單軸沖擊載荷下基于塑性細觀力學的凍土本構模型研究

賈瑾宣， 朱志武， 張福來

(1.西南交通大學力學與工程學院， 成都 610031; 2.應用力學與結構安全四川省重點實驗室， 成都 610031)

引 言

凍土是一種由固體礦物顆粒、粘塑性冰包裹體、液相水和氣態(tài)包裹體四種基本成分所組成的復合體[1]。近年來，隨著社會經濟的發(fā)展，寒區(qū)工程建設成為中國基礎建設的又一大熱點。在此過程中，凍土在某些情況下將不可避免地受到沖擊、爆炸等強動載荷的作用。同時，凍土由于其中冰的膠結作用而具有良好的承載能力，但凍土中冰的含量和膠結能力隨外界溫度的變化而變化。因此，對不同凍結溫度下的凍土在沖擊載荷下的動態(tài)力學行為及其本構模型研究便顯得尤為重要。

目前，對于凍土沖擊動態(tài)力學性能的研究還處于初始階段。Lee等[2]通過對不同溫度的凍土進行沖擊壓縮實驗，發(fā)現(xiàn)凍土表現(xiàn)出了溫度和壓力依賴性、率敏感性、各向異性和體積壓縮與膨脹。馬芹永等[3]實驗發(fā)現(xiàn)圍壓狀態(tài)下凍土表現(xiàn)為粘塑性破壞，凍土力學行為有著明顯的應變率效應和溫度相關性。寧建國等[4]基于考慮應變率效應的Drucker-Prager屈服準則，采用各向同性硬化構建了凍土的動態(tài)彈塑性本構模型。朱志武等[5]通過實驗發(fā)現(xiàn)凍土在沖擊載荷下表現(xiàn)為分層破壞，并且建立了凍土的瞬時溫升方程，得到了凍土有效彈性模量的表達式。劉志杰等[6]根據(jù)土基體在沖擊加載下層層破壞的特點，在土基體的彈性模量中引入應變率項，建立了凍土的細觀本構模型。謝奇峻等[7]把凍土考慮為土顆粒和冰組成的兩相復合材料，采用脫粘損傷理論建立了描述應變率效應的細觀本構模型。伏甜甜等[8]以塑性本構框架為基礎，考慮到凍土的應變率效應以及微裂紋和微孔洞的損傷演化規(guī)律，建立了描述凍土動態(tài)力學行為的本構模型。綜上所述，目前沖擊載荷下凍土動態(tài)本構模型的建立主要集中于損傷力學和細觀力學等方面，而從細觀力學角度對凍土率相關塑性變形的研究相對很少。

本文利用分離式霍普金森壓桿對不同凍結溫度下凍土進行了不同應變率的單軸沖擊壓縮實驗，獲取了相應的動態(tài)應力-應變曲線。進而，分析了凍土的動態(tài)變形和強度特征，探究了凍土的溫度和應變率效應。基于實驗結果，采用細觀力學的平均化方法推導了與凍結溫度相關的凍土等效彈性常數(shù)的表達式。同時，采用基體各向同性化的切線模量法建立了凍土的動態(tài)塑性細觀力學模型。進而，引入與凍結溫度和加載應變率相關的連續(xù)損傷演化模型，構建了凍土的沖擊動態(tài)本構模型。相應的計算結果表明該模型能夠很好地描述凍土的動態(tài)力學行為。

1 實驗研究與結果分析

1.1 實驗研究方法

本文實驗研究采用變截面分離式霍普金森壓桿(SHPB)。同時，本文實驗研究采用了脈沖整形技術，將一個放置在入射桿沖擊平面上的黃銅片用作脈沖整形器。對于有效的SHPB實驗，波形整形器有助于實現(xiàn)應力平衡和恒應變率加載[9]。

實驗采用的凍土試樣來源于成都黏土。試樣尺寸為Φ30 mm×18 mm，密度為2.07 g/cm3，含水率為30%。

制作試樣時，首先將黏土碾散，置于溫度為105 ℃的烘干箱中烘干12 h。接著，將土顆粒分別用篩孔直徑為2 mm、0.85 mm、0.425 mm和0.18 mm的篩子依次過篩，得到土樣的顆粒級配。然后，取顆粒尺寸小于2 mm的土顆粒加蒸餾水至所需初始含水量并攪拌均勻，放入密閉容器中密封保持6 h。隨后，整體壓實裝入到試樣筒中的濕土。最后，將土樣放入恒溫箱中冷凍24 h。

本文對三種不同凍結溫度下(-10 ℃、-15 ℃和-20 ℃)凍土試樣進行加載氣壓為0.1 MPa～0.6 MPa的單軸沖擊壓縮實驗，每種加載工況下實驗重復2～3次。由“二波法”處理得到試件在高應變率下的動態(tài)應力-應變曲線[10]。

1.2 實驗結果與分析

實驗得到的不同不同溫度各加載應變率下凍土的動態(tài)平均應力-應變曲線如圖1(a)～1(c)所示。

圖1 不同溫度下各加載應變率下凍土的動態(tài)應力-應變曲線

本文將凍土的動態(tài)應力-應變曲線上升段曲線斜率發(fā)生明顯變化的點定義為初始屈服點，并且將該點處的割線模量定義為材料的彈性模量。圖1可見，在凍土變形的初始階段應力-應變曲線基本保持重疊不變?？梢哉J為，相同凍結溫度下凍土的彈性模量與應變率無關，為常數(shù)值。這是因為，從復合材料細觀力學角度看，凍土中的土顆粒和孔隙冰在沖擊載荷下彈性模量便沒有明顯的應變率相關性，孔隙水主要作用于凍土塑性變形階段[11-13]。

不同凍結溫度下，凍土的初始屈服強度與應變率之間的關系，以及峰值強度與應變率之間的關系分別如圖2和圖3所示。

圖2 不同凍結溫度下屈服強度與應變率之間的關系

圖3 不同凍結溫度下峰值強度與應變率之間的關系

由圖2和圖3可見，凍土的強度隨著應變率的升高而增大，凍土的力學性能有著明顯的應變率強化效應。這是因為凍土中的土顆粒和孔隙冰都具有明顯的應變率強化效應[11-12]。

加載應變率約為600 s-1時，不同凍結溫度下凍土的動態(tài)應力-應變曲線如圖4所示。

由圖4可見，在變形的初始階段，凍土的彈性模量隨著凍結溫度的降低而增大。并且，相同應變率下凍土的強度隨著凍結溫度的下降而升高。凍土的力學性能也有著明顯的溫度效應。這是因為隨著凍結溫度的降低，凍土中未凍水含量降低，土壤基質吸力變大，含冰量升高，冰的彈性模量和強度升高，從而使得凍土的承載能力更強[14]。

2 本構模型

2.1 凍土的等效彈性常數(shù)

凍土作為一種四相復合體，其中每一種組成成分的比例、性質和相互作用都影響著材料的力學性能。特別地，其中孔隙冰的性質及其與土顆粒的膠結作用明顯地影響著凍土的力學性質。忽略孔隙水和氣體對凍土力學性質的影響，把凍土考慮為土顆粒和冰膠結物構成的復合材料。

假設凍土中的土顆粒和冰都為均勻各向同性材料，且它們之間完全膠結。根據(jù)細觀力學平均化方法，可假定土基體和冰夾雜中的平均應力等于外加應力[15]。當施加常宏觀應力σ0在代表性體積單元(RVE)邊界上時，則有：

(1)

由實驗結果的分析易知，在沖擊載荷下土顆粒和冰在變形的初始階段均能表現(xiàn)出較好的線彈性特征，且可忽略應變率效應，把彈性模量的大小近似為常數(shù)。所以，沖擊載荷下土顆粒和冰的彈性應力-應變關系用廣義胡克定律表示為：

εs=Cs：σs

(2)

εi=Ci：σi

(3)

式中，εs為土基體的平均應變，εi為冰夾雜的平均應變；Cs為土顆粒的柔度張量，Ci為冰的柔度張量。

(4)

式中，fs和fi分別為土基體和冰夾雜的體積分數(shù)，且滿足關系式：

fs+fi=1

(5)

(6)

從而，凍土的等效彈性模量E和等效泊松比ν可以表示為：

(7)

(8)

式中，Es和Ei分別為土顆粒和冰的彈性模量；νs和νi分別為土顆粒和冰的泊松比。

由于表面自由能的存在，土顆粒和冰在負溫情形下會吸附一定量的未凍水。徐雪祖[16]通過研究認為不同土質的凍土中未凍水含量與凍結溫度之間存在如下關系：

Wu=AT-B

(9)

式中，Wu為未凍水含量；T為凍土凍結溫度的絕對值；A、B分別為與土質有關的常數(shù)。

已知凍土的初始含水量為W，在本文中W=30%，則不同凍結溫度下凍土中含冰量Wi為：

Wi=W-Wu

(10)

因此，凍土中冰的體積分數(shù)為：

(11)

式中，Ms為凍土中土顆粒的質量，本文中其值為20.36 g；ρi為冰的密度，其值為0.9 g/cm3；V為凍土試樣的體積，其值為12.72 cm3。

將式(9)～式(11)代入到式(7)和式(8)中并且考慮到不同溫度下各組分彈性常數(shù)的變化，便可得到與凍結溫度變化有關的凍土等效彈性常數(shù)的表達式。

2.2 塑性細觀力學模型

細觀力學平均化方法要求基體和夾雜都必須是線彈性的，只有這樣材料等效彈性常數(shù)的表達式才能成立。但是，大量的實驗研究表明，在沖擊載荷下土顆粒會發(fā)生明顯的破碎和重排列，土體發(fā)生不可恢復的塑性變形[17]。所以，凍土沖擊動態(tài)本構模型的建立理應考慮內部組分塑性變形的影響。

(12)

則土顆粒的彈性應力-應變關系可以表示為：

(13)

同時考慮土顆粒為各向同性硬化，則準靜態(tài)下土顆粒的加載函數(shù)可以表示為：

(14)

(15)

式中，D、P為材料常數(shù)。

從而，與加載應變率有關的土顆粒的動態(tài)屈服條件可以表示為：

(16)

(17)

利用Kuhn-Tucker加載/卸載條件來引入塑性流動的不可逆性，即：

γ≥0，f≤0，γ·f=0

(18)

式中，γ由一致性條件確定，即：

(19)

綜上所述，沖擊載荷下土顆粒的動態(tài)塑性本構模型可以由式(13)，式(15)～式(19)構成。進而，采用基體各向同性化的切線模量法建立凍土的動態(tài)塑性細觀力學模型[19]。當土顆粒發(fā)生塑性變形時，在一個無限小的加載步內，依據(jù)一致性條件，可得：

(20)

求解上式，可得在這一加載步內塑性乘子的大小為：

(21)

從而，由式(13)和式(21)可得在這一無限小的加載步內土顆粒的應力-應變關系為：

當γ=0時，dσs=Esdεs

(22)

(23)

此外，沖擊載荷下冰表現(xiàn)為脆性斷裂，在強度達到峰值應力之前，其本構模型可用線彈性模型來表征[20]。所以，在某一加載步內冰的應力-應變關系為：

dσi=Eidεi

(24)

因此，基于式(7)，增量形式的凍土動態(tài)塑性細觀力學本構模型為：

dσ=Edε

(25)

(26)

(27)

特別地，由式(4)和式(12)可得沖擊載荷下凍土的塑性應變?yōu)椋?/p>

(28)

同理，如果考慮到凍土內部組分與溫度變化有關的本構參數(shù)的變化，則上述本構模型將能同時表征凍土力學行為的溫度效應。

2.3 連續(xù)損傷演化律

沖擊載荷下凍土在變形過程中隨著絕熱溫升所致的熱軟化和材料內部微裂紋、微孔洞損傷的演化積累，凍土的變形由應變硬化轉化為應變軟化，材料的承載能力逐漸喪失。

根據(jù)Lemaitre應變等效性假設，受損凍土的本構關系可通過將名義應力替換為有效應力用無損時的本構關系表示[21]。其中，有效應力可以表示為：

(29)

由實驗分析可知，凍土在變形的初始階段可以表現(xiàn)出較好的線彈性特征。因此忽略凍土的彈性損傷，考慮凍土的損傷演化與塑性變形有關。基于塑性應變率的Arrhenius方程，將連續(xù)損傷D的演化視為一個類似于熱激活的過程，則可以得到率相關的連續(xù)損傷演化律為[22]:

(30)

設塑性應變閾值為零，則凍土的損傷演化方程可以簡化為：

(31)

進一步，考慮到不同凍結溫度條件下巖土材料內部水分遷移、分凝冰體形成及材料結構的變化，而材料細觀損傷的演化與溫度變化密切相關[23]。因此，通過引入一溫度項來表征凍結溫度變化對于凍土連續(xù)損傷演化規(guī)律的影響，即：

(32)

式中，α和β為材料參數(shù)；T*=(T-Tr)/(Tm-Tr)，T為凍土的凍結溫度，Tr為參考溫度，本文取值為253.15 K，Tm為凍土的熔點，取值為273.15 K。

式(32)顯式地刻畫了凍土連續(xù)損傷的演化同時依賴于塑性應變、塑性應變率和凍結溫度，該式可以用來表征各種廣義損傷的演化。

3 本構模型的驗證

(33)

式中，M和N為硬化參數(shù)，通過土顆粒的沖擊動態(tài)壓縮實驗獲得。不同凍結溫度下具體的材料參數(shù)見表1。

表1 本構模型的材料參數(shù)

對本文建立的本構模型進行數(shù)值求解。不同加載條件下實驗應力-應變曲線與理論計算應力-應變曲線的對比如圖5所示。

圖5 凍土在不同加載條件下實驗曲線與理論曲線的比較

由圖5可見，理論計算曲線與實驗實測曲線的變化趨勢是一致的。本構模型能夠較好地表征凍土的動態(tài)變形及強度特征。同時，本構模型能夠較好地反映凍土動態(tài)力學性能的應變率效應，也能很好地反映凍土動態(tài)力學性能的溫度效應。因此，本文所構建的凍土沖擊動態(tài)本構模型具有較好的理論實踐意義。

4 結 論

(1)通過采用SHPB設備對不同凍結溫度的凍土試樣進行不同應變率的沖擊加載實驗，獲得了凍土的動態(tài)應力-應變曲線。實驗結果表明，相同凍結溫度凍土的動態(tài)力學性能有著明顯的應變率效應：凍土的強度包括初始屈服強度和峰值強度隨著應變率的升高而增大；凍土的彈性模量沒有明顯的應變率相關性。

(2)沖擊載荷下凍土的動態(tài)力學性能表現(xiàn)出明顯的溫度效應：隨著凍結溫度的降低，凍土的彈性模量變大，相同應變率下凍土的強度包括初始屈服強度和峰值強度升高。

(3)根據(jù)實驗結果，本文基于細觀力學平均化方法，推導出了不同凍結溫度下凍土等效彈性常數(shù)的表達式。進而，采用基體各向同性化的切線模量法，建立了凍土的動態(tài)塑性細觀力學模型。最后，引入與凍結溫度和加載應變率相關的連續(xù)損傷演化模型，構建了凍土的沖擊動態(tài)本構模型。相應的模擬結果表明，該模型能夠很好地描述凍土的動態(tài)力學行為。該本構模型的建立在深化凍土沖擊動態(tài)本構模型的研究上提供了一種新的分析思路。