的公交票價(jià)；為第m類出行者選擇路徑r的出行者數(shù)量；Pm為第m類出行者的策略，為非合作博弈的策略集，為第m類出行者選擇私家車出行時(shí)路段a的出行成本；為第m類出行者選擇公交車出行時(shí)路段a的出行成本為第m類出行者選擇路徑r的廣義出行成本；Um為第m類出行者的總出行成本；U為路網(wǎng)的總出行成本。

1.2 模型假設(shè)

假設(shè)1 假設(shè)出行者的出行方式只有公交車和私家車兩種，且出行者沒有固定的出行方式，具體選擇哪一種出行方式取決于出行者對(duì)公交車和私家車的偏好程度，出行者對(duì)哪種出行方式的偏好程度越大，選擇該出行方式出行的機(jī)率就越大。

假設(shè)2 假設(shè)路網(wǎng)中出行者不同時(shí)間的出行決策是在同一時(shí)間進(jìn)行的，若以天為時(shí)間單位，則路徑的出行量等于當(dāng)天選擇該路徑的出行者數(shù)量。

假設(shè)3 假設(shè)路網(wǎng)中的出行者均為日常上下班通勤的出行者，故認(rèn)為出行者有自己固定的交通起止點(diǎn)，即OD對(duì)。假設(shè)4 假設(shè)路段的出行時(shí)間與出行量正線性相關(guān)，路段a的出行時(shí)間為其中Va為路段a的出行量為路段a的自由流出行時(shí)間，即車輛在不擁堵情況下正常駕駛消耗的時(shí)間，假設(shè)路網(wǎng)中所有出行者的單位出行時(shí)間成本相同。假設(shè)6 假設(shè)同種類型的出行者出行策略相同，即選擇各路徑的概率相等。

假設(shè)7 假設(shè)出行者是完全信息和完全理性的，即出行者能夠準(zhǔn)確獲取路網(wǎng)上的信息，包括路段的出行時(shí)間、擁堵收費(fèi)和路網(wǎng)的公交補(bǔ)貼率，且出行者總是選擇出行成本最低的路徑。

假設(shè)8 假設(shè)交通管理者只對(duì)私家車出行者收取擁堵收費(fèi)，并以票價(jià)打折的形式補(bǔ)貼公交車出行者，交通管理者收取擁堵收費(fèi)主要根據(jù)道路的剩余容量，不妨設(shè)路段a的擁堵收費(fèi)。

其中：θa為路段a的道路容量，γ 為擁堵收費(fèi)的上限，δ 為比例系數(shù)，即一定比例的道路容量，δ 為常數(shù)，且

2 模型建立與分析

2.1 出行成本函數(shù)

本節(jié)擬構(gòu)建第m類出行者的總出行成本函數(shù)和路網(wǎng)總出行成本函數(shù)。

引理1 路網(wǎng)中第m類出行者的總出行成本為：

路網(wǎng)的總出行成本為：

證明：按照出行者對(duì)公交車和私家車的偏好程度對(duì)出行者劃分，用表示第m類出行者對(duì)私家車的偏好程度，則1-Bm表示第m類出行者對(duì)公交車的偏好程度。又 表示第m類出行者選擇路徑r的數(shù)量，根據(jù)假設(shè)2 可得路徑r的出行量為：

而路段出行量為通過該路段所有路徑的出行量的總和，故路段a的出行量為：

當(dāng)出行者選擇私家車出行時(shí)，出行成本由時(shí)間成本和擁堵收費(fèi)組成，根據(jù)假設(shè)4 可得第m類出行者選擇私家車出行時(shí)，路段a的出行成本為：

當(dāng)出行者選擇公交車出行時(shí)，出行成本由時(shí)間成本和公交票價(jià)組成，其中公交票價(jià)為補(bǔ)貼后的公交票價(jià)，故第m類出行者選擇公交車出行時(shí)，路段a的出行成本為：

由假設(shè)1 可知出行者沒有固定的出行方式，因此用公交車出行成本和私家車出行成本的加權(quán)和表示出行者的廣義出行成本，路徑的廣義出行成本為該路徑所有路段廣義出行成本的總和，故第m類出行者選擇路徑r的廣義出行成本為：

第m類出行者的總出行成本為所有路徑上第m類出行者出行成本的總和，故第m類出行者的總出行成本為：

路網(wǎng)的總出行成本為所有類型出行者出行成本的總和，故路網(wǎng)的總出行成本為：

2.2 非合作博弈模型

本節(jié)擬構(gòu)建出行者非合作博弈模型，由假設(shè)6 可知同類型的出行者選擇各路徑出行的概率相等，因此將路網(wǎng)中同類型的出行者視為一個(gè)博弈方，故路網(wǎng)中有多少種類型的出行者就對(duì)應(yīng)多少個(gè)博弈方，博弈方m的策略為非合作博弈的策略集為P=P1×P2×…×Pm，博弈方m的支付函數(shù)為第m類出行者的總出行成本，則非合作博弈模型可描述為G

引理2 博弈G是一個(gè)精確勢(shì)博弈，且勢(shì)函數(shù)為：

證明：將式（3） 代入式（1） 得：

令：

則：

引理1 證明博弈G為精確勢(shì)博弈，根據(jù)精確勢(shì)博弈的性質(zhì)，博弈G至少存在一個(gè)純策略Nash均衡，博弈G的Nash均衡策略滿足：

其中：P-m為除博弈方m外的博弈方策略，為博弈方m改變策略后的策略。

2.3 雙層規(guī)劃模型

在制定路段擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼率時(shí)，交通管理者的目的最小化路網(wǎng)的總出行成本，當(dāng)交通管理者給出每條路段的擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼率后，各類出行者之間進(jìn)行非合作博弈，各類出行者不斷調(diào)整自身的策略，最終得到Nash均衡，交通管理者根據(jù)Nash均衡策略調(diào)整路段擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼率，直到非合作博弈Nash均衡條件下，路網(wǎng)的總出行成本最低，故可將式（4）作為交通管理者決策模型的約束，得到雙層規(guī)劃模型：

其中：式（5） 為交通管理者的目標(biāo)函數(shù)，即最小化路網(wǎng)的總出行成本；式（6） 為公交補(bǔ)貼率的取值范圍；式（7） 為博弈G的Nash均衡條件；式（8） 為出行者的出行需求約束，即第m類出行者分配到OD對(duì)w間的出行者總數(shù)應(yīng)等于第m類出行者在OD對(duì)w之間的總出行需求；式（9） 為第m類出行者選擇路徑r出行數(shù)量的取值范圍；式（10） 為路段a上的出行者數(shù)量。

2.4 雙層規(guī)劃模型轉(zhuǎn)換

由式（7） 可知，下層博弈G為多目標(biāo)規(guī)劃，即所有博弈方的支付函數(shù)最小，這樣的特征使得P1 非常復(fù)雜，用現(xiàn)有方法很難直接求解。本文擬利用Nash均衡的定義，將博弈G轉(zhuǎn)換為若干個(gè)約束，利用這些約束限制博弈G的策略空間，進(jìn)而將P1轉(zhuǎn)換為單層規(guī)劃。

對(duì)于每一個(gè)博弈方，其單方面的策略改變稱為策略偏差，本文用r維的向量表示博弈方m的策略偏差，其中為博弈方m在路徑r上的出行量變化。由于博弈方m的出行者總數(shù)不發(fā)生改變，即某條路徑上博弈方m的出行者數(shù)量增加，必有其它路徑上博弈方m的出行者數(shù)量減少，因而博弈方m的出行者數(shù)量變化滿足：

此外，路徑r上博弈方m的出行者數(shù)量變化滿足：

當(dāng)博弈方m的策略從Pm變化為Pm+ΔPm時(shí)，支付函數(shù)的變化為：

在Nash 均衡條件下，沒有哪個(gè)博弈方能夠通過策略偏差來降低自身的出行成本，因此出行成本變化滿足：

用式（11） 替換式（7） 得到下面的單層規(guī)劃模型：

從式（11） 可以看出，變量的取值非常多，包括整數(shù)變量和連續(xù)變量，且整數(shù)變量的取值范圍非常大，處理比較困難，需要對(duì)式（11） 進(jìn)一步簡(jiǎn)化。本文考慮一種更簡(jiǎn)單的策略變化，即簡(jiǎn)單策略偏差，利用簡(jiǎn)單策略偏差縮小整數(shù)變量的取值范圍。

簡(jiǎn)單策略偏差是指博弈方只改變一對(duì)純策略的概率，其它純策略的概率保持不變。同樣用r維向量表示博弈方m的簡(jiǎn)單策略偏差，博弈方m只改變純策略x和y的概率。令同理可得簡(jiǎn)單策略偏差情況下，博弈方m的支付函數(shù)變化為：

在Nash均衡條件下博弈方m的支付函數(shù)變化滿足由式（12） 可知ΔUm是關(guān)于e的一元二次函數(shù)，且開口向上，令ΔUm=0，可得：內(nèi)成立，即滿足Nash均衡條件，必須要求e2＜0，故博弈G的Nash均衡條件為：

為保證

用式（13） 替換式（11），得到下面的單層規(guī)劃模型：

2.5 出行決策效率分析

Price of anarchy（POA） 是博弈論中的一個(gè)重要概念，字面意思是博弈方由于自私自利行為導(dǎo)致的效率損失，具體來講，它是度量博弈方分布式自私行為與Pareto最優(yōu)的效率偏差，定義為博弈方非合作博弈的總支付函數(shù)值與合作博弈的總目標(biāo)函數(shù)值之比。

在非合作博弈情形下，每一個(gè)博弈方最小化自身的支付函數(shù)：

在合作博弈情形下，每一個(gè)博弈方最小化博弈方的總支付函數(shù)：

由式（14） 可知，對(duì)于交通管理者給出的τa和μ，POA的值越小，博弈方的總出行成本越接近Pareto最優(yōu)，出行者的出行決策越高效，反之，出行者的出行決策越低效。

3 算例分析

通過一個(gè)具體的算例對(duì)單層規(guī)劃模型P3 進(jìn)行分析，考慮如圖1所示的路網(wǎng)有4 個(gè)OD對(duì)：

路網(wǎng)中包含四種類型的出行者，各類出行者的數(shù)量均為230，各類出行者對(duì)私家車的偏好程度分別為：B1=0.2，B2=0.4，B3=0.6，B4=0.8。各OD對(duì)之間各類出行者的數(shù)量如表1 所示：

圖1 路網(wǎng)示意圖

表1 OD 對(duì)之間各類出行者的數(shù)量

基于上述參數(shù)，通過Matlab7.0 軟件在無收費(fèi)無補(bǔ)貼、有收費(fèi)無補(bǔ)貼、有收費(fèi)有補(bǔ)貼三種情形下，計(jì)算各類出行者的出行成本、路網(wǎng)的總出行成本和POA值。三種情形下各類出行者的出行成本如圖2 所示，橫坐標(biāo)表示交通管理者的策略類型，縱坐標(biāo)為各類出行者的出行成本。

從圖2 可以看出，從無收費(fèi)無補(bǔ)貼，到有收費(fèi)無補(bǔ)貼，再到有收費(fèi)有補(bǔ)貼，各類出行者的出行成本逐次降低，這說明擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼均能有效降低各類出行者的出行成本。比較出行成本的下降幅度可知，有收費(fèi)有補(bǔ)貼的出行成本下降幅度最大，有收費(fèi)無補(bǔ)貼次之，這說明擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼同時(shí)實(shí)施的效果優(yōu)于僅擁堵收費(fèi)。

三種情形下，路網(wǎng)的總出行成本如圖3 所示，橫坐標(biāo)表示交通管理者的策略類型，縱坐標(biāo)表示合作與非合作兩種情形下路網(wǎng)的總出行成本。

表2 路段參數(shù)

圖2 三種情形下各類出行者的出行成本

圖3 三種情形下路網(wǎng)的總出行成本

從圖3 可以看出，從無收費(fèi)無補(bǔ)貼，到有收費(fèi)無補(bǔ)貼，再到有收費(fèi)有補(bǔ)貼，合作與非合作的路網(wǎng)總出行成本均逐次降低，這與圖2 得到的結(jié)果一致。比較出行者合作與非合作兩種情形下路網(wǎng)總出行成本可知，合作的路網(wǎng)總出行成本總是低于非合作的路網(wǎng)總出行成本。此外，有收費(fèi)有補(bǔ)貼出行者合作與非合作的路網(wǎng)總出行成本差值最小，這說明擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼均能減少出行者因利益博弈造成的損失，且擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼同時(shí)實(shí)施時(shí)效果最佳。

三種情形下POA值如圖4 所示，橫坐標(biāo)表示交通管理者的策略類型，縱坐標(biāo)為相應(yīng)的POA值。

從圖4 可以看出，三種情形下POA值均大于1，即非合作的路網(wǎng)總出行成本總是高于合作的路網(wǎng)總出行成本，這說明非合作得到的是低效率的Nash均衡，而合作博弈得到的是高效率的Pareto最優(yōu)。比較三種情形下的POA值，從無收費(fèi)無補(bǔ)貼，到有收費(fèi)無補(bǔ)貼，再到有收費(fèi)有補(bǔ)貼，POA的值逐次降低，這說明有收費(fèi)有補(bǔ)貼時(shí)出行者的出行決策最高效，有收費(fèi)無補(bǔ)貼其次，無收費(fèi)無補(bǔ)貼最低。

圖4 三種情形的POA 值

4 結(jié) 論

本文同時(shí)考慮擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼，采用雙層規(guī)劃與博弈論結(jié)合的方法，構(gòu)建擁堵收費(fèi)定價(jià)模型，上層為交通管理者的決策模型，下層為出行者非合作博弈模型。利用勢(shì)博弈理論證明下層非合作博弈為勢(shì)博弈，從而下層非合作博弈存在Nash均衡?；诓┺姆降牟呗云顚㈦p層規(guī)劃模型轉(zhuǎn)換為易于處理的單層規(guī)劃。最后，通過具體的算例在不收費(fèi)不補(bǔ)貼、有收費(fèi)無補(bǔ)貼、有收費(fèi)有補(bǔ)貼三種情形下，計(jì)算各類出行者的出行成本、路網(wǎng)總出行成本和POA值，結(jié)果表明：擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼均能有效降低各類出行者的出行成本和路網(wǎng)總出行成本，使出行者的出行決策更高效，且擁堵收費(fèi)和公交補(bǔ)貼同時(shí)實(shí)施的效果最優(yōu)。